量子力學(xué) 2 波函數(shù)與薛定格方程

第二章波函數(shù)與薛定格(dìnɡɡé)方程問題(wèntí):(1)如何描述微觀粒子的狀態(tài)？

(2)微觀粒子的狀態(tài)變化時(shí)應(yīng)遵循什么樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？

共八十七頁§1

波函數(shù)一.“波動(dòng)性”與“粒子性”矛盾(máodùn)的分析:1)研究對(duì)象-----微觀粒子:既不是經(jīng)典意義(yìyì)上的粒子,

也不是經(jīng)典意義上的波.例:通過對(duì)光的認(rèn)識(shí)過程可知,光就是光

--------它既不是粒子也不是波.2)“波動(dòng)性”與“粒子性”的矛盾與分析:歷史上曾有過的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí):a)波包:夸大了波動(dòng)性的一面,從而實(shí)際上抺殺了粒子性的一面-----有片面性.b)波是大量粒子集體運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn):這種觀點(diǎn)夸大了粒子性的一面,從而實(shí)際上抺殺了波動(dòng)性的一面而被實(shí)踐證明是錯(cuò)誤的.共八十七頁3)分析(fēnxī):現(xiàn)在的研究對(duì)象——微觀粒子:

具有一定的質(zhì)量,電荷等屬性被稱為物質(zhì)的“原子性”,“整體性”或“粒子性”。但不是經(jīng)典(jīngdiǎn)的粒子,拋棄了“軌道”概念.具有干涉,衍射現(xiàn)象——本質(zhì)上是波的相干迭加性.但又不是經(jīng)典的波,具有明確的局域性.結(jié)論:1926年,玻恩(M.Born)把微觀粒子的“原

子性”和“波的相干迭加性”統(tǒng)一起來,提出了“幾率波”的概念.4)電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn):目的:

通過分析電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn),去尋找正確理解和認(rèn)識(shí)象電子這樣的微觀客體的行為特征的途徑.共八十七頁名人名言

Feynman認(rèn)為:

這一實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的包含了量子力學(xué)的一切(yīqiè)秘密之處,它把自然的疑難,特異和神奇性百分之百地?cái)[在你的面前.降低所發(fā)射的

電子束的強(qiáng)度,使其低到足以

分開每一個(gè)事件特點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)共八十七頁A)

電子是逐個(gè)到達(dá)熒光屏上的，所謂逐個(gè)的意思就是對(duì)每個(gè)事件在屏上只能觀察到一個(gè)亮點(diǎn)，而且各亮點(diǎn)涉及到的范圍很小。不會(huì)出現(xiàn)(chūxiàn)一大片光斑或光暈（粒子性的表現(xiàn)）。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果①

先只打開縫1并遮上縫2開始對(duì)應(yīng)于每個(gè)事件的亮點(diǎn)在屏上出現(xiàn)的位置是隨機(jī)的。但積累(jīlěi)了大量事件后就可看到單縫衍射的圖樣。反之亦然。②當(dāng)兩個(gè)縫同時(shí)打開時(shí)：開始亮點(diǎn)在屏上出現(xiàn)的位置仍是隨機(jī)的但積累了大量事件后就可看到的結(jié)果并不是①中兩個(gè)單縫衍射的圖樣簡單相加，而是雙縫的衍射的圖樣。結(jié)論:既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波.C)

為說明問題，實(shí)驗(yàn)按以下順序進(jìn)行：B)

只要時(shí)間足夠長就可記錄下大量的事件，其結(jié)果就會(huì)看到衍射條紋（波動(dòng)性的表現(xiàn)）。共八十七頁若以來描述電子衍射花樣的強(qiáng)度分布共八十七頁的存在的A)相干迭加的結(jié)果充分顯示了微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別

.若是經(jīng)典粒子,如細(xì)沙粒或子彈,它們一個(gè)一個(gè)地穿過狹縫,雖然兩個(gè)縫都是打開的,但穿過縫2的粒子是無法感知縫1,反之亦然.所以只能出現(xiàn)經(jīng)典的結(jié)果。.B)如何理解相干迭加的這一結(jié)果呢?試想遵循下面的推理:對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的解釋?duì)苔棠程幯苌錀l紋的強(qiáng)度該處附近出現(xiàn)亮點(diǎn)的次數(shù)打在該處附近的電子的數(shù)目μ一個(gè)電子在該處附近出現(xiàn)的幾率結(jié)論:以

描述電子衍射花樣的強(qiáng)度分布,則應(yīng)正比于電子在該處附近出現(xiàn)的幾率.2Y共八十七頁8BulletDouble-slitInterference共八十七頁結(jié)論:(1)函數(shù)

(r)在雙縫衍射中對(duì)電子的狀態(tài)具有重要意義,即可以用(r)來描寫經(jīng)雙縫衍射后電子在到達(dá)屏上時(shí)所處的狀態(tài).(2)使用(r)的描述,可以統(tǒng)一“波動(dòng)性”與“粒子性”的矛盾------“幾率波”二.波函數(shù):1)量子力學(xué)中使用波函數(shù)來描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),

一般以

(r,t)來表示.①波函數(shù)本身它并不是一個(gè)力學(xué)變量------這是與經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)重要區(qū)別.------從一開始量子力學(xué)就與經(jīng)典力學(xué)(jīnɡdiǎnlìxué)完全不同②它可以向我們提供(tígōng)被研究的微觀粒子的各種力學(xué)量的取值及其變化的全部信息.共八十七頁2)波函數(shù)的幾率(jīlǜ)解釋:①

為微觀粒子

t時(shí)刻在

r處附近

r

→

r+dr區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的幾率.②歸一化條件(tiáojiàn):③(r)與C(r)(C為一常數(shù))所描寫的是同一個(gè)微觀狀態(tài).

A)“幾率波”與經(jīng)典波動(dòng)有本質(zhì)的不同:y0Cy0X

對(duì)經(jīng)典波動(dòng):波動(dòng)方程前乘以C,相當(dāng)與波的振幅被放大了C倍,強(qiáng)度被放大了C2倍,因此它們是完全不同的兩個(gè)波.討論:共八十七頁B)歸一化系數(shù)(xìshù):設(shè)

(r,t)為一個(gè)沒被歸一化的波函數(shù),若有常數(shù)C滿足:其中(qízhōng)或C被稱為

(r,t)的歸一化系數(shù).若有(r,t)=C(r,t)且(r,t)和(r,t)描述的是同一個(gè)狀態(tài).C)波函數(shù)位相的不確定性:當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)與描述的是同一個(gè)狀態(tài)且都是歸一化的現(xiàn)象被稱為波函數(shù)位相的不確定性.共八十七頁3)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件(tiáojiàn):

物理上要求：波函數(shù)滿足(mǎnzú)單值、連續(xù)和有限的條件.

有限性它不排除對(duì)某些孤立點(diǎn)有:但04)自由粒子平面波的波函數(shù):總體思路由經(jīng)典平面波波動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式，利用德布羅意關(guān)系式，把經(jīng)典理論中描寫粒子性的物理量E和P揉入其中，形成自由粒子的波函數(shù)的表達(dá)式。再去經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)。共八十七頁其復(fù)數(shù)(fùshù)形式為：A）經(jīng)典的沿X方向傳播(chuánbō)的平面波的波動(dòng)方程：波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度取其實(shí)部則可還原為其實(shí)數(shù)形式。復(fù)數(shù)形式的優(yōu)點(diǎn)：a)方便運(yùn)算。B)自由粒子與平面波:自由粒子不受外界作用,其動(dòng)量為確定值德布羅意關(guān)系式對(duì)應(yīng)的波長與波矢為恒定平面波b)初位相f以的形式出現(xiàn)，因此可以被包含在復(fù)振幅A中。共八十七頁C）量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)：)(0),(xpEtixetx--Y=Yh對(duì)應(yīng)代換關(guān)系量子力學(xué)經(jīng)典力學(xué)),(txy),(txYn頻率hE/能量l波長xph/動(dòng)量A振幅0Y復(fù)振幅量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)共八十七頁一般情況(qíngkuàng)下的表示:特點(diǎn)1)具有波動(dòng)方程的形式.2)包含經(jīng)典理論中描述粒子特征的物理量

E

和p在空間各點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相同。這時(shí)粒子的動(dòng)量是完全確定的，但其位置就完全不確定。常數(shù)=Y2),(trr對(duì)自由粒子

波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋涉及(shèjí)對(duì)微觀世界本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與爭論至今仍未完結(jié)。哥本哈根學(xué)派愛因斯坦共八十七頁設(shè)歸一化因子(yīnzǐ)為C，則歸一化的波函數(shù)為

(x)=C

exp(-

2x2/2)例題：將波函數(shù)歸一化解:由:可得:則歸一化后的波函數(shù)為利用積分公式:得:共八十七頁量子力學(xué)(liànɡzǐlìxué)與經(jīng)典力學(xué)共八十七頁§2

薛定格方程一.自由粒子(lìzǐ)薛定格方程的建立:自由(zìyóu)粒子波函數(shù)1)為討論其隨時(shí)間的變化兩邊對(duì)t求偏導(dǎo)得:2)它啟發(fā)我們波函數(shù)隨時(shí)間的變化與能量有關(guān)：自由粒子的能量表達(dá)式為:在直角坐標(biāo)系中的形式為：這個(gè)式子當(dāng)然也可寫為:共八十七頁3)注意到自由粒子波函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)是與動(dòng)量有關(guān)(yǒuguān)的,而且對(duì)自由粒子來講，能量是可以由動(dòng)量完全確定下來的。因此要討論波函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù):同理4)再由:同理有：共八十七頁5)所以(suǒyǐ)有:6)把1)和5)代入2)的兩邊(liǎngbiān)可得:----自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程該方程的特點(diǎn):A)是一個(gè)線性微分方程,迭加原理適用.若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)則也是其可能的狀態(tài)B)方程系數(shù)中不包含與微觀粒子狀態(tài)有關(guān)的參量.共八十七頁通過上述過程，能得到自由粒子(lìzǐ)波函數(shù)所滿足的微分方程，這是好的。但是得到該方程的方法是我們所不感興趣的。有意義是我們?nèi)钥梢詮纳鲜鲞^程中得到一些重要(zhòngyào)的啟示。再把這些啟示進(jìn)一步升華就可得到另外一種產(chǎn)生上述方程的方法。這種新方法的一個(gè)重要特征就是：可以在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下，仍然能得到正確的關(guān)于自由粒子波函數(shù)隨時(shí)間變化的偏微分方程。給出我們這種啟示的是在前面的的推導(dǎo)過程中所出現(xiàn)過的下述等式：共八十七頁當(dāng)然，在前述過程中這些等式是在自由粒子的波函數(shù)為已知的條件(tiáojiàn)下被“推導(dǎo)”出來的。這些等式可以給出的啟發(fā)是：但是如果我們(wǒmen)認(rèn)為在不知道波函數(shù)的具體形式時(shí)這些等式也是正確的。當(dāng)然，這一認(rèn)識(shí)對(duì)于自由粒子的情況一定是沒有問題的。

②動(dòng)量

px對(duì)波函數(shù)的作用與算符對(duì)波函數(shù)的作用是相同的。(其中x=x,y,z)

③動(dòng)量平方

px2對(duì)波函數(shù)的作用與算符對(duì)波函數(shù)的作用是相同的。(其中x=x,y,z)那么就可以使用這些等式在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下得到自由粒子波函數(shù)隨時(shí)間變化的偏微分方程。對(duì)其具體的操作過程可表通過下面三個(gè)步驟完成：

①能量E對(duì)波函數(shù)的作用與算符對(duì)波函數(shù)的作用是相同的。共八十七頁

①假設(shè)：對(duì)未知的波函數(shù)，上述(shàngshù)等式都是正確的。即承認(rèn)對(duì)未知的波函數(shù)下述的物理量與算符之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是正確的。

②寫出經(jīng)典力學(xué)的自由(zìyóu)粒子的能量表達(dá)式：并對(duì)任意函數(shù)ψ可以得到等式：

③使用①中給出的算符，替換②中最后一個(gè)等式中相應(yīng)的各個(gè)物理量就可得到與前面經(jīng)過推導(dǎo)得到的完全相同的自由粒子的波函數(shù)所滿足的偏微分方程。共八十七頁----這就是自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格(dìnɡɡé)方程再強(qiáng)調(diào)一遍，這方法的一個(gè)重要特點(diǎn)就是：可以在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下，仍然能得到(dédào)正確的關(guān)于自由粒子波函數(shù)隨時(shí)間變化的偏微分方程。正是由于這個(gè)原因，使得使得這種方法更容易向一般的情況，即事先不知道波函數(shù)的具體形式，但是還要尋求波函數(shù)所滿足的微分方程的這種情況去推廣。二.一般情況下的薛定格方程:1)一維的情況：為了得到對(duì)于非自由粒子，即一般情況下的薛定格方程我們假設(shè)：前述的反映力學(xué)量與算符的對(duì)應(yīng)關(guān)系的等式在一般情況下，即非自由粒子的情況下也是正確的。共八十七頁

由此可以得到(dédào)等式：使用前面的“算符關(guān)系(guānxì)等式”代換掉上式中的物理量可得到：2)三維情況：其中：

其中ψ（x,t）為未知的，可用來描寫該粒子狀態(tài)的波函數(shù)。在一維情況下，非自由粒子的經(jīng)典力學(xué)能量表達(dá)式應(yīng)寫為：共八十七頁

該方程于1926被Sch?dinger首次給出,并為此(wéicǐ)榮獲1933年諾貝爾物理獎(jiǎng).Sch?dinger方程是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程.其在量子力學(xué)中的地位(dìwèi)與牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中的地位(dìwèi)是相同的.

三維情況下的粒子經(jīng)典力學(xué)的能量表達(dá)式為：再使用“算符關(guān)系等式”代換掉上式中的物理量就可得到：

并由此可以得到等式：共八十七頁三.定態(tài)薛定格(dìnɡɡé)方程:1)定態(tài)薛定格(dìnɡɡé)方程A)分離變量:

若在所研究的問題中U=U(r)與時(shí)間t無關(guān),則可設(shè):(r,t)=(r)f(t)對(duì)薛定格方程分離變量可得:其中E為常數(shù).B)本征值與本征值方程:E為算符

或

的本征值而上述方程被稱為該算符的本征值方程.共八十七頁C)與時(shí)間有關(guān)部分的解:

由方程可解出:D)定態(tài):

這時(shí)

在這種狀態(tài)下微觀粒子在各處(ɡèchǔ)出現(xiàn)的幾率與時(shí)間無關(guān)-----因此被稱為定態(tài)

被稱為定態(tài)波函數(shù).

E)定態(tài)薛定格(dìnɡɡé)方程:

方程被稱為定態(tài)薛定格方程.共八十七頁定義(dìngyì):對(duì)定態(tài)情況(qíngkuàng)時(shí)有:這里被稱為系統(tǒng)的哈密頓量.

定態(tài)薛定格方程也可表示為:這時(shí)E被稱為H的本征值,而

(r)被稱為H的本征函數(shù).2)多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程:研究對(duì)象:總粒子數(shù)=N,粒子的質(zhì)量mi(i=1,2,3…N)共八十七頁粒子(lìzǐ)間的相互作用勢能為:外場(wàicháng)與粒子間的相互作用勢能為:若V與Ui都與時(shí)間無關(guān),則我們可以研究其定態(tài)問題.以表示系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù).A)波函數(shù):其物理意義為:歸一化條件為:共八十七頁C)多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格(dìnɡɡé)方程:這里的E就是(jiùshì)該多粒子系統(tǒng)的能量本征值.B)多粒子系統(tǒng)的哈密頓量:經(jīng)典力學(xué):量子力學(xué):共八十七頁2024/9/2432

微觀粒子的狀態(tài)(zhuàngtài)可用波函數(shù)來描寫,而波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從薛定格方程:共八十七頁一、物理背景與簡化(jiǎnhuà)近似:§3、一維無限(wúxiàn)深勢阱簡化近似：x)(xU0U勢阱深度一維有限深勢阱物理背景：)(xU金

屬

體0U勢阱深度金屬中自由電子的勢能曲線x共八十七頁x￥?0U勢阱深度一維無限深勢阱Ur)(rU原子核0U勢阱深度原子核中質(zhì)子的勢能曲線物理(wùlǐ)背景簡化(jiǎnhuà)近似一維無限深勢阱的勢能函數(shù)axxU<<=00)(axxxU><￥=或0)(勢阱寬度a=共八十七頁二、一維無限(wúxiàn)深勢阱的定態(tài)薛定格方程：勢阱中粒子的經(jīng)典力學(xué)能量關(guān)系mPEx22=應(yīng)用前面得到的物理啟示22222xppxx??-oTùh)(d(x)d2222xExm

=

-h其定態(tài)薛定格方程可寫為：邊界條件0)(=

x時(shí)axx3￡,0x￥?0U勢阱深度勢能曲線Ua0

Ⅰ區(qū)03=

01=

Ⅱ區(qū)

Ⅲ區(qū)共八十七頁三、一維無限深勢阱(shìjǐnɡ)問題的解：1、方程(fāngchéng)的通解：222kmE=h0dd222=+yykx)sin()(jy+=kxAx令:2、確定常數(shù)

f勢阱無限深所以阱外有：y(x)=0（x￡0x3a）由波函數(shù)連續(xù)性，

邊界條件

：

y(0)=0

y(a)=0j

=0y(0)=Asinj=0x=0處有共八十七頁ka=npF(a)=Asinka=0n=1.2.3……n=0?注意到在x=a處有3

、能量本征值

E

的確定：222kmE=hka=np22222manEEnhp==n=1.2.3……一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的微觀粒的能量只能取分立值。其中n---被稱為量子數(shù)。

能量的不連續(xù)這一結(jié)論并不用出自于普朗克假設(shè)。它是量子力學(xué)的自然結(jié)果?；鶓B(tài)能量10----波動(dòng)性。22212maEhp=共八十七頁kxAx

sin)(=1d)(20=òxx

anaA2=122=aA4、確定能量本征波函數(shù)：ka=npxanAx

npsin)(=22222manEnhp=對(duì)應(yīng)于能量本征值為

的本征波函數(shù)。5、由歸一化條件確定系數(shù)A：歸一化條件為1)(2-=

ò+￥￥dxxn

(x)=0（

x￡0x3a）1sin20=òdxxanAap共八十七頁xanAx

npsin)(=a2（

0<x<a

）一維無限深勢阱定態(tài)薛定格方程全部解完。6、一維無限深勢阱問題小結(jié)：1）一維無限深勢阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和概率密度n=1n=2n=3a22212maEhp=2nn

w=124EE=1w2w3w139EE=0xnExaa

psin21=xaa

p2sin22=xaa

p3sin23=n

0xnEa共八十七頁htEinnnex

tx-=Y)(),(tinexanapnp2)sin(2-=駐波

？A)考慮

時(shí)間因子

是沿

x軸正向、負(fù)向傳播的波，形成

駐波。兩端為波節(jié)。只有某些波長的波才能形成駐波。n的取值不同,能量不同，腹的數(shù)目不同。波腹的數(shù)目等于

n的數(shù)目。a為半波長的整數(shù)倍.ieeii2sinqqq--=2）討論：共八十七頁C)束縛態(tài)與擴(kuò)展(kuòzhǎn)態(tài):B)基態(tài)能量與測不準(zhǔn)(bùzhǔn)關(guān)系:束縛態(tài):在│r│

→

∞

時(shí)波函數(shù)為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài).

n(x)=0（

x￡0x3a)xanAx

npsin)(=束縛態(tài)共八十七頁擴(kuò)展(kuòzhǎn)態(tài):如對(duì)自由粒子的波函數(shù)有:因此(yīncǐ)一般有:所以自由粒子的狀態(tài)為擴(kuò)展態(tài).D)宇稱:可以證明對(duì)勢阱的勢能函數(shù)為:axxU<<=-a0)(axxxU><￥=

或-a)(勢阱寬度2a=的一維無限深勢阱中粒子其定態(tài)波函數(shù)為:共八十七頁該波函數(shù)具有(jùyǒu)下列性質(zhì):當(dāng)n為偶數(shù)(ǒushù)時(shí):當(dāng)n為奇數(shù)時(shí):這來源于勢函數(shù)U(x)對(duì)x=0處的對(duì)稱性U(x)=U(-x)①宇稱算符:P稱為宇稱算符.以P表示把X變?yōu)樨?fù)X的運(yùn)算,則有:②P的本征值:由知P2的本征值為1,因此P的本征值為+1或-1,即有:偶宇稱奇宇稱共八十七頁四、量子力學(xué)(liànɡzǐlìxué)處理問題的基本步驟：1)寫出哈密頓量及哈密頓算符.4)由初始條件和邊界條件,并依據(jù)(yījù)波函數(shù)的

標(biāo)準(zhǔn)化條件的要求,求出能量本征值.3)解出通解,其中包含待定常數(shù):

能量本征值及一些待定常數(shù).5)求出與本征值相應(yīng)的本征波函數(shù).6)進(jìn)行必要的討論.2)建立薛定格方程.共八十七頁§4、一維諧振子1)勢函數(shù):m—振子質(zhì)量(zhìliàng)，

—固有頻率，x—離開平衡位置的位移2)哈密頓量:一、哈密頓量及哈密頓算符:3)哈密頓算符:由得:為定態(tài)問題(wèntí)。共八十七頁二.定態(tài)薛定格(dìnɡɡé)方程:1)定態(tài)薛定格(dìnɡɡé)方程:由得:2)明確邊界條件:因?yàn)閲?yán)格的一維諧振子是個(gè)一維無限深勢阱

------只存在束縛態(tài).所以有:這就一維諧振子的波函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件.(1)共八十七頁三.解出定態(tài)薛定格方程(fāngchéng)的通解:1)方程(fāngchéng)的化簡:代入方程(1)可得:共八十七頁2)求出漸近解:注意(zhùyì)到方程(fāngchéng)變?yōu)?該方程在

∞時(shí)有:形式的解.且滿足邊界條件的漸近解為:(2)共八十七頁〖〗因?yàn)?yīnwèi)

不滿足邊界條件的要求(yāoqiú),所以舍去.因此得方程在

∞時(shí)的近似解為:共八十七頁3)厄米方程(fāngchéng):設(shè)方程(2)的通解為:則有:代回方程(fāngchéng)(2)中可得:共八十七頁(3)

方程(3)在數(shù)學(xué)上被稱為(chēnɡwéi)厄米方程,顯然，只要由該方程求出函數(shù)u

就可得到方程(1)的解.共八十七頁4)厄米方程(fāngchéng)的級(jí)數(shù)解法:設(shè):則有:代回方程(fāngchéng)

(3)中可得:共八十七頁在第一個(gè)求和(qiúhé)號(hào)中取

-

則有

+

，且有求和范圍由:(4)欲使該式對(duì)任何都等于零,就要求(yāoqiú)

各次冪的系數(shù)均為零:這樣，前面的方程就可寫為：共八十七頁則有:c)系數(shù)(xìshù)間的遞推關(guān)系:b)當(dāng)時(shí)有:s=0或s=-1a)當(dāng)時(shí)有:s=0或s=1因此,只需確定系數(shù)(xìshù)

a0和a1,則其它的系數(shù)都可通過該遞推關(guān)系完全確定.5)根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件,確定能量本征值:

一般情況下

u(

)

=

H

是一個(gè)無窮級(jí)數(shù).當(dāng)∞時(shí)其漸近行為具有如下形式:A)對(duì)(4)中的結(jié)果進(jìn)行分析:共八十七頁〖〗①②共八十七頁不滿足邊界條件的要求,也不滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件中關(guān)于有限性的要求.B)解決辦法:為保證

(x)的有限性且滿足邊界條件，就要求(yāoqiú)級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)開始其系數(shù)等于零,這樣無窮級(jí)數(shù)就變成一個(gè)(yīɡè)有限項(xiàng)的多項(xiàng)式,若有:共八十七頁C)確定能量(néngliàng)本征值:注意到(若如此則不能滿足(mǎnzú)有限性的要求.)①設(shè):這時(shí)有s=0或s=1兩種情況:這時(shí)必有

=偶數(shù)s=0時(shí),定義:n=+s=為偶數(shù).s=1時(shí),定義:n=+s=+1為奇數(shù).綜上有:n=+s=正整數(shù).n=0,1,2,3,...注意到:該式給出了薛定格方程(1)的能本征值.②可以說明,若設(shè)時(shí)s=0,s=-1,并不給出新的結(jié)果.共八十七頁6)求解(qiújiě)本征波函數(shù):①注意(zhùyì)到

x

則有:其中

Hn

=Hn

x

稱厄米多項(xiàng)式.其具體的形式為:③Hn

的最高次冪的項(xiàng)為2n

n②可以證明有:n=0,E0=(1/2)

,H0

n=1,E1=(3/2)

,H1

2

n=2,E2=(5/2)

,H2

4

2-2-----------------------------n=n,En=(n+1/2)

,共八十七頁④波函數(shù)的歸一化:為此(wéicǐ)計(jì)算積分:分部(fēnbù)積分一次可得:由厄米多項(xiàng)式表達(dá)式可得:共八十七頁而HnHn-1

為關(guān)于的多項(xiàng)式,其最高次冪為:2n

n2n-1

n-1=22n-1

2n-1

它與相乘,當(dāng)

±

時(shí)必為零.因此有:把這種分部積分反復(fù)(fǎnfù)進(jìn)行n次可得:但有:和共八十七頁歸一化后的波函數(shù)為:7)討論(tǎolùn):①正交性:一維諧振子的波函數(shù)

n(x)滿足(mǎnzú):(6)證明:對(duì)m

=

n的情況在歸一化時(shí)已討論過,

對(duì)m

,

n不相等的情況,不妨設(shè)m<n,這時(shí)有:對(duì)其分部積分m+1次后可得:0m=nm=n1共八十七頁注意(zhùyì)到:所以(suǒyǐ)有:這一結(jié)果被稱為一維諧振子本征波函數(shù)

n(x)的正交性.②完備性:

完備性是指本征函數(shù)系具有如下的性質(zhì):相當(dāng)一部分以x為自變量的函數(shù)可以按該函數(shù)系展開成級(jí)數(shù)的形式.如對(duì)函數(shù)f(x)可寫為:所謂“完備性”從某種意義上可以認(rèn)為就是：展開式中的系數(shù)an

是可由f(x)和

n(x)來唯一確定的。共八十七頁

對(duì)此可作如下說明:若把前式兩邊(liǎngbiān)同乘以

n*(x)并對(duì)x積分有:利用(lìyòng){

n(x)}的正交性可得:則有:即:共八十七頁③本征波函數(shù)

n

x

的函數(shù)(hánshù)曲線:節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn):A)使函數(shù)

n

x=0的點(diǎn)稱為該函數(shù)的節(jié)點(diǎn).

B)顯然

n

x

的節(jié)點(diǎn)決定于Hn(x),而Hn是x的n次多項(xiàng)式,因此Hn(x)=0就有n個(gè)根,也就是說

n

x

有n個(gè)節(jié)點(diǎn).(除x=∞外)

n=0n=1n=2共八十七頁④粒子在各處(ɡèchǔ)出現(xiàn)的幾率的分布:由波函數(shù)的幾率解釋,粒子(lìzǐ)處在量子數(shù)為n的本征態(tài)時(shí),其位置在xx+dx區(qū)間內(nèi)的幾為:共八十七頁⑤與經(jīng)典(jīngdiǎn)諧振子的比較:A)能量(néngliàng)狀態(tài):經(jīng)典:可取連續(xù)值且可以為零.量子:只能可取分立值最小值E0=?ω/2不為零------測不準(zhǔn)關(guān)系的體現(xiàn).B)幾率分布:量子:以基態(tài)波函數(shù)為例.顯然:共八十七頁經(jīng)典(jīngdiǎn):與量子基態(tài)具有相同能量時(shí)即在找到粒子的幾率為零.而按量子力學(xué),在處找到粒子的幾率為:C)量子(liàngzǐ)結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果間的聯(lián)系:可以證明:當(dāng)n>>1時(shí),量子力學(xué)的結(jié)果在平均值上與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果相符合.差別只在于

|

n(x)|2

是迅速振蕩著的.共八十七頁線性諧振子n=11時(shí)的幾率密度(mìdù)分布共八十七頁§4、勢壘貫穿(guànchuān)與掃描遂穿顯微鏡一、E>U0時(shí)勢壘的反射(fǎnshè)與貫穿:1)勢函數(shù):2)薛定格方程:(I區(qū),III區(qū))(II區(qū))3)邊界條件:0aU0I區(qū)II區(qū)III區(qū)U(x)共八十七頁4)通解(tōngjiě):令對(duì)E>0且E>U0的情況(qíngkuàng),其解可寫為:I區(qū):II區(qū):III區(qū):5)物理意義:

這里eikx和e-ikx分別表示沿X軸正方向和沿負(fù)方向傳播的波矢為k的平面波.所以:A為入射波振幅,A’為反射波振幅.C為透射波振幅,C’必須為零.共八十七頁6)解的情況(qíngkuàng):把上述(shàngshù)通解代入邊界條件可得四個(gè)方程.從這四個(gè)方程中可解出B,B’,C及A’———它們?yōu)锳,k1,k2,a的函數(shù).其中有:共八十七頁二.幾率(jīlǜ)流密度:----幾率(jīlǜ)密度本段討論w(r,t)隨時(shí)間變化的情況：（1）一維時(shí)的情況：由薛定諤方程：1.幾率流密度:共八十七頁把該式取復(fù)數(shù)(fùshù)共軛可得：把這兩式代入前式可得：定義(dìngyì)：-----幾率流密度共八十七頁上式可寫為：（2）三維時(shí)的情況(qíngkuàng)：把該式取復(fù)數(shù)(fùshù)共軛可得：(1)(2)共八十七頁這里使用了有關(guān)的矢量運(yùn)算(yùnsuàn)公式：定義(dìngyì)：-----幾率流密度共八十七頁上式可寫為：-----連續(xù)性方程(fāngchéng)（3）連續(xù)性方程(fāngchéng)的物理意義：由數(shù)學(xué)中的散度定理：可得：討論該式的物理意義。共八十七頁①質(zhì)量守恒方程(fāngchéng)：②電荷(diànhè)守恒方程----質(zhì)量密度----質(zhì)量流密度-----質(zhì)量守恒方程。----電荷密度----電流密度-----電荷守恒方程。共八十七頁③討論：這里的幾率守恒有定域的性質(zhì)：當(dāng)微觀粒子在空間某處出現(xiàn)的幾率小了，必然在另一些地方(dìfāng)出現(xiàn)的幾率增加了以使總的幾率保持不變。如討論：由定域條件(tiáojiàn)可知必有：則可得：所以有：結(jié)論：在整個(gè)空間找到粒子的幾率與時(shí)間無關(guān)。如果波函數(shù)是已經(jīng)歸一化的，那末它將保持歸一化的性質(zhì)而不隨時(shí)間改變。共八十七頁①

入射波的幾率(jīlǜ)流密度:②

透射波與反射(fǎnshè)波的幾率流密度:同樣的計(jì)算可以說明有:③

透射系數(shù)與反射系數(shù):由定義:2、反射系數(shù)與透射系數(shù):共八十七頁R0這說明(shuōmíng),既使在E>U0的情況下也有一部分粒子被反射回I區(qū).三、E<U0情況(qíngkuàng)下的勢壘貫穿:1)E<U0時(shí)的情況:這時(shí)因E

-

U0

<

0所以k2為虛數(shù).可設(shè):k2=ik3,而k3為實(shí)數(shù).共八十七頁把前面(qiánmian)結(jié)果中的k2換成ik3可得:這說明既使在E<U0的情況下仍有透射系數(shù)D>0,