高中數(shù)學(xué)講義微07 分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

微專題07分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

分段函數(shù)是函數(shù)中比較復(fù)雜的一種函數(shù)，其要點(diǎn)在于自變量取不同范圍的值時(shí)所使用的解

析式不同，所以在解決分段函數(shù)的問題時(shí)要時(shí)刻盯著自變量的范圍是否在發(fā)生變化。即“分

段函數(shù)一一分段看”

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、分段函數(shù)的定義域與值域一一各段的并集

2、分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的

還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在

兩段分界點(diǎn)出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。

3、分段函數(shù)對稱性的判斷：如果能夠?qū)⒚慷蔚膱D像作出，則優(yōu)先采用圖像法，通過觀察圖像

判斷分段函數(shù)奇偶性。如果不便作出，則只能通過代數(shù)方法比較/（x）,/（-%）的關(guān)系，要注

意羽-x的范圍以代入到正確的解析式。

4、分段函數(shù)分析要注意的幾個(gè)問題

（1）分段函數(shù)在圖像上分為兩類，連續(xù)型與斷開型，判斷的方法為將邊界值代入每一段函數(shù)

（其中一段是函數(shù)值，另外一段是臨界值），若兩個(gè)值相等，那么分段函數(shù)是連續(xù)的。否則是

..2x-l,x<3

斷開的。例如：/（%）=9，將l=3代入兩段解析式，計(jì)算結(jié)果相同，那么此分

'，X2-4,X>3

2x-l,x<3

段函數(shù)圖像即為一條連續(xù)的曲線，其性質(zhì)便于分析。再比如/（%）=<2中，兩段

x-l,x>3

解析式結(jié)果不同，進(jìn)而分段函數(shù)的圖像是斷開的兩段。

（2）每一個(gè)含絕對值的函數(shù)，都可以通過絕對值內(nèi)部的符號(hào)討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)。例

/、II,,,1—1+3,

如:小)=|1+3,可轉(zhuǎn)化/t為：4)=—<]

5、遇到分段函數(shù)要時(shí)刻盯住變量的范圍，并根據(jù)變量的范圍選擇合適的解析式代入，若變量

的范圍并不完全在某一段中，要注意進(jìn)行分類討論

6、如果分段函數(shù)每一段的解析式便于作圖，則在解題時(shí)建議將分段函數(shù)的圖像作出，以便必

要時(shí)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。

二、典型例題

2+1x<l「/「

例1：已知函數(shù)=1,若/■[/（（））]=4a,則實(shí)數(shù)a=

x+axx>1」

思路：從里向外一層層求值，/（0）=2°+1=2,-./（/（0））=/（2）=4+2?

所以4+2〃=4a=a=2

答案：a=2

cos》x,x〉010

例2：設(shè)函數(shù)〃x)=</(x+l)-l,x<0，則/的值為.

思路：由/(%)解析式可知，只有x>0,才能得到具體的數(shù)值，x<0時(shí)只能依靠

/(尤)=/(%+1)—1向尤>0正數(shù)進(jìn)行靠攏。由此可得:

9

答案：—

2

小煉有話說：含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解

析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用(或者對函數(shù)圖象的影響)比如在本題

中：x<0,/(x)=/(x+l)—1可以立即為間隔為1的自變量，函數(shù)值差1,其作用在于自變

量取負(fù)數(shù)時(shí)，可以不斷+1直至取到正數(shù)。理解到這兩點(diǎn)，問題自然迎刃而解。

例3：函數(shù)/?")=2，則不等式的解集是()

----,x>2

B.H，1]UI，3

A.U

c.D.?3

思路：首先要把/(%)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式，由于/(%)是分段函數(shù)，所以要對X的范圍

分類討論以代入不同的解析式：當(dāng)時(shí)，/(%)>1^|3^-4|>1,可解得：1或

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xN—。所以1或一Kx<2；當(dāng)x>2時(shí)，———1解得尤<3,

33')x-1

所以2<xV3,綜上所述：x€U"1,3

答案：B

例4：已知函數(shù)/(%)=｛尤］尤>0,則不等式%+(%+1)/。+1)<1的解集是

思路：要想解不等式，首先要把/(X+1)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的表達(dá)式，觀察已知分段函數(shù),

—x+1%<0

/(X)=\,X占據(jù)了()整個(gè)括號(hào)的位置，說明對于函數(shù)而言，括號(hào)里的

x-lxN0

式子小于0時(shí)，代入上段解析式，當(dāng)括號(hào)里的式子大于0時(shí)，代入下段解析式。故要對％+1的

符號(hào)進(jìn)行分類討論。(1)當(dāng)x+l<O=xv—1時(shí)，/(x+1)=—(x+l)+l=—x,不等式變

為：x-x(x+l)<1^>-x2v1nx￡0

(2)當(dāng)％+1N0=XN—1時(shí)，/(x+l)=x+l—l=x,不等式變?yōu)?

X+X(X+1)<1^>X2+2X-1<0^>-1-A/2<x<-l+y/2

XG[-1,-1+V2J

答案：XG|^—1,—1+^/2J

'2

,、一x+2%+3,%V0/、/\

例5：已知函數(shù)=｛、+],則不等式/(%+8)</(爐o+3無)的解集為

2+1,x〉0

思路：本題如果通過分類討論將不等式變?yōu)榫唧w不等式求解，則難點(diǎn)有二：一是要顧及

x+8,f+3x的范圍，則需要分的情況太多；二是具體的不等式可能是多項(xiàng)式與指數(shù)式混在

一起的不等式，不易進(jìn)行求解。所以考慮先擱置代數(shù)方法，去分析了(%)的圖像性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)

了(%)的兩段解析式均可作圖，所以考慮作出〃龍)的圖像，從而發(fā)現(xiàn)"％)是增函數(shù)，從而

無論x+8,x?+3x在哪個(gè)范圍，/(x+8)</(f+3%)=>尤+8<f+3無，從而解得：

x<T或無>2

答案：(r)T)U(2,y)

小煉有話說：含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對x

進(jìn)行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解(比如例3,例4)。另一種是通過作出分段函

數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點(diǎn)解不等式(比如例5)。

+2%%20

例6：已知函數(shù)〃x)=，5一.若/(—a)+/(a)<2/(1),則a的取值范圍是

￡-2x,x<0

A.[-1,0)B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,2]

思路：本題可以對a進(jìn)行分類討論，以將/(—a)+/(a)W2/(l)變成具體不等式求解，但也

可從一的特點(diǎn)出發(fā)，考慮判斷了(九)的奇偶性，通過作圖可發(fā)現(xiàn)了(%)為偶函數(shù)，所以

/(-a)=/(a),所解不等式變?yōu)?⑷W/⑴，再由圖像可得只需同K1,即—l<a<l

答案：C

小煉有話說：

(1)本題判斷函數(shù)7(%)的奇偶性可以簡化運(yùn)算，而想到這一點(diǎn)是源于抓住所解不等式中

一。的特點(diǎn)。由此可見，有些題目的思路源于式子中的一些暗示

(2)由于/(尤)兩段圖像均易作出，所以在判斷了(%)奇偶性時(shí)用的是圖像法。對于某些不

易作圖的分段函數(shù)，在判斷奇偶性時(shí)就需要用定義法了，下面以本題為例說說定義法如何判

斷：整體思想依然是找到了(%),/(—九)，只是在代入過程中要注意—x,x的范圍：設(shè)

xe(0,+oo),則一％w(^x),0),.二/(%)=%2_2.(_工)=%2+2%,所

以/(X)=/(-%),即/(%)為偶函數(shù)

例7：已知函數(shù)/(%)=1一2%2,g(九)=/一2%，若尸(%)=<

值域是________________

解析：/是一個(gè)分段函數(shù)，其分段標(biāo)準(zhǔn)以7(x),g(x)的大小為界，所以第一步先確定好x

的取值，解不等式：/(x)>g(x)^l-2x2>x2-2x,解得：一,故

1

x9—2x,—VxV1

3

1,分別求出每段最值，再取并集即可

1-2X2,X<——orx>\

3

答案：

(〃一2)1-1(x<1)/、

例8：已知函數(shù)/(x)=1,若/(%)在(-oo,y)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的

log。%(%>1)

取值范圍是

思路：若/(%)在(一00,+8)單調(diào)增，則在R上任取項(xiàng)<%2，均有/(%)</(工2)，在任取中

就包含九1，々均在同一段取值的情況，所以可得要想在尺上單調(diào)增，起碼每一段的解析式也應(yīng)

當(dāng)是單調(diào)遞增的，由此可得：\,但僅僅滿足這個(gè)條件是不夠的。還有一種取值可

a>l

能為%J9不在同一段取值，若也滿足再<々，均有/(%)</(%2)，通過作圖可發(fā)現(xiàn)需要左

邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值。代入x=l,有左段(右端，即

a-2-l<log。1=0。<3

綜上所述可得：ae(2,3]

答案：(2,3]

/(xT)

的圖像B.②是/(-%)的圖像

C.③是/(國)的圖像D.④是|〃到的圖像

思路：考慮先作出了(%)的圖像(如右圖所示)，再按照選

項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可：A./(x—1)為了(%)向右平移一個(gè)單位，

①正確；B./(-%)為了(%)關(guān)于y軸對稱的圖像，②正確；

C.7(國)為了(%)正半軸圖像不變，負(fù)半軸作與"X)正

半軸關(guān)于y軸對稱的圖像，③正確；D.的圖像為

在x軸上方的圖像不變，下方圖像沿x軸對稱翻折。而/(%)圖像均在x軸上方，所以

應(yīng)與“力圖像相同。④錯(cuò)誤

答案：D

|尤3+l|jx|>1

例10：函數(shù)/■(%)=.n,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)八％)在[1,”)上為增函數(shù)B.函數(shù)/(%)的最小正周期為4

C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)/(%)無最小值

思路：可觀察到了（X）的圖像易于作出，所以考慮先作圖，再看由圖像能否判斷各個(gè)選項(xiàng)，如

圖所示可得：BC選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)/（X）存在最小值/（一1）=—2,所以D錯(cuò)誤，A選項(xiàng)是正

確的

答案：A

小煉有話說：（1）本題利用數(shù)形結(jié)合是最為簡便的方法，一方面是

因?yàn)?（x）本身便于作圖,另一方面四個(gè)選項(xiàng)在圖上也有具體的含

義。

（2）分段函數(shù)作圖過程中，尤其在函數(shù)圖象斷開時(shí)，一定要注意

JT

端點(diǎn)處屬于哪個(gè)解析式。本題中x=—1就屬于y=2sin,x部分，

所以才存在最小值。

三、近年模擬題題目精選

Y_|____劣Y>1

1、已知函數(shù)/(x)=|尤'—，若/⑴=/(—3),貝丘=______

lg(x2+1^^<1,

2、已知,若/"(Xo)]=3,貝1%0=__________.

-2sinx,(0<x<^)

4+工%<0

3、(2016,湖州中學(xué)期中)函數(shù)/(%)=('-'，若/"(〃)]>/"(〃)+1]，則實(shí)數(shù)Q

x,x>0,

的取值范圍為()

A.(—1,0]B.[—1,0]C.(-5,-4]D.[-5,-4]

-2x+l

-3-,x>0

4、已知小)=1"則/（x）>-1的解集為

x<0

lx

2*—a,x<1

5、（2015,北京）設(shè)函數(shù)〃x）=<

4(x-6z)(x-2?),x>1

①若4=1,則/（X）的最小值為

②若/（X）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

_J-Q?6<2

6、（2015,福建）若函數(shù)/（X）=<'—（a>0,aHl）的值域是［4,+8）,則實(shí)數(shù)a

3+logqx>2

的取值范圍是

l+log2(2-x),x<1/、/、

7、(2015,新課標(biāo)II)設(shè)函數(shù)/(%)=<]，則〃-2)+〃log212)=()

乙5-1

A.3B.6C,9D.12

~3x—1x<1

8、(2015,山東)設(shè)函數(shù)/■(%)=,',則滿足了(/(a))=2,⑷的a的取值范圍是

2，%—1

()

~2~|「2、

A.—,1B.[0,1]C.—,+℃D.[1,+8)

9、已知函數(shù)/(x)=sinx+cosx-卜inx—cosR,則/(%)的值域是()

A.[—2,2]B.[―C.|^—2,^/2JD.[―2,—

/、](2〃一1)%+3〃-4,冗V%/.

10、已知函數(shù)〃%)={]，無論，為何值，函數(shù)/(%)在R上總是不單

調(diào)，則。的取值范圍是

/、x2,0<x<1,,,,,,

11、已知/'(x)=1____L,且o<|時(shí)<1,0<問<1,加〃<0，則使不等式

-Vl-x2,-l<x<0

/(加)+/(")>0成立的牡〃還應(yīng)滿足的條件為()

A.m>nB.m<nC.m+n>0D.m+n<0

習(xí)題答案：

1、答案：3

解析：f(-3)=lg[(-3)2+l]=l,所以/⑴=l+a—3=lna=3

2、答案：X。=?或X。=(￡

3

解析：若!ipj-2sin/(xo)=3nsin/(xo)=—e，無解；若/(毛卜。，則

/(%)=30/(%)=—G，由解析式可得：尸sin/=—6工或%=至

[0<xV萬33

3、答案：C

解析：

當(dāng)/(a)W0,/(a)+lW0,即a<-5時(shí)；/[/(?)]=/(4+?)=8+?,/[/(?)+1]=9+?,

故/'"⑷]</"(/+1]，故/"(a)]>/"(a)+1]不成立；當(dāng)/(a)W0"(a)+lW4,

即-5<a<—4時(shí)；/"(a)]=/(4+a)=8+a,/[/(a)+l]=/(5+a)=(5+a)2,又

8+。〉(5+。)2在(-5,-4]上顯然成立即故/[/(a)]>/[/(?)+1],故選C.

4、答案：(O,I)U(1,+8)U(F,—1)

—2x+[O

解析：x>0時(shí)，\>—In/—2x+l>0n(x—1)>0,可得xe(O,l)U(l,+8)，

當(dāng)％<0時(shí)，—>-1=>1<-%=>%<-1,綜上可得：XG(0,1)U(1+°°)U(-°°-l)

X55

5、答案：①—1②或。之2

2

/、2*—1,x<1

解析：①a=l時(shí)，/(%)=-<....，當(dāng)x<l時(shí)，/(x)e(-l,l),當(dāng)xNl

時(shí)，/(x)=4x2—12x+8=41x—-1>-1,綜上所述可得：/(x)^=-1

②當(dāng)x<l時(shí)，/(%)為單調(diào)增函數(shù)，且/(%)€(—a,2—a),當(dāng)xNl時(shí)，解析式

/(x)=4(x-Q)(x—2a)可能的零點(diǎn)為x=a,x=2a,因?yàn)?(%)恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以xNl

2a>]i

的區(qū)域中至少有一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，可知/(尤)在x<l,無之1各有一個(gè)零

點(diǎn)，符合題意。當(dāng)時(shí)，/(%)在xNl已有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在x<l不能有零點(diǎn)，故

2—a<0=aN2,綜上所述：或

2

6、答案：(1,2]

解析：從常系數(shù)函數(shù)入手，無<2時(shí)，可得：/(x)e[4,”)，所以當(dāng)x>2時(shí)，/(%)的值

域應(yīng)為[4,+。。)的子集，從而可知a>l,所以/(x)e(3+log02,+8),則

3+logo2>=>a<2,所以aw(1,2]

7、答案：C

解析：由分段函數(shù)可得：/(-2)=l+log24=3,因?yàn)閘og212=2+log23N