2022屆北京市第四中學(xué)高三下學(xué)期階段性測試一數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆北京市第四中學(xué)高三下學(xué)期階段性測試（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再按照集合間的基本關(guān)系和運(yùn)算判斷即可.【詳解】，，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.2．角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)可求得，利用兩角和差的正切公式可求得結(jié)果.【詳解】角的終邊過點(diǎn)，，.故選：B.3．已知數(shù)列滿足：，，，那么使成立的的最大值為A．4 B．5 C．24 D．25【答案】C【分析】由題意知an2為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可知an=，再結(jié)合題設(shè)條件解不等式即可得出答案．【詳解】由題意an+12﹣an2=1，∴an2為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，則an=，由an＜5得＜5，∴n＜25．那么使an＜5成立的n的最大值為24．故選C．點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了不等式的解法，解題時(shí)要注意整體數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．4．若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化后求解【詳解】由奇函數(shù)得，而得故選：C5．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)，因此點(diǎn)位于第二象限，選B6．下列函數(shù)的圖象中，既是軸對稱圖形又是中心對稱的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)和冪函數(shù)圖象可得結(jié)論.【詳解】對于A，圖象關(guān)于、坐標(biāo)原點(diǎn)分別成軸對稱和中心對稱，A正確；對于B，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，但無對稱中心，B錯(cuò)誤；對于C，關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，但無對稱軸，C錯(cuò)誤；對于D，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，但無對稱軸，D錯(cuò)誤.故選：A.7．在中，是的中點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算得到設(shè)BC=x,

,代入上式得到結(jié)果為.故答案為：A。點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是向量基本定理的應(yīng)用；向量的點(diǎn)積運(yùn)算。解決向量的小題常用方法有：數(shù)形結(jié)合，向量的三角形法則，平行四邊形法則等；建系將向量坐標(biāo)化；向量基底化，選基底時(shí)一般選擇已知大小和方向的向量為基底。8．已知，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式可求得，利用圓的性質(zhì)可確定到直線距離的最大值，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】由圓方程知其圓心，半徑；由，知：直線，即；；則圓心到直線的距離，到直線距離的最大值為，.故選：B.9．設(shè)，則“是第一象限角”是“”的

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】充分性：若是第一象限角，則,,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，則是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要條件，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題通過任意角的三角函數(shù)主要考查充分條件與必要條件，屬于中檔題.判斷充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.10．德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定.現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．32 D．128【答案】B【分析】根據(jù)科拉茨的猜想從反推的所有可能取值.【詳解】2所以不同值的個(gè)數(shù)為.故選：B二、填空題11．命題“,”的否定是__________.【答案】【分析】全稱命題的否定，為特稱命題，結(jié)論要否定.【詳解】將全稱命題化為特稱命題，將結(jié)論否定：.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，只否定結(jié)論，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.12．若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中的系數(shù)為_________.【答案】【解析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求得，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得的系數(shù).【詳解】依題意的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，即.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為.令，所以的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.13．能夠說明“設(shè)是任意實(shí)數(shù),若,則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為__________.【答案】【詳解】試題分析：，矛盾，所以?1，?2，?3可驗(yàn)證該命題是假命題.【名師點(diǎn)睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時(shí)利用賦值的方式舉反例進(jìn)行驗(yàn)證，答案不唯一．14．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于它到定點(diǎn)的距離，記點(diǎn)的軌跡為.給出下面四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；②曲線關(guān)于直線對稱；③點(diǎn)在曲線上；④在第一象限內(nèi)，曲線與軸的非負(fù)半軸、軸的非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】②③④【解析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，可得曲線方程，作出曲線的圖象，即可得到結(jié)論．【詳解】動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，所以，即.若，則，即，故，以為中心的雙曲線的一支；若，則，即，故或，所以函數(shù)的圖象如圖所示所以曲線C關(guān)于直線對稱，②正確；又，所以點(diǎn)在曲線上，③正確；在第一象限內(nèi)，曲線與軸的非負(fù)半軸、軸的非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線的軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，本題解題關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象，是一道中檔題．三、雙空題15．已知雙曲線，則W的實(shí)軸長為___________；若W的上頂點(diǎn)恰好是拋物線V的焦點(diǎn)，則V的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.【答案】

6

【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可求實(shí)軸長及上頂點(diǎn)，從而可求拋物線的方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線，故實(shí)半軸長為3，故實(shí)軸長為6，而上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故V的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：6，.四、解答題16．已知滿足___________，且，，求的值及的面積.從這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題中，并完成解答.條件①；條件②；條件③注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】不可以選擇②作為補(bǔ)充條件；若選①或③，，.【分析】若選①，利用兩角和差正弦公式可求得，由正弦定理得到，利用三角形面積公式求得結(jié)果；若選②，由余弦定理構(gòu)造方程知三角形無解，不合題意；若選③，利用正弦定理和已知等式可構(gòu)造方程求得和，利用兩角和差正弦公式求得，由三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】若選①：，；；由正弦定理得：，.若選②：由余弦定理得：，方程無解，即不存在滿足題意的；則不可以選擇②作為補(bǔ)充條件；若選③：由正弦定理得：，又，，即；，，，則；，；；.17．在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取200個(gè)樣品，并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下，根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級，其中壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.壽命（天）頻數(shù)頻率[100，200）200.10[200，300）30a[300，400）700.35[400，500）b0.15[500，600）500.25合計(jì)200(1)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b的值：(2)某人從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地購買了3個(gè)進(jìn)行使用.若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購買的燈泡中次品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率之和、頻數(shù)之和求得.（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)，.(2)X的所有取值為0，1，2，3.由題意，購買一個(gè)燈泡，且這個(gè)燈泡是次品的概率為，從本批次燈泡中購買3個(gè)，可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，，所以，所以隨機(jī)變量X的分布列為：0123所以X的數(shù)學(xué)期望.18．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn).(1)求證：AF⊥平面PBC；(2)當(dāng)BE為何值時(shí)，二面角為;(3)求三棱錐P—ACF的體積.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）通過證明來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，以二面角的余弦值列方程，從而求得，也即的值.（3）根據(jù)椎體體積計(jì)算方法，計(jì)算出三棱錐的體積.【詳解】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC平面ABCD．所以,因?yàn)锳BCD是矩形，所以,因?yàn)?所以BC⊥平面PAB.因?yàn)锳F平面PAB，所以.因?yàn)?，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，所以,因?yàn)?所以AF⊥平面PBC．(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以.又，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則P（0，0，1），D（，0，0），E（a，1，0），F(xiàn)（0，，）所以,設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，平面的法向量為，由于二面角的大小為，所以，解得.(3).19．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的方程：(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)(2)極小值點(diǎn)(3)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由見解析【分析】（1）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得的極小值點(diǎn).（3）對的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，設(shè)曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的方程為，因?yàn)?，所以，又，所以切線方程為，即.(2)當(dāng)時(shí)，，故，令，故，f（x）與f'（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：0極小值所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn).(3)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，理由如下：（1）當(dāng)時(shí)，.由于，所以，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)：（2）當(dāng)時(shí)，，故，令，得，，，故，因此恒有，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增.又，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求得曲線切線方程有關(guān)問題，關(guān)鍵點(diǎn)要把握住切點(diǎn)和斜率.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，可以結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來進(jìn)行判斷.20．設(shè)橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(1)求橢圓的方程：(2)是否存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線？證明你的結(jié)論.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)短軸長和離心率可求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)與橢圓方程聯(lián)立得韋達(dá)定理的形式，由，結(jié)合韋達(dá)定理可知，由此可知不存在滿足題意的實(shí)數(shù).【詳解】(1)，；又，；橢圓的方程為：；(2)由（1）知：，；設(shè)直線，，，由得：，；，，；，，即與永遠(yuǎn)不相等，不存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線21．對于項(xiàng)數(shù)為的有窮正整數(shù)數(shù)列，記，即為，，……中的最大值，稱數(shù)列{}為數(shù)列{}的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如1，3，2，5，5的“創(chuàng)新數(shù)列”為1，3，3，5，5.(1)若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”{}為1，2，3，4，4，寫出所有可能的數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列{}為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足，求證：(3)設(shè)數(shù)列{}為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列{bn}中的項(xiàng)互不相等且所有項(xiàng)的和等于所有項(xiàng)的積，求出所有的數(shù)列.【答案】(1)所有可能的數(shù)列{}為：1，2，3，4，1；1，2，3，4，2；1，2，3，4，3；1，2，3，4，4(2)