考研數(shù)學二分類模擬212

考研數(shù)學二分類模擬212一、選擇題1.

設A，B均為n階矩陣，則下列結論正確的是______

A．AB=OA=O且B=O

B．A=O|A|=0

C．|AB|=0|A|=0或|B|=0

D．|A|=1A=E正確答案：C[解析]|AB|=|A||B|=0，故有|A|=0或|B|=0，反之亦成立。故選C。

取則AB=O，但A≠O，B≠O，選項A不成立。

取選項B不成立。

取選項D不成立。

2.

設A，B均為n階矩陣，則必有______A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.(A+B)-1=A-1+B-1正確答案：C[解析]因為|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，所以C項正確。

取B=-A，則|A+B|=0，而|A|+|B|不一定為零，故A項錯誤。

由矩陣乘法不滿足交換律知，B項不正確。

因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D項也不正確。

故選C。

3.

設A為n階方陣，且A+E與A-E均可逆，則下列等式中不成立的是______A.(A+E)2(A-E)=(A-E)(A+E)2B.(A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1C.(A+E)T(A-E)=(A-E)(A+E)TD.(A+E)(A-E)*=(A-E)*(A+E)正確答案：C[解析]由A與E可交換可得，A+E與A-E可交換，進而(A+E)2與A-E也可交換，故選項A成立。

顯然，(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)。若在等式兩邊同時左、右乘(A+E)-1，可得(A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1；若先在等式兩邊同時左、右乘(A-E)-1，可得(A+E)(A-E)-1=(A-E)-1(A+E)，再在所得的等式兩邊同時乘以|A-E|，即得(A+E)(A-E)*=(A-E)*(A+E)。故選項B、D成立。

事實上，只有當ATA=AAT時，(A+E)T(A-E)=(A-E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如：取可見ATA≠AAT。故選C。

4.

設A為n階可逆矩陣，則下列等式中不一定成立的是______A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D.(A+E)2=A2+2AE+E2正確答案：B[解析]由矩陣乘法的分配律可知

(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，

當且僅當矩陣A，B可交換(即AB=BA)時，(A+B)2=A2+2AB+B2成立。

由于A與A-1，A*，E都是可交換的，而A與AT不一定可交換。故選B。

5.

設A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式中必定成立的是______A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(A+B)-1=A-1+B-1C.|A+B|=|A|+|B|D.(AB)*=B*A*正確答案：D[解析]根據(jù)伴隨矩陣的定義可知

(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=B*A*。

故選D。

一般地，處理伴隨矩陣有兩個思路：

(1)如果已知矩陣A可逆，則用公式A*=|A|A-1；

(2)如果矩陣A不可逆或矩陣A是否可逆未知，則使用伴隨矩陣的定義或公式

AA*=A*A=|A|E。

6.

設A，B均為n階對稱矩陣，則下列說法中不正確的是______A.A+B是對稱矩陣B.AB是對稱矩陣C.A*+B*是對稱矩陣D.A-2B是對稱矩陣正確答案：B[解析]由題設條件，則

(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB。

所以有

(A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B，

從而選項A、D是正確的。

首先來證明(A*)T=(AT)*，即只需證明等式兩邊(i，j)位置元素相等。(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且為元素aij的代數(shù)余子式Aij。而矩陣(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代數(shù)余子式，因A為對稱矩陣，即aji=aij，則該元素仍為元素aij的代數(shù)余子式Aij。從而(A*)T=(AT)*=A*，故A*為對稱矩陣。同理，B*也為對稱矩陣。結合選項A可知，選項C是正確的。

因為(AB)T=BTAT=BA，從而選項B不正確。

注意：當A，B均為對稱矩陣時，AB為對稱矩陣的充要條件是AB=BA。

故選B。

7.

設A，B均為n階可逆矩陣，且(A+B)2=E，則(E+BA-1)-1=______A.(A+B)BB.E+AB-1C.A(A+B)D.(A+B)A正確答案：C[解析]因為

(E+BA-1)-1=(AA-1+BA-1)-1=[(A+B)A-1]-1=(A-1)-1(A+B)-1=A(A+B)，

故選C。

注意：由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩陣的定義知(A+B)-1=(A+B)。

8.

設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣。若A3=O，則______A.E-A不可逆，E+A不可逆B.E-A不可逆，E+A可逆C.E-A可逆，E+A可逆D.E-A可逆，E+A不可逆正確答案：C[解析]已知

(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E，

故E-A，E+A均可逆。故選C。

本題用到了立方差與立方和公式：

(A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3，(A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3，

該公式成立的充要條件是A，B可交換。本題中的A與E是可交換的，故可以使用該公式。

二、填空題1.

設α，β均為三維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果則αTβ=______。正確答案：5[解析]設α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則

而有

可以看出αTβ就是矩陣αβT的主對角線元素的和，所以

αTβ=1+6+(-2)=5。

設α，β均為n維列向量，則αβT為n階矩陣，βTα為一個數(shù)，且有βTα=tr(αβT)。

2.

設α為三維列向量，且則αTα=______。正確答案：2[解析]αTα等于矩陣伽ααT的對角線元素之和，即αTα=1+4-3=2。

3.

如果，且B2=E，則A2=______。正確答案：A[解析]已知且B2=E，則

即A2=A。

4.

設a=(1，2，3)T，，A=αβT，則A3=______。正確答案：[解析]且矩陣的乘法滿足結合律，所以

5.

已知2CA-2AB=C-B，其中A=B=則C3=______。正確答案：[解析]由2CA-2AB=C-B，得2CA-C=2AB-B，因此有C(2A-E)=(2A-E)B。

因為可逆，所以C=(2A-E)B(2A-E)-1，于是

6.

與矩陣可交換的矩陣為______。正確答案：其中x2和x4為任意實數(shù)[解析]設矩陣與A可交換，則由AB=BA可得

即x3=-2x2，x1=4x2+x4，所以

其中x3和x4為任意實數(shù)。

如果需要求出矩陣方程中未知矩陣的每一個分量，則可以設矩陣的每個分量為一個未知數(shù)，根據(jù)題干已知的矩陣方程建立線性方程組，解方程組得出矩陣的每一個分量，從而確定矩陣的具體形式。

7.

設方陣A滿足A2-A-2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩陣，則(A+2E)-1=______。正確答案：[解析]由A2-A-2E=O，可得(A+2E)(A-3E)=-4E，于是有

(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1，

因此

8.

設且A，B，X滿足(E-B-1A)TBTX=E，則X-1=______。正確答案：[解析]由(E-B-1A)TBTX=E，得[B(E-B-1A)]TX=E，即(B-A)TX=E，因此

9.

設B=(E+A)-1(E-A)，則(E+B)-1=______。正確答案：[解析]

B+E=(E+A)-1(E-A)+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A)

=(E+A)-1[(E-A)+(E+A)]=2(E+A)-1，

可得

已知

10.

設A，B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=則(B-2E)-1=______。正確答案：[解析]已知AB=2A+3B，于是有AB-2A-3B+6E=6E，則有(A-3E)(B-2E)=6E。從而

三、解答題1.

已知求An。正確答案：解：方法一：首先觀察

由此推測

下面用數(shù)學歸納法證明此結論成立。

當n=1時，結論顯然成立；假設n=k時成立，則n=k+1時，

由數(shù)學歸納法知

方法二：把矩陣A作如下拆分

2.

已知求An。正確答案：解：將矩陣A分塊，即

將B改寫成B=3E+P，于是

其中Pi=O(i=3，4，…，n)。

將C改寫成則C2=6C，…，Cn=6n-1C，所以

3.

已知AX+X+B+BA=O，求X2006。正確答案：解：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=-B(E+A)，而A+E是可逆的，所以

X=-(A+E)-1B(E+A)，

故

X2006=(A+E)-1B2006(E+A)=(A+E)-1(E+A)=E。

4.

已知PA=BP，其中求A2008。正確答案：解：|P|=6，則矩陣P可逆。由PA=BP可得A=P-1BP，于是A2008=P-1B2008P。

又因為

所以

A2008=P-1P=E。

5.

已知2CA-2AB=C-B，其中求C3。正確答案：解：由2CA-2AB=C-B得2CA-C=2AB-B，即C(2A-E)=(2A-E)B。

因為且|2A-E|=1，所以2A-E可逆，于是

6.

已知A，B為三階方陣，且滿足2A-1B=B-4E，其中E是三階單位矩陣。

(Ⅰ)證明：矩陣A-2E可逆；

(Ⅱ)若求矩陣A。正確答案：解：(Ⅰ)由2A-1B=B-4E知，AB-2B-4A=O。

所以

(A-2E)(B-4E)=8E，

即

故A-2E可逆，且

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知A=2E+8(B-4E)-1，而

故[解析]當題目中給出了矩陣方程，要證明某矩陣可逆或計算其逆矩陣時，一般的思路是利用矩陣的運算法則對等式進行變形，湊出該矩陣與另一矩陣的乘積為E。

7.

設矩陣且A3=O。(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若矩陣X滿足X-XA2-AX+AXA2=E，E為三階單位陣，求X。正確答案：解：(Ⅰ)由題設可知A的特征根為0，則tr(A)=3a=0，故a=0。

(Ⅱ)由題設可知，X(E-A2)-AX(E-A2)=E，(X-AX)(E-A2)=E，則X=(E-A)-1(E-A2)-1，即[解析]對于矩陣方程，一般需要利用矩陣的運算法則對等式進行變形化簡。一般來說，矩陣方程最終可能化為如下三