2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第99煉 歸納推理與類比推理含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（三）：第99煉歸納推理與類比推理含答案第99煉歸納推理與類比推理一、基礎(chǔ)知識：（一）歸納推理：1、歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納），簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理2、處理歸納推理的常見思路：（1）利用已知條件，多列出（或計算出）幾個例子，以便于尋找規(guī)律（2）在尋找規(guī)律的過程中，要注意觀察哪些地方是不變的（形成通式的結(jié)構(gòu)），哪些地方是變化的（找到變量），如何變化（變量變化的規(guī)律）（3）由具體例子可將猜想的規(guī)律推廣到一般情形，看是否符合題意3、常見的歸納推理類型：（1）函數(shù)的迭代：設(shè)是的函數(shù)，對任意，記，則稱函數(shù)為的次迭代；對于一些特殊的函數(shù)解析式，其通常具備某些特征（特征與）有關(guān)。在處理此類問題時，要注意觀察解析式中項的次數(shù)，式子結(jié)構(gòu)以及系數(shù)的特點(diǎn)，以便于從具體例子中尋找到規(guī)律，得到的通式（2）周期性：若尋找的規(guī)律呈現(xiàn)周期性，則可利用函數(shù)周期性（或數(shù)列周期性）的特點(diǎn)求出某項或分組（按周期分組）進(jìn)行求和。（3）數(shù)列的通項公式（求和公式）：從數(shù)列所給的條件中，很難利用所學(xué)知識進(jìn)行變形推導(dǎo)，從而可以考慮利用條件先求出幾項，然后找到規(guī)律，猜出數(shù)列的通項公式（求和公式）（4）數(shù)陣：由實數(shù)排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確定數(shù)陣的規(guī)律及求某項。對于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念。橫向為“行”，縱向為“列”，在項的表示上通常用二維角標(biāo)進(jìn)行表示，其中代表行，代表列。例如：表示第行第列。在題目中經(jīng)常會出現(xiàn)關(guān)于某個數(shù)的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的特點(diǎn)，確定所求數(shù)的序號，再根據(jù)每行元素個數(shù)的特點(diǎn)（數(shù)列的通項），求出前行共含有的項的個數(shù)，從而確定該數(shù)位于第幾行，然后再根據(jù)數(shù)之間的規(guī)律確定是該行的第幾個，即列。（二）類比推理：1、類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理（簡稱類比）2、常見的類比類型及處理方法：（1）運(yùn)算的類比：通常是運(yùn)算級數(shù)相對應(yīng)：①加法乘法，②數(shù)乘（系數(shù)與項的乘法）指數(shù)冪③減法除法（2）運(yùn)算律的類比：在數(shù)學(xué)中的其它領(lǐng)域，如果滿足加法，乘法的交換律，以及乘法的分配律，則代數(shù)表達(dá)式部分運(yùn)算公式可推廣到該領(lǐng)域中。例如①在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則：代數(shù)中的平方差公式：，和差完全平方公式：均可推廣到向量數(shù)量積中：，②在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則實數(shù)中的運(yùn)算公式可推廣到復(fù)數(shù)中（甚至是二項式定理）（3）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比：等差數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著一，二級運(yùn)算（加減，數(shù)乘），等比數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著二，三級運(yùn)算（乘除，乘方）。所以在某些性質(zhì)中體現(xiàn)出運(yùn)算上的類比。例如：設(shè)為等差數(shù)列，公差為；為等比數(shù)列，公比為，則①遞推公式：②通項公式：③雙項性質(zhì)：④等間隔取項，在數(shù)列，中等間隔的取項：則成等差數(shù)列成等比數(shù)列（4）維度的類比：平面幾何（二維）的結(jié)論與立體幾何（三維）的結(jié)論進(jìn)行類比，當(dāng)維度升高時，涉及的要素也將維度升高，例如：①位置關(guān)系：平面中的線的關(guān)系空間中的面的關(guān)系，線所成的角線面角或二面角，②度量：線段長度圖形的面積，圖形面積幾何體體積，點(diǎn)到線的距離點(diǎn)到平面距離③衍生圖形：內(nèi)切圓內(nèi)切球，外接圓外接球，面對角線體對角線（5）平面坐標(biāo)與空間坐標(biāo)的類比：平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)，在有些坐標(biāo)運(yùn)算的問題中，只需加上豎坐標(biāo)的運(yùn)算即可完成推廣，例如：①線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：平面：設(shè)，則中點(diǎn)空間：設(shè)，則中點(diǎn)②兩點(diǎn)間距離公式：平面：設(shè)，則空間：設(shè)，則3、同一個命題，不同的角度類比得到的結(jié)論可能不同，通常類比只是提供一個思路與方向，猜想出一個命題后通過證明才能保證其正確。在有關(guān)類比的題目中通常選擇正確的命題作為類比的結(jié)論二、典型例題：例1：已知，定義，經(jīng)計算照此規(guī)律，則（）A.B.C.D.思路：由定義可知：即為的導(dǎo)函數(shù)，通過所給例子的結(jié)果可以推斷出，從而，所以答案：C例2：蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似的看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，第六幅圖的蜂巢總數(shù)為（）A.B.C.D.思路：從所給圖中可發(fā)現(xiàn)第個圖可以視為在前一個圖的基礎(chǔ)上，外面圍上一個正六邊形，且這個正六邊形的每條邊有個小正方形，設(shè)第個圖的蜂巢總數(shù)為，則可知比多的蜂巢數(shù)即為外圍的蜂巢數(shù)。即（每條邊個，其中頂點(diǎn)被計算了兩次，所以要減），所以有，聯(lián)想到數(shù)列中用到的累加法，從而由，且則。代入可得答案：C例3：將正整數(shù)排成數(shù)陣（如圖所示），則數(shù)表中的數(shù)字出現(xiàn)在（）A.第44行第78列B.第45行第78列C.第44行第77列D.第45行第77列思路：從數(shù)陣中可發(fā)現(xiàn)每一行的末尾均為一個完全平方數(shù)，即第行最后一個數(shù)為，所以考慮離較近的完全平方數(shù)：，所以位于第行，因為是第44行的最后一個數(shù)，所以為第45行中第個數(shù)，即位于第45行第78列答案：B例4：已知結(jié)論：“在中，各邊和它所對角的正弦比相等，即”，若把該結(jié)論推廣到空間，則結(jié)論為：“在三棱錐中，側(cè)棱與平面，平面所成的角為，則有（）A.B.C.D.思路：本題為維度推廣題，平面中的線段所成的夾角推廣為線面角，所以可將正弦定理的邊長（一維度量）類比推廣為面積（二維度量），正弦定理中為角所對的邊長，則在三棱錐中推廣為線面角所對的側(cè)面面積，即所對的側(cè)面為平面，所對的側(cè)面為平面，所以猜測，再考慮證明其正確性。證明過程如下：證明：分別過作平面，平面的垂線，垂足分別為由線面角的定義可知：同理：得證答案：C例5：三角形的面積，其中為其邊長，為內(nèi)切圓半徑，利用類比法可以得出四面體的體積為（）A.（其中分別為四個面的面積，為內(nèi)切球的半徑）B.（為底面面積，為四面體的高）C.（其中分別為四個面的面積，為內(nèi)切球的半徑）D.（為底面邊長，為四面體的高）思路：本題為維度題，在三角形中，面積依靠內(nèi)切圓半徑與邊長求解。則在四面體中，內(nèi)切圓類比成內(nèi)切球，邊長類比為面積。所以四面體的體積與內(nèi)切球半徑與各面面積相關(guān)，即在A，C中挑選?？紤]在三角形中，可通過連接內(nèi)心與各頂點(diǎn)，將三角形分割為三個小三角形，底邊為各邊邊長，高均為半徑，所以面積，其中系數(shù)來源于三角形面積公式。進(jìn)而類比到四面體中，可通過連接內(nèi)切球的球心與各頂點(diǎn)，將四面體分割為4個小四面體，以各面為底面，內(nèi)切球半徑為高。從而。系數(shù)來源于棱錐體積公式答案：C例6：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列也是等比數(shù)列.若數(shù)列是等差數(shù)列，可類比得到關(guān)于等差數(shù)列的一個性質(zhì)為（）A.是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列C.是等差數(shù)列D.是等差數(shù)列思路：考慮在等比數(shù)列中，很多性質(zhì)為應(yīng)用二三級運(yùn)算（乘除法，乘方開方），到了等差數(shù)列中，很多性質(zhì)可類比為一二級運(yùn)算（加減，數(shù)乘）。在本題中所給等比數(shù)列用到了乘法與開方，所以可聯(lián)想到類比等差數(shù)列，乘法運(yùn)算對應(yīng)類比為加法，開方運(yùn)算對應(yīng)類比為除法。所以該性質(zhì)為：若數(shù)列是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列。這個命題是正確的，證明如下：證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則為等差數(shù)列為公差是的等差數(shù)列答案：B例7：對于大于1的自然數(shù)的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行一下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個是，則的值是（）A.B.C.D.思路：觀察這幾個等式不難發(fā)現(xiàn)以下特征：（1）可分解為個連續(xù)奇數(shù)的和，（2）從開始這些奇數(shù)是按順次排列的。所以在第個數(shù)時，所用的奇數(shù)的總數(shù)為個。從3開始算起，是第個奇數(shù)。當(dāng)，可知所用的奇數(shù)總數(shù)為個，當(dāng)，可知所用的奇數(shù)總數(shù)為個。所以答案：C例8：從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為（）A.B.C.D.思路：當(dāng)三角形在移動時，觀察其規(guī)律，內(nèi)部的數(shù)如果設(shè)第一行的數(shù)為，則第二行的數(shù)為，其和為，第三行的數(shù)為，其和為，所以這九個數(shù)的和為，代入到各個選項中看能否算出即可。通過計算可得：時，符合題意答案：C例9：某種游戲中，黑，白兩個“電子狗”從棱長為1的正方體的頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是，白“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第段所在直線必須是異面直線（其中），設(shè)黑“電子狗”爬完2012段，白“電子狗”爬完2011段后各自停止在正方體的某個頂點(diǎn)處，這時黑、白“電子狗”間的距離是_____________思路：首先根據(jù)題目中所給規(guī)則，觀察“電子狗”所走路徑的規(guī)律。會發(fā)現(xiàn)黑“電子狗”所走的路線為，然后周而復(fù)始，以6為周期；白“電子狗”所走的路線為，也是以6為周期。從而由周期性的規(guī)律可得：，則黑電子狗到達(dá)；，所以白電子狗到達(dá)，所以只需計算即可，由正方體性質(zhì)可知答案：例10：把正整數(shù)按一定的規(guī)律排成了如圖所示的三角形數(shù)陣，設(shè)是位于這個三角形數(shù)中從上往下數(shù)第行，從左往右數(shù)第列的數(shù)，如若，則()A.111B.110C.108D.105思路：觀察三角形數(shù)陣可知奇數(shù)行中的數(shù)均為奇數(shù)，偶數(shù)行均為偶數(shù)。所以可知一定在奇數(shù)行中，先確定的值，因為奇數(shù)構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以第個奇數(shù)，因為，所以可得為第個奇數(shù)，考慮前面的奇數(shù)共占了多少行。由第行由個奇數(shù)可得：前個奇數(shù)行內(nèi)奇數(shù)共有，前個奇數(shù)行內(nèi)奇數(shù)共有，而，所以在第個奇數(shù)行中，即，再考慮的值，第31個奇數(shù)行最后一個奇數(shù)為，因為，所以為第32個奇數(shù)行的第47個數(shù)，即，從而答案：C第100煉利用同構(gòu)特點(diǎn)解決問題一、基礎(chǔ)知識：1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解二、典型例題：例1：（2015天津十二校聯(lián)考）設(shè)，滿足，則（）A.B.C.D.思路：本題研究對象并非，而是，進(jìn)而可變形為，觀察上下式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進(jìn)而可將相同的結(jié)構(gòu)視為一個函數(shù)，而等式右邊兩個結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解解：設(shè)，可得為奇函數(shù)，由題意可得：答案：B例2：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是_____________思路：注意到是增函數(shù)，從而得到，即，發(fā)現(xiàn)兩個式子為的同構(gòu)式，進(jìn)而將同構(gòu)式視為一個方程，而為該方程的兩個根，的取值只需要保證方程有兩根即可解：為增函數(shù)為方程在上的兩個根，即有兩個不同的根令所以方程變形為：，結(jié)合圖像可得：答案：例3：設(shè)，則|“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充要又不必要條件思路：觀察可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點(diǎn)，所以將這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)，分析其單調(diào)性?？傻脼樵龊瘮?shù)。所以，即，所以是充要條件答案：C 例4：若，則（）A.B.C.D.答案：C思路：本題從選項出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個選項通過不等式變形將分居在不等式兩側(cè)后都具備同構(gòu)的特點(diǎn)，所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在的單調(diào)性即可解：A選項：，設(shè)，設(shè)，則有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，從而存在，使得，由單調(diào)性可判斷出：，所以在不單調(diào)，不等式不會恒成立B選項：，設(shè)可知單調(diào)遞增。所以應(yīng)該，B錯誤C選項：，構(gòu)造函數(shù)，，則在恒成立。所以在單調(diào)遞減，所以成立D選項：，同樣構(gòu)造，由C選項分析可知D錯誤答案：C例5：已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是（）A.B.C.D.思路：觀察條件可變形為：，從而得到等式左右的結(jié)構(gòu)均為的形式，且括號內(nèi)的數(shù)間隔為1。所以。因為為偶函數(shù)，所以，由可得，進(jìn)而答案：A例6：如果，那么的取值范圍是________思路：本題很難直接去解不等式，觀察式子特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將關(guān)于的項分居在不等號兩側(cè)：，則左右呈現(xiàn)同構(gòu)的特點(diǎn)，將相同的結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)，能夠判斷是奇函數(shù)且單調(diào)遞增。所以不等式等價于，即，所以，結(jié)合，可得答案：例7：如圖，設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：直線過某一個定點(diǎn)解：設(shè)，的斜率為則，聯(lián)立方程消去可得：，整理可得：，因為與雙曲線相切所以代入可得：即即同理，切線的方程為在切線上，所以有滿足直線方程，而兩點(diǎn)唯一確定一條直線所以當(dāng)時，無論為何值，等式均成立點(diǎn)恒在直線上，故無論在何處，恒過定點(diǎn)例8：已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個頂點(diǎn)為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）過右焦點(diǎn)作直線交橢圓于，交軸于，若，求解：（1