2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（一）：第30煉 y=Asin（wx t）的解析式的求解含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（一）：第30煉y=Asin（wxt）的解析式的求解含答案第30煉函數(shù)解析式的求解在有關(guān)三角函數(shù)的解答題中，凡涉及到的性質(zhì)時，往往表達式不直接給出，而是需要利用已知條件化簡或求得得到，本講主要介紹求解解析式的一些技巧和方法一、基礎(chǔ)知識：（一）表達式的化簡：1、所涉及的公式（要熟記，是三角函數(shù)式變形的基礎(chǔ)）（1）降冪公式：（2）（3）兩角和差的正余弦公式（4）合角公式：，其中（這是本講的主角，也是化簡的終結(jié)技）2、關(guān)于合角公式：的說明書：（1）使用范圍：三個特點：①同角（均為），②齊一次，③正余全（2）操作手冊：如果遇到了符合以上三個條件的式子，恭喜你，可以使用合角公式將其化為的形式了，通過以下三步：①一提：提取系數(shù)：，表達式變?yōu)椋孩诙遥河?，故可看作同一個角的正余弦（稱為輔助角），如，可得：③三合：利用兩角和差的正余弦公式進行合角：（3）舉例說明：①②③（4）注意事項：①在找角的過程中，一定要找“同一個角”的正余弦，因為合角的理論基礎(chǔ)是兩角和差的正余弦公式，所以構(gòu)造的正余弦要同角②此公式不要死記硬背，找角的要求很低，只需同一個角的正余弦即可，所以可以從不同的角度構(gòu)造角，從而利用不同的公式進行合角，例如上面的那個例子：，可視為，那么此時表達式就變?yōu)椋?，使用兩角差的余弦公式：所以，找角可以靈活，不必拘于結(jié)論的形式。找角靈活，也要搭配好對應(yīng)的三角函數(shù)公式。當然，角尋找的不同，自然結(jié)果形式上也不一樣，但與本質(zhì)是同一個式子（為什么？想想誘導(dǎo)公式的作用~）③通常遇到的輔助角都是常見的特殊角，這也為我們的化簡提供了便利，如果提完系數(shù)發(fā)現(xiàn)括號里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的來代替，再在旁邊標注的一個三角函數(shù)值。3、表達式的化簡攻略：可化簡的表達式多種多樣，很難靠列舉一一道明，化簡往往能夠觀察并抓住式子的特點來進行操作，所以說幾條適用性廣的建議：（1）觀察式子：主要看三點①系統(tǒng)：整個表達式是以正余弦為主，還是正切（大多數(shù)情況是正余弦），確定后進行項的統(tǒng)一（有句老話：切割化弦）②確定研究對象：是以作為角來變換，還是以的表達式（例如）看做一個角來進行變換。③式子是否齊次：看每一項（除了常數(shù)項）的系數(shù)是否一樣（合角公式第二條：齊一次），若是同一個角（之前不是確定了研究對象了么）的齊二次式或是齊一次式，那么很有可能要使用合角公式，其結(jié)果成為的形式。例如：齊二次式：，齊一次式：（2）向“同角齊次正余全”靠攏，能拆就拆，能降冪就降冪：常用到前面的公式，（還有句老話：平方降冪）例如：，確定研究對象了：，也齊一次，但就是角不一樣（一個是，一個是）那么該拆則拆，將打開于是就可合角了（二）求解的值以確定解析式1、的作用（1）稱為振幅，與一個周期中所達到的波峰波谷有關(guān)（2）：稱為頻率，與的周期相關(guān)，即（3）：稱為初相，一定程度上影響的對稱軸，零點2、的常規(guī)求法：（1）：①對于可通過觀察在一個周期中所達到的波峰波谷（或值域）得到②對于可通過一個周期中最大，最小值進行求解：（2）：由可得：只要確定了的周期，即可立刻求出，而的值可根據(jù)對稱軸（最值點）和對稱中心（零點）的距離進行求解①如果相鄰的兩條對稱軸為，則②如果相鄰的兩個對稱中心為，則③如果相鄰的對稱軸與對稱中心分別為，則注：在中，對稱軸與最值點等價，對稱中心與零點等價。（3）：在圖像或條件中不易直接看出的取值，通?？赏ㄟ^代入曲線上的點進行求解，要注意題目中對的限制范圍3、確定解析式要注意的幾個問題：（1）求參數(shù)的順序問題：理論上，三個參數(shù)均可以通過特殊點的代入進行求解，但由于與函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系非常緊密，所用通常先抓住波峰波谷以確定的值，再根據(jù)對稱軸對稱中心的距離確定，進而求出，最后再通過代入一個特殊點，并根據(jù)的范圍確定。（2）求時特殊點的選取：往往優(yōu)先選擇最值點，因為最值點往往計算出的值唯一，不會出現(xiàn)多解的情況。如果代入其它點（比如零點），有時要面臨結(jié)果取舍的問題。二、典型例題：例1：化簡：解：原式例2：化簡：解：例3：解：方法一：拆開化簡方法二：將視為一個整體，則例4：如圖，函數(shù)的圖像經(jīng)過點，且該函數(shù)的最大值為，最小值為，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.思路：由題目所給最值可得，圖中所給兩個零點的距離剛好是函數(shù)一個周期的長度。所以，此時解析式為，優(yōu)先代入最值點，盡管其橫坐標未在圖上標明，但可知最大值點橫坐標與的距離為，所以代入可得：，由可解得：，所以解析式為答案：A小煉有話說：（1）本題在求時，最值點的橫坐標未知。但為了避免結(jié)果的取舍，依然優(yōu)先選擇最值點，那么在的圖像中可根據(jù)零點的位置結(jié)合圖象和周期確定最值點的橫坐標。只要最值點可求，就用最值點求得（2）為什么不能用其它點？不妨以此題為例，代入零點求解再進行對比。代入可得：，從而在中的值有兩個：，那么到底哪個是符合圖像的呢？不妨再代入最值點驗證，會發(fā)現(xiàn)時，，與圖像不符，所以舍去。為什么代入最值點就算出一個解，而代入其它點會出兩個解呢？從表達式上看源自正弦值與角的特點。一個周期里當正弦值取到時，對應(yīng)的角只有一個，而正弦值取到時，會出現(xiàn)一個正弦值對應(yīng)兩個角的情況。所以自然就會出現(xiàn)多解問題。那么時對應(yīng)的圖像是什么樣的呢？如右圖所示：可發(fā)現(xiàn)其周期與零點和已知圖像完全一致，只是在最值點處剛好關(guān)于軸對稱。如果是曲線上的其它點也是會出現(xiàn)兩個圖像，而其中只有一個是正確的。當然有些題目對的取值范圍刻畫更加嚴格，那么代入非最值點也可得到唯一解。（3）本題除了可用純代數(shù)方法計算，還可以利用圖像變換得到的取值，由前面計算出，可得函數(shù)圖象從進行了橫縱坐標的放縮，此時解析式為，這個函數(shù)圖象的特點是過原點。而與已知圖像比較，可得已知圖像相當于圖像向左平移了個單位。所以。利用圖像變換求解析式關(guān)鍵要分析出所求圖像與的聯(lián)系（即如何平移得到）。例5：如圖所示為函數(shù)的部分圖像，其中兩點之間的距離為，那么_________思路：如圖可得，從而計算出，所以，進而而，所以，此時，而，解得，所以答案：例6：已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式是（）A.B.C.D.思路：，可先從周期入手確定的值，，所以，再由最值可得：，代入即可解出：，所以，即。從而的解析式為答案：B例7：已知函數(shù)的圖像如圖所示，，則（）A.B.C.D.思路一：可以考慮確定的解析式進而求出，如圖可計算出，所以，取零點的中點可得對稱軸而，從而，解出一個值。所以，且，所以，進而思路二：同思路一先解出，則，從圖中可得與關(guān)于中心對稱，從而答案：C小煉有話說：（1）本題中盡管沒有給出最值，但是并不妨礙的求解。從計算過程中也可以看出，是可以消掉的。所以求關(guān)鍵在于找到最值點的橫坐標（2）思路二跳過了求解析式，而是利用周期性與對稱性直接得到的值。對于函數(shù)中，處處暗藏著對稱與周期的關(guān)系，巧妙運用這些關(guān)系可以在求函數(shù)值時事半功倍。例8：已知函數(shù)的圖像與軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖像上一個最低點為，則的解析式為____________思路：可從文字敘述中得到圖像的特點，從而求出參數(shù)的值：相鄰交點距離可得，從而，由最小值點可得到兩個信息：一個是，另一個是點即為求所要代入的特殊點。此時，則，即，解得：，所以答案：例9：已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，兩條對稱軸之間最短距離為，直線是其圖像的一條對稱軸，則函數(shù)解析式為________思路：先求出的值，由題目所給最值可得：，再由對稱軸距離為可求得，從而。此時函數(shù)解析式為，因為一條對稱軸為，所以，由得：，當取到最大值時，即，所以，進而，解析式為答案：例10：已知是函數(shù)一個周期內(nèi)圖像上的五個點，如圖所示，，為軸上的點，為圖像上的最低點，為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，關(guān)于點中心對稱，在軸上的投影為，則函數(shù)的解析式為____________思路：設(shè)圖像的最高點為，可知關(guān)于中心對稱，關(guān)于點中心對稱，所以與關(guān)于中心對稱，所以在軸上的投影也為，而，所以可得在軸上的投影為，從而，此時，將代入可得：，所以，即，從而答案：第31煉解三角形中的要素一、基礎(chǔ)知識：1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：變式：（1）①此公式通過邊的大?。ń莾蛇吪c對邊）可以判斷出是鈍角還是銳角當時，，即為銳角；當（勾股定理）時，，即為直角；當時，，即為鈍角②觀察到分式為齊二次分式，所以已知的值或者均可求出（2）此公式在已知和時不需要計算出的值，進行整體代入即可3、三角形面積公式：（1）（為三角形的底，為對應(yīng)的高）（2）（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑，此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑）（4）海倫公式：（5）向量方法：（其中為邊所構(gòu)成的向量，方向任意）證明：，而坐標表示：，則4、三角形內(nèi)角和（兩角可表示另一角）。5、確定三角形要素的條件：（1）唯一確定的三角形：①已知三邊（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三個角②已知兩邊及夾角（SAS）：可利用余弦定理求出第三邊，進而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余兩角③兩角及一邊（AAS或ASA）：利用兩角先求出另一個角，然后利用正弦定理確定其它兩條邊（2）不唯一確定的三角形①已知三個角（AAA）：由相似三角形可知，三個角對應(yīng)相等的三角形有無數(shù)多個。由正弦定理可得：已知三個角只能求出三邊的比例：②已知兩邊及一邊的對角（SSA）：比如已知，所確定的三角形有可能唯一，也有可能是兩個。其原因在于當使用正弦定理求時，，而時，一個可能對應(yīng)兩個角（1個銳角，1個鈍角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角對大邊的特點，具體可參考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：觀察題目中所給的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）間接法：可以根據(jù)所求變量的個數(shù)，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進行求解7、三角形的中線定理與角平分線定理（1）三角形中線定理：如圖，設(shè)為的一條中線，則（知三求一）證明：在中①②為中點①②可得：（2）角平分線定理：如圖，設(shè)為中的角平分線，則證明：過作∥交于為的角平分線為等腰三角形而由可得：二、典型例題：例1：（1）的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則_____（2））的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則_____思路：（1）由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：代入可解得：。由可得：，所以答案：（2）由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：代入可解得：，則或，由可得：，所以和均滿足條件答案：或小煉有話說：對比（1）（2）可發(fā)現(xiàn)對于兩邊及一邊的對角，滿足條件的三角形可能唯一確定，也有可能兩種情況，在判斷時可根據(jù)“大邊對大角”的原則，利用邊的大小關(guān)系判斷出角之間的大小關(guān)系，判定出所求角是否可能存在鈍角的情況。進而確定是一個解還是兩個解。例2：在中，，若的面積等于，則邊長為_________思路：通過條件可想到利用面積與求出另一條邊，再利用余弦定理求出即可解：答案：例3：（2012課標全國）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且有（1）求（2）若，且的面積為，求（1）思路：從等式入手，觀察每一項關(guān)于齊次，考慮利用正弦定理邊化角：，所涉及式子與關(guān)聯(lián)較大，從而考慮換掉，展開化簡后即可求出解：即或（舍）（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面積與關(guān)于的余弦定理可列出的兩個方程，解出即可解：可解得小煉有話說：通過第（1）問可以看出，在遇到關(guān)于邊角的方程時，可觀察邊與角正弦中是否具備齊次的特點，以便于進行邊角互化。另一方面當角同時出現(xiàn)在方程中時，通常要從所給項中聯(lián)想到相關(guān)兩角和差的正余弦公式，然后選擇要消去的角例4：如圖，在中，是邊上的點，且，則的值為___________思路：求的值考慮把放入到三角形中，可選的三角形有和，在中，已知條件有兩邊，但是缺少一個角（或者邊），看能否通過其它三角形求出所需要素，在中，三邊比例已知，進而可求出，再利用補角關(guān)系求出，從而中已知兩邊一角，可解出解：由可設(shè)則在中，在中，由正弦定理可得：小煉有話說：（1）在圖形中求邊或角，要把邊和角放入到三角形當中求解，在選擇三角形時盡量選擇要素多的，并考慮如何將所缺要素利用其它條件求出。（2）本題中給出了關(guān)于邊的比例，通常對于比例式可考慮引入一個字母（例如本題中的），這樣可以將比例轉(zhuǎn)化為邊的具體數(shù)值，便于計算例5：已知中，分別是角所對邊的邊長，若的面積為，且，則等于___________思路：由已知可聯(lián)想到余弦定理關(guān)于的內(nèi)容，而，所以可以得到一個關(guān)于的式子，進而求出解：而代入可得：答案：例6：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為，則的值為.思路：已知求可以聯(lián)想到余弦定理，但要解出的值，所以尋找解出的條件，，而代入可得，再由可得，所以答案：例7：設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為，若，且，則的值為（）A.B.C.D.思路：由可得：，從而，解得，從可聯(lián)想到余弦定理：，所以有，從而再由可得，所以的值為答案：C小煉有話說：本題的難點在于公式的選擇，以及所求也會讓我們想到正弦定理。但是通過嘗試可發(fā)現(xiàn)利用角進行計算較為復(fù)雜。所以在解三角形的題目中，條件的特征決定選擇哪種公式入手；如果所給是關(guān)于邊，角正弦的其次式，可以考慮正弦定理。如果條件中含有角的余弦，或者是邊的平方項，那么可考慮嘗試余弦定理。例8：設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為，且，則（）A.B.C.D.或思路：由的結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到余弦定理：，可以此為突破口，即，代入解得：，進而求出，得到比例代入余弦定理可計算出解：由可得：，代入到可得：例9：已知的三邊長為三個連續(xù)的自然數(shù)，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值是（）A.B.C.D.思路：不妨考慮，將三個邊設(shè)為，則，想到正弦定理，再將利用余弦定理用邊表示，列方程解出，從而求出解：設(shè)，則代入可得：，解得：答案：A小煉有話說：本題的特色在于如何利用“最大內(nèi)角是最小內(nèi)角2倍”這個條件，可聯(lián)想到正余弦的二倍角公式。本題采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之間與題目中邊的條件找到聯(lián)系。如果采用余弦二倍角公式，則有，即便使用余弦定理也會導(dǎo)致方程次數(shù)過高，不利于求解。例10：在中，為邊上一點，，若的面積為，則_________思路：要求出，可在中求解，通過觀察條件，可從可解，解出，進而求出，再在中解出，從而三邊齊備，利用余弦定理可求出解：同理答案：小煉有話說：（1）本題與例4想法類似，都是把所求要素放入到三角形中，同時要通過條件觀察哪個三角形條件比較齊備，可作為入手點解出其他要素（2）本題還可以利用輔助線簡化運算，作于，進而利用在中得，再用解出進而，則在上所以可得：，所以三、近年好題精選1、設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為，且，則（）A.B.C.D.2、設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為，且，則的值為（）A.B.C.D.3、在中，為邊上一點，，若，則（）A.B.C.D.4、（2015，北京）在中，，則_______5、（2015，廣東）設(shè)的內(nèi)角的