2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（一）：第28煉 三角函數(shù)性質(zhì)含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（一）：第28煉三角函數(shù)性質(zhì)含答案第28煉三角函數(shù)及函數(shù)性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識：1、正弦函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）周期：（4）對稱軸（最值點(diǎn)）：（5）對稱中心（零點(diǎn)）：，其中是對稱中心，故也是奇函數(shù)（6）單調(diào)增區(qū)間：單調(diào)減區(qū)間：2、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）周期：（4）對稱軸（最值點(diǎn)）：其中是對稱軸，故也是偶函數(shù)（5）對稱中心（零點(diǎn)）：（6）單調(diào)增區(qū)間：單調(diào)減區(qū)間：3、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）周期：（4）對稱中心：（5）零點(diǎn)：（6）單調(diào)增區(qū)間：注：正切函數(shù)的對稱中心由兩部分構(gòu)成，一部分是零點(diǎn)，一部分是定義域取不到的的值4、的性質(zhì)：與正弦函數(shù)相比，其圖像可以看做是由圖像變換得到（軸上方圖像不變，下方圖像沿軸向上翻折），其性質(zhì)可根據(jù)圖像得到：（1）定義域：（2）值域：（3）周期：（4）對稱軸：（5）零點(diǎn)：（6）單調(diào)增區(qū)間：單調(diào)減區(qū)間：5、的性質(zhì)：此類函數(shù)可視為正弦函數(shù)通過坐標(biāo)變換所得，通常此類函數(shù)的性質(zhì)要通過計(jì)算所得。所涉及的性質(zhì)及計(jì)算方法如下：（1）定義域：（2）值域：（3）周期：（4）對稱軸（最值點(diǎn)），對稱中心（零點(diǎn)），單調(diào)區(qū)間需通過換元計(jì)算所求。通常設(shè)，其中，則函數(shù)變?yōu)椋谇笠陨闲再|(zhì)時，先利用正弦函數(shù)性質(zhì)與圖像寫出所滿足的條件，然后將還原為再解出的值（或范圍）即可注：1、余弦函數(shù)也可看做的形式，即，所以其性質(zhì)可通過計(jì)算得到。2、對于某些解析式的性質(zhì)（如對稱軸，單調(diào)區(qū)間等）可根據(jù)解析式的特點(diǎn)先變形成為，再求其性質(zhì)二、典型例題：例1：函數(shù)（）A.在上單調(diào)遞減B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增思路：單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：符合條件的只有D答案：D例2：函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.思路：先變形解析式，，再求出單調(diào)區(qū)間：，時，D選項(xiàng)符合要求答案：D例3：的遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.思路：在解函數(shù)性質(zhì)之前首先把的系數(shù)變正：，再求其單調(diào)區(qū)間：，由于，所以區(qū)間等同于答案：D例4：已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)判斷正確的是（）A.最小正周期為，一個對稱中心是B.最小正周期為，一個對稱中心是C.最小正周期為，一個對稱中心是D.最小正周期為，一個對稱中心是思路：對稱中心：時，一個對稱中心是答案：A例5：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.B.C.D.思路：求單調(diào)區(qū)間可設(shè)，即，只需找到所滿足的條件然后解出的范圍即可。的取值需要滿足兩個條件，一是保證，二是取單調(diào)增的部分，所以可得：，即，解得：答案：A例6：設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（）A.是偶函數(shù)B.的最小正周期是C.圖像關(guān)于點(diǎn)對稱D.在區(qū)間上是增函數(shù)思路：先判斷的周期，可結(jié)合圖像進(jìn)行判斷，可得：；對于對稱軸，對稱中心，單調(diào)區(qū)間，可考慮設(shè)，即，借助圖像先寫出所符合的條件，再求出的值（或范圍）即可。對稱軸：，不是偶函數(shù)對稱中心：，關(guān)于點(diǎn)對稱單調(diào)增區(qū)間：答案：C例7：函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸間的距離為（）A.B.C.D.思路：根據(jù)圖像的特點(diǎn)可得：相鄰對稱軸之間的距離是周期的一半，所以間距為：答案：B例8：已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為_______思路一：可以利用輔角公式變形為的形式，但是由于系數(shù)含參，所以輔角只能用一個抽象的代替：因?yàn)殛P(guān)于直線對稱，思路二：本題還可以利用特殊值法求出的值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可：因?yàn)殛P(guān)于直線對稱，所以代入一組特殊值：，再代入驗(yàn)證，其一條對稱軸為，符合題意答案：例9：已知在單調(diào)遞增，求的取值范圍思路：的圖像可視為僅由放縮得到。，由在單調(diào)遞增可得：，即答案：例10：已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則的取值集合為______________思路：的圖像可視為的圖像橫坐標(biāo)變?yōu)榱耍?，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)增，所以，即；另一方面，的對稱軸為，所以解得，再結(jié)合可得答案：三、近年好題精選1、函數(shù)的最小正周期是，若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于點(diǎn)對稱B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱D．關(guān)于直線對稱2、（2015，湖南）將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，有，則（）A.B.C.D.3、（2016，重慶萬州二中）若函數(shù)與函數(shù)在上的單調(diào)性相同，則的一個值為（）A.B.C.D.4、將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（）A.B.C.D.5、（2015，天津）一直函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為_______6、（2014，安徽）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的最小正值是__________7、（2014，北京）設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為______8、已知的圖像在上恰有一個對稱軸和一個對稱中心，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______9、（2014，福建）已知函數(shù)（1）若，且，求的值（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間10、（2016，山東濰坊中學(xué)高三期末）已知函數(shù)（）．（1）求最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．習(xí)題答案：1、答案：B解析：由最小正周期可得：，向右平移個單位后解析式為，即，由奇函數(shù)可知，所以，對稱軸：，對稱中心：，即，配合選項(xiàng)可得B正確2、答案：D解析：，由可知分別取到最大最小值，不妨設(shè)，所以，由可知3、答案：C解析：先求出的單調(diào)性，，解得單調(diào)遞減區(qū)間為：，即在上單調(diào)遞減。所以在單調(diào)減，，所以，有，可知C符合題意4、答案：B解析：先利用圖像變換求出解析式：，即，其圖像可視為僅僅通過放縮而得到的圖像。若最大，則要求周期取最小，由為增函數(shù)可得：應(yīng)恰好為的第一個正的最大值點(diǎn)5、答案：解析：，由在內(nèi)單調(diào)遞增，且對稱軸為可知在達(dá)到最大值，所以，由在單增可知，從而解得6、答案：解析：平移后的解析式為：，由對稱軸為可知，令即得到最小正值7、答案：解析：由可得為一條對稱軸，由可知為一個對稱中心。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)，所以可知與為相鄰的對稱軸與對稱中心，所以8、答案：解析：由可得：，若恰有一個對稱軸和對稱中心，則對稱軸和對稱中心為，所以9、解析：（1）由及可得：（2）解得：的單調(diào)遞增區(qū)間為10、解析：（1）周期單調(diào)遞增區(qū)間：所以單調(diào)遞增區(qū)間：（2）第29煉圖像變換在三角函數(shù)中的應(yīng)用在高考中涉及到的三角函數(shù)圖像變換主要指的是形如的函數(shù)，通過橫縱坐標(biāo)的平移與放縮，得到另一個三角函數(shù)解析式的過程。要求學(xué)生熟練掌握函數(shù)圖像變換，尤其是多次變換時，圖像變化與解析式變化之間的對應(yīng)聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識：（一）圖像變換規(guī)律：設(shè)函數(shù)為（所涉及參數(shù)均為正數(shù)）1、函數(shù)圖像的平移變換：（1）：的圖像向左平移個單位（2）：的圖像向右平移個單位（3）：的圖像向上平移個單位（4）：的圖像向下平移個單位2、函數(shù)圖像的放縮變換：（1）：的圖像橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模▓D像表現(xiàn)為橫向的伸縮）（2）：的圖像縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮▓D像表現(xiàn)為縱向的伸縮）3、函數(shù)圖象的翻折變換：（1）：在軸正半軸的圖像不變，負(fù)半軸的圖像替換為與正半軸圖像關(guān)于軸對稱的圖像（2）：在軸上方的圖像不變，軸下方的部分沿軸向上翻折即可（與原軸下方圖像關(guān)于軸對稱）（二）圖像變換中要注意的幾點(diǎn)：1、如何判定是縱坐標(biāo)變換還是橫坐標(biāo)變換？在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：①若變換發(fā)生在“括號”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換②若變換發(fā)生在“括號”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換例如：：可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個步驟：可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對稱變換，縱坐標(biāo)的為平移變換2、解析式變化與圖像變換之間存在怎樣的對應(yīng)？由前面總結(jié)的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)：（1）加“常數(shù)”平移變換（2）添“系數(shù)”放縮變換（3）加“絕對值”翻折變換3、多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)的變換后，在安排順序時注意以下原則：①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有發(fā)生相應(yīng)變化例如：可有兩種方案方案一：先平移（向左平移1個單位），此時。再放縮（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，此時系數(shù)只是添給，即方案二：先放縮（橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，此時，再平移時，若平移個單位，則（只對加），可解得，故向左平移個單位③縱坐標(biāo)的多次變換中，每次變換將解析式看做一個整體進(jìn)行例如：有兩種方案方案一：先放縮：，再平移時，將解析式看做一個整體，整體加1，即方案二：先平移：，則再放縮時，若縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，那么，無論取何值，也無法達(dá)到，所以需要對前一步進(jìn)行調(diào)整：平移個單位，再進(jìn)行放縮即可（）二、典型例題：例1：要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向右平移個單位D.向左平移個單位思路：觀察發(fā)現(xiàn)原始函數(shù)與變換后的函數(shù)僅僅多一個常數(shù)，說明只有平移變換，在變換的過程中要注意只有含的地方進(jìn)行了變化，所以只有，所以是向右平移個單位答案：C小煉有話說：（1）圖像變換要注意區(qū)分哪個是原始函數(shù)，哪個是變化后的函數(shù)。（2）對于前面含有系數(shù)時，平移變換要注意系數(shù)產(chǎn)生的影響。例2：把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)保持不變，再把圖像向右平移個單位，這是對應(yīng)于這個圖像的解析式是（）A.B.C.D.思路：，經(jīng)過化簡可得：答案：A例3：為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向右平移個單位D.向左平移個單位思路：觀察可發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的三角函數(shù)名不同，而圖像變換是無法直接改變?nèi)呛瘮?shù)名的，只有一個可能，就是在變換后對解析式進(jìn)行化簡，從而使得三角函數(shù)名發(fā)生改變。所以在考慮變換之前，首先要把兩個函數(shù)的三角函數(shù)名統(tǒng)一，，第二步觀察可得只是經(jīng)過平移變換，但是受到系數(shù)影響。所以考慮對兩個函數(shù)進(jìn)行變形以便于觀察平移了多少，目標(biāo)函數(shù)：；原函數(shù)：可得平移了個單位答案：B小煉有話說：常見的圖像變換是不能直接改變?nèi)呛瘮?shù)名，所以當(dāng)原函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)三角函數(shù)名不同時，首先要先統(tǒng)一為正弦或者余弦例4：要得到的圖像只需將的圖像（）A.先向左平移個單位，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的B.先向右平移個單位，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的C.先將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的，再將圖像向左平移個單位D.先將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為至原來的倍，再將圖像向右平移個單位思路：本題中共用兩個步驟：平移與放縮。步驟順序的不同將會導(dǎo)致平移的程度不同，所以可以考慮按照選項(xiàng)的提示進(jìn)行變換，看結(jié)果是否與已知相同A.B.C.D.答案：B例5：為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）A.向右平移個單位B.向左平移個單位C.向右平移個單位D.向左平移個單位思路：先將兩個函數(shù)化為相同的結(jié)構(gòu)，再考慮圖像變換，從入手化為的形式：，從而得到需要向左平移個單位。答案：D例6：將函數(shù)的圖像沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則的一個可能取值為（）A．B．C．D．思路：首先先求出平移后的解析式，即，在由已知可得其中一條對稱軸為，所以，解得：，當(dāng)時，答案：C小煉有話說：本題為圖像變換與三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合的題目例7：若將函數(shù)的圖像向右平移個單位可得到一個奇函數(shù)的圖像，向左平移個單位可得到一個偶函數(shù)的圖像，則可取的一組值是（）A.B.C.D.思路：本題也可按照例6的處理方式，通過兩次平移得出解析式然后列出的方程組求解，但從另一方面，由兩次平移后得到的對稱軸（對稱中心）的位置可以推出平移之前的對稱位置，從而確定出原函數(shù)的對稱軸與對稱中心：向右平移個單位后關(guān)于對稱，則原函數(shù)關(guān)于中心對稱；向左平移個單位關(guān)于軸對稱，則原函數(shù)關(guān)于軸對稱，從而確定周期，進(jìn)而，而向右平移個單位得到奇函數(shù)，可得答案：C例8：若把函數(shù)圖像向左平移個單位，則與函數(shù)的圖像重合，則的值可能是（）A.B.C.D.思路：首先將兩個函數(shù)的三角函數(shù)名統(tǒng)一：，將函數(shù)向左平移得到的解析式為，由于兩個函數(shù)圖像重合，可得，所以，解得：，故選擇D答案：D例9．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，則的值可以是（）A.B.C.D.思路：可以考慮先求出的解析式，從而減少中的變量個數(shù)。，而，即，所以，依題意，可得：或，解得：或，只有B符合題意答案：B例10：函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向右平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向左平移個單位長度思路：本題分為兩步，先根據(jù)圖像求解析式，再確定圖像變換。由圖像可得：最小值為，所以，再由對稱中心與對稱軸距離可得周期，從而。此時，由過可得：，所以，，則需向右平移個單位：答案：A三、近年好題精選1、函數(shù)的圖像向左平移個單位得函數(shù)的圖像，則函數(shù)的解析式是（）A．B．C．D．2、（2016，陜西八校聯(lián)考）下圖是，在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B．向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變C．向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變D．向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變3、（2015，山東）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位4、（2014，遼寧）將函數(shù)的圖像向右平移個單位