晶體的投影和倒易點陣

參考(cānkǎo)教材：TheScienceandEngineeringofMaterials第2章晶體學(xué)基礎(chǔ)(jīchǔ)共三十八頁目錄(mùlù)2晶體(jīngtǐ)及其基本性質(zhì)晶向、晶面及晶帶晶體的間隙晶體的缺陷晶體的投影

倒易點陣共三十八頁1.3晶體(jīngtǐ)投影球面(qiúmiàn)投影和極射赤面投影極式網(wǎng)與烏式網(wǎng)晶帶的極射赤面投影標(biāo)準(zhǔn)極射赤面投影圖2024/9/243共三十八頁4概念(gàiniàn)：晶體的投影是指將構(gòu)成晶體的晶向和晶面等幾何元素以一定的規(guī)則投影到投影面上，使晶向、晶面等幾何元素的空間關(guān)系轉(zhuǎn)換成其在投影面上的關(guān)系。分類：球面和赤平面，對應(yīng)的投影為球面投影和極射赤面投影。關(guān)系的確定：通過晶體的投影可獲得晶體的晶向、晶面等元素之間的關(guān)系。此關(guān)系通常由極式網(wǎng)和烏式網(wǎng)確定。共三十八頁一、晶體的球面(qiúmiàn)投影和極射赤面投影51.晶體的球面投影：各晶面法線之投影。設(shè)想以晶體的中心為球心，任意長為半徑，作一球面；然后從球心出發(fā)(chūfā)（注意：不是從每個晶面本身的中心出發(fā)(chūfā)），引每一晶面的法線，延長后各自交球面于一點，這些點便是相應(yīng)晶面的球面投影點（晶面極點）。 大園:過球心的平面 小園:平面半徑小于球的半徑晶體的球面投影共三十八頁球面坐標(biāo)：如果此球面具有像地球儀那樣的經(jīng)緯線，而且以φ表示經(jīng)度，ρ表示緯度，那么光學(xué)測角儀所記錄的晶體各晶面的球體坐標(biāo)φ和ρ在這里將有一致的表達(dá)。球面上任意兩結(jié)點之間的弧度嚴(yán)格表示相應(yīng)的兩個(liǎnɡɡè)晶面法線之間的夾角。面間夾角就是它的補(bǔ)角。

方位角φ:0~360

極距角ρ:0~180,從北極開始2024/9/246共三十八頁2.晶體(jīngtǐ)的極射投影：是一種二次投影，即將晶體的晶面或晶向的球面投影再以一定的方式投影到赤平面所獲得的投影。包括心射極平投影和極射赤平投影。心射極平投影：定義：將投影平面與上述帶有晶面極點的球面相切與球面上的任一點，以球心為視點，將球面上的晶面極點投影于投影平面上，即以球心與球面上的晶面極點做直線延伸到投影平面，此直線與投影平面相交點即為此晶面極點的投影點。缺點：投影直線與投影平面平行的那些晶面極點無法做投影，一個投影平面只能記錄球面上部分晶面極點。應(yīng)用：詮釋勞埃衍射照片十分有用。7共三十八頁極射赤平投影：以赤道平面為投影平面，以南極(或北極)為視點，將球面(qiúmiàn)上的各個點、線進(jìn)行投影。

2024/9/248晶體投影的基本要素C’B’D’A’極射赤平投影(tóuyǐng)共三十八頁9球面投影與極射赤面投影之間的關(guān)系：球面上過南北軸的大圓，其極射赤面投影為過基圓中心的直徑；球面上未過南北軸的傾斜(qīngxié)大圓，其投影為大圓弧，大圓弧的弦為基圓直徑；水平大圓即赤道平面與投影球的交線，其極射赤面投影為投影基圓本身；水平小圓的極射赤面投影為與基圓同心的圓；傾斜小圓的投影為橢圓；直立小圓的極射赤面投影為一段圓弧，其大小和位置取決于小圓的大小和位置。傾斜(qīngxié)大圓平行于赤道的小圓傾斜于赤道的小圓垂直于赤面的小圓共三十八頁二、極式網(wǎng)與烏式網(wǎng)101.極式網(wǎng)：將經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)以其本身的赤道平面為投影面，作極射赤面投影，所得的極射赤面投影網(wǎng)。由一系列直徑和一系列同心圓組成，每一直徑和同心圓分別表示經(jīng)線和緯線(wěixiàn)的極射赤面投影，經(jīng)線等分投影基圓圓周，緯線(wěixiàn)等分投影基圓直徑?；鶊A直徑為20mm，等分間隔為2°共三十八頁11極式網(wǎng)的用途：直接讀出極點的球面坐標(biāo)，獲得該晶面或晶向的空間(kōngjiān)位相；當(dāng)晶面或晶向的極點在同一直徑上，其間的緯度差即為晶面或晶向間的夾角，可以從極式網(wǎng)上直接讀出；但是，當(dāng)兩極點不在同一直徑上時，無法測量其角度，應(yīng)用受到限制。共三十八頁2.烏氏網(wǎng)：(Wulffnet) 以同時過NS和EW的平面為投影面，投影光源為投影面中心法線與投影球的交點，即前后極點F或L，經(jīng)緯線坐標(biāo)網(wǎng)的極射平面投影即為烏式網(wǎng)。南北軸NS和東西軸EW的投影分別過烏式網(wǎng)中心的水平直徑和垂直直徑。前后軸FL的投影為烏式網(wǎng)的中心；經(jīng)線的投影為一簇以N、S為端點的大圓??；緯線的投影是一組圓心位于南北軸上的小圓弧。實際使用(shǐyòng)的烏式網(wǎng)直徑為20mm，圓弧間隔均為2°烏式網(wǎng)的應(yīng)用：1.夾角測量；2.晶體轉(zhuǎn)到；3.投影面轉(zhuǎn)換12經(jīng)緯線坐標(biāo)(zuòbiāo)網(wǎng)烏式網(wǎng)WE共三十八頁四、標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)極射赤面投影圖（標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)極圖）13定義：以晶體的某一簡單晶面為投影圖，將各晶面的球面投影再投影到此平面上去所形成(xíngchéng)的投影圖。在測定晶體取向、如織構(gòu)中非常有用，標(biāo)明了晶體中所有重要晶面的相對取向和對稱關(guān)系和對稱關(guān)系，可方便地定出投影圖中所有極點的指數(shù)。共三十八頁1.4倒易點陣(diǎnzhèn)1.正點陣2.倒易點陣3.倒易矢量的基本性質(zhì)(xìngzhì)4.正倒空間的關(guān)系5.廣義晶帶理論2024/9/2414共三十八頁一、正點陣(diǎnzhèn)15概念：晶體的空間點陣。反映了晶體中的質(zhì)點在三維空間中的周期性排列；與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)，描述的是晶體中原子的分布規(guī)律，是實際物質(zhì)空間，所在空間為正空間；分類：7大晶系、14種晶胞類型;晶面、晶向表征方法：米勒指數(shù)（hkl）、[uvw]或（hkil）、[uvtw];點陣參數(shù)(cānshù)：a、b、c、α、β、γ，基矢量a、b、c，任意矢量R可表示為R=ma+nb+pc，其中m、n、p為整數(shù)，α、β、γ分別為b與c，c與a，a與b之間的夾角。共三十八頁二、倒易點陣(diǎnzhèn)1.概念：是一個虛擬點陣，是由厄瓦爾德在正空間點陣基礎(chǔ)上建立起來的，該點陣的許多性質(zhì)與晶體正點陣保持著倒易關(guān)系，故稱為~，所在空間為倒空間。倒易點陣與晶體衍射有關(guān)，描述衍射方向問題；正空間中的晶面在倒空間表現(xiàn)為一個倒易陣點，同一晶帶的各晶面在倒空間中為共面的倒易陣點。倒易空間與厄瓦爾德球相結(jié)合時，可直觀解釋晶體中的各種衍射現(xiàn)象(xiànxiàng)，因為衍射花樣的本質(zhì)是滿足衍射條件的倒易陣點的投影。2024/9/2416共三十八頁2.倒易點陣坐標(biāo)系的建立：從正點陣的原點O出發(fā)，作任一晶面（hkl）的法線ON，在該法線上取一點Phkl，使OPhkl長度正比例與該晶面間距dhkl的倒數(shù)，則點陣稱為該晶面的倒易點，用hkl表示(biǎoshì)，所有晶面的倒易點便構(gòu)成了倒易點陣。2024/9/2417倒易點陣中的基本參數(shù)a*、b*、c*、α*、β*、γ*，其中(qízhōng)分別α*、β*、γ*為b*與c*、c*與a*、a*與b*之間的夾角，a*、b*、c*為倒易點陣的基矢量，任一倒易矢量R*可表示為R*=h

a*

+kb

*

+l

c*共三十八頁2024/9/2418d(01)d(10)d(02)d(20)共三十八頁

三、倒易點陣(diǎnzhèn)基矢與正點陣基矢的關(guān)系19設(shè)有一正點陣S，它由三個基矢a，b，c來描述，即S=S(a，b，c)?，F(xiàn)引入三個新基矢a*，b*，c*，由它們描述倒易點陣S*=S*(a*，b*，c*)。則新基矢a*，b*，c*與正點陣基矢a，b，c的關(guān)系為：a*·a=b*·b=c*·c=1，a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·a=c*·b

=0倒易點陣的基矢垂直于正點陣異名矢量構(gòu)成的平面(píngmiàn)。若正點陣的單位格子體積為V=a·(b×c)，倒易點陣的單位格子體積為V*=a*·(b*×c*)，則有2024/9/24共三十八頁由正點陣單位格子就可以求得相應(yīng)的倒易格子的三個基矢長度及交角(jiāojiǎo)，反之亦然。正倒點陣一一對應(yīng)。若已知晶體點陣參數(shù)，即由上式可求得其相應(yīng)倒易點陣參數(shù)，從而建立其倒易點陣。2024/9/2420φ、ψ、ω分別(fēnbié)為a與a*、b與b*、c與c*之間的夾角。立方晶系時，φ=ψ=ω=0°則a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c共三十八頁四、倒易點陣的基本(jīběn)性質(zhì)21根據(jù)(gēnjù)定義在倒易點陣中，從倒易原點到任一倒易點的矢量稱倒易矢量，記為g*hkl

2024/9/24可以證明:1.g*矢量的方向與晶面相垂直g*//N(晶面法線)2.g*矢量長度等于其對應(yīng)晶面間距的倒數(shù)g*hkl

=1/dhkl

共三十八頁證：設(shè)ABC平面(píngmiàn)是正點陣中平行晶面(hkl)組中距原點最近的平面，它在三個晶軸上的截距分別為a/h、b/k、c/l。由圖可知，有矢量關(guān)系式AB=OB-OA，所以：AB=b/k–a/h，則g*hkl·AB=(ha*+kb*+lc*)·(b/k–a/h)=h/ka*·b–a*·a+b*·b–k/hb*·a+l/kc*·b–l/hc*·a=0所以g*hkl

⊥AB，同理g*hkl

⊥BC，故g*hkl⊥ABC平面，即g*hkl⊥(hkl)晶面。2024/9/2422共三十八頁設(shè)n為沿著g*hkl方向的單位矢量，則n=g*hkl/|g*hkl|。由圖知，dhkl等于a/h在n方向上的投影，即dhkl

=a/h·n=a/h·(ha*+kb*+lc*)/|g*hkl|

=1/|g*hkl|所以|g*hkl|

=1/dhkl倒易點陣的幾何意義是：正點陣中的每組平行晶面(hkl)相當(dāng)于倒易點陣中的一個倒易點，此點必須(bìxū)處在這組晶面的公共法線上，即倒易矢量方向上；倒易點至原點的距離即倒易矢量的長度為相應(yīng)晶面間距的倒數(shù)。由無數(shù)個倒易點組成的點陣即為倒易點陣。若已知某一正點陣，就可得出相應(yīng)的倒易點陣。2024/9/2423共三十八頁五、倒易點與正點陣(diǎnzhèn)中的(hkl)晶面的對應(yīng)關(guān)系24g*hkl的基本性質(zhì)表達(dá)了與（hkl）的一一對應(yīng)關(guān)系(guānxì)，即一個g*與一組（hkl）對應(yīng)；g*hkl的方向與大小表達(dá)了（hkl）在正點陣中的方位與晶面間距，反之，（hkl）決定了g*的方向和大??；g*hkl的基本性質(zhì)也建立了作為終點的倒易陣點與（hkl）的一一對應(yīng)關(guān)系：正點陣中每一組(hkl)對應(yīng)著一個倒易點，該倒易點在倒易點陣中的坐標(biāo)(可稱陣點指數(shù))即為hkl；反之，一個陣點指數(shù)為hkl的倒易點對應(yīng)正點陣中一組(hkl)，(hkl)方位與晶面間距由該倒易點相應(yīng)的H(hkl)決定。2024/9/24共三十八頁晶面與倒易結(jié)點(jiédiǎn)的關(guān)系:

2024/9/2425共三十八頁立方(lìfāng)二維點陣與其倒易點陣的關(guān)系：2024/9/2426共三十八頁2024/9/2427共三十八頁六、廣義(guǎngyì)晶帶理論28在倒易點陣(diǎnzhèn)中，同一晶帶的所有晶面的倒易矢量共面，即倒陣中每一陣面上的陣點所表示的晶面均屬于同一晶帶軸。當(dāng)陣面通過原點時則uh+vk+wl=0當(dāng)?shù)龟嚸娌贿^原點，而是位于原點的上方或下方，則此時uh+vk+wl=N當(dāng)N>0時，倒易陣面在原點上方；當(dāng)N<0時，倒易陣面在原點的下方。廣義晶帶定律示意圖共三十八頁29廣義晶帶理論物理意義：倒易矢量的端點表示正空間中的晶面；端點坐標(biāo)由不帶括號的三位數(shù)表示；倒易矢量的長度表示正空間中晶面間距(jiānjù)的倒數(shù)；倒易矢量的方向表示該晶面的法線方向；倒空間的直線點列表示正空間中一個系列平行晶面；倒空間中的陣面表示正空間中同一晶帶的系列晶帶面。正空間的晶面(hkl)可用倒空間的一個點hkl表示，正空間中同一根晶帶軸[uvw]的所有晶面可用倒空間的一個倒易陣面(uvw)*來表示，廣義晶帶中的不同倒易陣面可用(uvw)N*表示。共三十八頁本章(běnzhānɡ)小結(jié)晶體晶面和晶向的表征(biǎozhēnɡ)晶體的間隙晶體的投影倒易點陣2024/9/2430共三十八頁共三十八頁32共三十八頁晶帶定律廣義晶帶定律：uh+vk+wl=N(N為整數(shù))狹義晶帶定律：uh+vk+wl=0共三十八頁共三十八頁2024/9/2435共三十八頁36按晶面間距大小，將立方晶系的（123）、（100）、（200）、（311）、（110）及（130）進(jìn)行排序。判斷（110）、（231）、（200