考研數(shù)學(xué)二分類模擬題63

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題63一、填空題1.

設(shè)可導(dǎo)，則a=______，b=______．正確答案：a=3，b=-2.[解]f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，

因為f(x)在x=1處連續(xù)，所以a+b=1；

因為f(x)在x=1處可導(dǎo)，所以a=3，故a=3，b=-2.

2.

的斜漸近線為______．正確答案：y=-x-2及y=x+2.[解]

由得

y=-x-2為曲線的一條斜漸近線；

由得

y=x+2為曲線的另一條斜漸近線．

3.

函數(shù)y=x2x的極小點為______．正確答案：[解]令y'=2x+x2xln2=2x(1+xln2)=0.得

當(dāng)時，y'＜0；當(dāng)時，y'＞0，

故為函數(shù)y=x2x的極小點．

4.

函數(shù)y=x+2cosx在上的最大值為______．正確答案：[解]令y'=1-2sinx=0得

y"=-2cosx，因為所以為y=x+2cosx的極大值點，也是最大值點，故最大值為

5.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由e2x+y-cosxy=e-1確定，則曲線y=y(x)在x=0對應(yīng)點處的法線方程為______．正確答案：[解]當(dāng)x=0時，y=1，

e2x+y-cosxy=e-1兩邊對x求導(dǎo)得

將x=0，y=1代入得

故所求法線方程為

6.

橢圓2x2+y2=3在點(1，-1)處的切線方程為______．正確答案：y=2x-3[解]2x2+y2=3兩邊對x求導(dǎo)得

4x+2yy'=0，即

所求的切線方程為y+1=2(x-1)，即y=2x-3.

二、選擇題1.

設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則等于______.A.f'(a)B.2f'(a)C.0D.f'(2a)正確答案：B[解]

應(yīng)選B．

2.

F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)內(nèi)______.A.有一個不可導(dǎo)點B.有兩個不可導(dǎo)點C.有三個不可導(dǎo)點D.可導(dǎo)正確答案：D[解]當(dāng)時，F(xiàn)(x)=0.

同理故F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)內(nèi)可導(dǎo)，應(yīng)選D．

3.

設(shè)則f(x)在x=1處______.A.極限不存在B.極限存在但不連續(xù)C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)正確答案：D[解]由f(1-0)=f(1)=1，f(1+0)=1得．

f(x)在x=1處極限存在且連續(xù)．

因為f'-(1)=f'+(1)=2，所以f'(1)=2，應(yīng)選D．

4.

設(shè)f(x)可導(dǎo)，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0處可導(dǎo)，則______.A.f(0)=0B.f'(0)=0C.f(0)=f'(0)D.f(0)=-f'(0)正確答案：A[解]F(0)=f(0)，

因為F(x)在x=0處可導(dǎo)，所以F'-(0)=F'+(0)，

于是f(0)=0，故應(yīng)選A．

5.

設(shè)f(x)可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的是______.

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解]取但f'(x)=1，A不對，

取，C不對；

取，D不對；

應(yīng)選B．

事實上，對任意的M＞0，

因為所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時，有f'(X)≥M0．

當(dāng)x＞X0時，f(x)-f(X0)-f'(ξ)(x-X0)≥M(x-X0)(X0＜ξ＜x)，

從而f(x)≥f(X0)+M(x-X0)，兩邊取極限得

6.

若曲線y=x2+ax+b與曲線2y=-1+xy3在(1，-1)處相切，則______.A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=-1，b=-1D.a=1，b=1正確答案：C[解]由y=x2+ax+b得y'=2x+a；

2y=-1+xy3兩邊對x求導(dǎo)得

2y'=y3+3xy2y'，解得

因為兩曲線在(1，-1)處相切，所以

解得a=-1，b=-1，應(yīng)選C．

7.

設(shè)f(x)滿足f"(x)+f'2(x)=2x，且f'(0)=0，則______.A.x=0為f(x)的極大點B.x=0為f(x)的極小點C.(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點D.x=0既非f(x)的極值點，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點正確答案：C[解]取x=0得f"(0)=0.

由f"(x)+f'2(x)=2x得

f'''(x)+2f'(x)f"x(x)=2，從而f'''(0)=2.

因為所以存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時，

從而故(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點，應(yīng)選C．

8.

若函數(shù)f(-x)=f(x)(-∞＜x＜+∞)，在(-∞，0)內(nèi)f'(x)＞0且f"(x)＜0，則在(0，+∞)內(nèi)有______.A.f'(x)＞0，f"(x)＜0B.f'(x)＞0，f"(x)＞0C.f'(x)＜0，f"(x)＜0D.f'(x)＜0，f"(x)＞0正確答案：C[解]因為f(x)為偶函數(shù)，所以f'(x)為奇函數(shù)，f"(x)為偶函數(shù)，

從而在(0，+∞)內(nèi)有f'(x)＜0，f"(x)＜0，應(yīng)選C．

9.

設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，又Δy=f(x+Δx)-f(x)，則當(dāng)Δx＞0時有______.A.Δy＞dy＞0B.Δy＜dy＜0C.dy＞Δy＞0D.dy＜Δy＜0正確答案：A[解]Δy=f(x+Δx)-f(x)=f'(c)Δx(x＜c＜x+Δx)，

由f'(x)＞0，f"(x)＞0得

f'(c)Δx＞f'(x)Δx＞0，即Δy＞dy＞0，應(yīng)選A．

10.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，則下列命題錯誤的是______.A.若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)為奇函數(shù)B.若f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)C.若f(x)為以T為周期的偶函數(shù)，則F(x)為以T為周期的奇函數(shù)D.若f(x)為以了、為周期的奇函數(shù)，則F(x)為以T為周期的偶函數(shù)正確答案：C[解]取f(x)=1-cosx，f(x)是以2π為周期的偶函數(shù)，

而F(x)不是以2π為周期的奇函數(shù)，應(yīng)選C．

11.

設(shè)f(x)為連續(xù)的奇函數(shù)，且則______.A.x=0為f(x)的極小點B.x=0為f(x)的極大點C.曲線y=f(x)在x=0處的切線平行于x軸D.曲線y=f(x)在x=0處的切線不平行于x軸正確答案：C[解]由得f(0)=0，f'(0)=0，則曲線y=f(x)在x=0的切線平行于x軸，應(yīng)選C．

12.

設(shè)偶函數(shù)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且f"(0)≠0，則x=0______.A.不是函數(shù)的駐點B.一定是函數(shù)的極值點C.一定不是函數(shù)的極值點D.不能確定是否是函數(shù)的極值點正確答案：B[解]因為f(x)為偶函數(shù)，所以f'(x)為奇函數(shù)，從而f'(0)=0.

因為f'(0)=0，而f"(0)≠0，所以x=0一定是f(x)的極值點，應(yīng)選B．

13.

曲線對應(yīng)的點處的曲率半徑為______.

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解]

則應(yīng)選C．

14.

下列曲線有斜漸近線的是______.

A．

B．y=x2+sinx

C．

D．y=x2+sin2x正確答案：A[解]由得

曲線有斜漸近線y=x，應(yīng)選A．

三、解答題1.

設(shè)f(x)=3x2+x2|x|，求使得f(n)(0)存在的最高階數(shù)n．正確答案：[解]

由得f'-(0)=0；由得f'+(0)=0，

從而f'(0)=0，于是

由得f"-(0)=6；由得f"+(0)=6，

從而f"(0)=6，于是

由得f'''-(0)=-6；由得f'''+(0)=6，

因為f'''-(0)≠f'''+(0)，所以f'''(0)不存在，故f(n)(0)存在的最高階數(shù)為n=2.

2.

設(shè)函數(shù)y=y(x)可導(dǎo)并滿足y"+(x-1)y'+x2y=ex，且y'(0)=1，若求a．正確答案：[解]由得y(0)=0，

得y"(0)=2a，

將y(0)=0，y'(0)=1代入原方程得y"(0)=2，故a=1.

3.

設(shè)f(x)是以4為周期的可導(dǎo)函數(shù)，求y=f(x)在(5，f(5))處的法線方程．正確答案：[解]由

因為f(x)以4為周期，所以

故y=f(x)在(5，f(5))的法線方程為

4.

設(shè)y=f(x)與y=si