考研數學二分類模擬題88

考研數學二分類模擬題88一、填空題1.

已知函數f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，且，則當n≥2時，f(n)(0)=______．正確答案：5·2n-1．[解析]f'(x)=2(x+1)+2f(x)，f'(0)=2+2f(0)=4，

f"(x)=2+2f'(x)，f"(0)=2+2×4=10，

f"(x)=2f"(x)，f"(0)=2f"(0)=20，

……

f(n)(x)=2f(n-1)(x)=22f(n-2)(x)=…=2n-2f"(x)，

則f(n)(0)=2n-2f"(0)=2n-2·10=2n-2·10=5·2n-1(n≥2)．

2.

曲線y=arctanx在橫坐標為1的點處的切線方程是______；法線方程是______．正確答案：．[解析]，則x=1處切線方程為，法線方程為．

3.

曲線在點(0，0)處的切線方程是______．正確答案：y=2x．[解析]y'=(x-1)(x-2)，y'(0)=2．則所求切線方程為y-0=2(x-0)，即y=2x．

4.

設函數y=f(x)由方程e2x+y-cosxy=e-1所確定，則曲線y=f(x)在點(0，1)處的法線方程為______．正確答案：x-2y+2=0．[解析]方程e2x+y-cosxy=e-1兩邊同時對x求導得

將x=0，y=1代入解得

故所求的法線方程為

x-2y+2=0．

5.

設函數y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所確定，則曲線y=f(x)在點(1，1)處的切線方程是______．正確答案：x-y=0．[解析]在xy+2lnx=y4兩端對x求導得

將x=1，y=1代入上式得，故所求切線方程為

y-1=x-1，即x-y=0．

6.

曲線sinxy+ln(y-x)=x在點(0，1)處的切線方程是______．正確答案：y=x+1．[解析]令f(x，y)=sinxy+ln(y-x)-x，則

于是，，故所求切線方程為y=x+1．

7.

曲線上對應于處的法線方程是______．正確答案：．[解析]當．又

，

則處法線方程為．

8.

曲線在t=2處的切線方程為______．正確答案：3x-y-7=0．[解析]．當t=2時，x=5，y=8．則所求切線方程為y-8=3(x-5)，即3x-y-7=0．

9.

曲線在點(0，1)處的法線方程為______．正確答案：y+2x-1=0．[解析]

當x=0時，t=0，故

從而在點(0，1)處法線的斜率為-2，法線方程為

y-1=-2x．

10.

曲線上對應于的點處的法線斜率為______．正確答案：．[解析]因

故曲線上對應于處的法線斜率為

11.

曲線在(0，0)處的切線方程為______．正確答案：y=2x．[解析]點(0，0)對應于t=1．因為

所以切線斜率為

故切線方程為y=2x．

12.

曲線上對應于t=1的點處的法線方程為______．正確答案：．[解析]曲線上對應于t=1的點處的切線斜率為

因而該點處的法線斜率為-1．

又

于是所求法線方程為

13.

曲線L的極坐標方程是r=θ，則L在點處的切線的直角坐標方程是______．正確答案：．[解析]先把曲線方程化為參數方程于是在處，x=0，，，則L在點處的切線方程為，即．

14.

已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加．則當l=12cm，w=5cm時，它的對角線增加的速率為______．正確答案：3cm/s．[解析]以y表示對角線的長，則有

將l'=2，w'=3，l=12，w=5代入得到

15.

已知動點P在曲線y=x3上運動，記坐標原點與點P間的距離為l．若點P的橫坐標對時間的變化率為常數v0，則當點P運動到點(1，1)時，l對時間的變化率是______．正確答案：．[解析]由題設知，則

二、選擇題1.

設函數y=f(x)由方程cosxy+lny-x=1確定，則A.2．B.1．C.-1．D.-2．正確答案：A[解析]由方程cosxy+lny-x=1，可解出y|x=0=f(0)=1．

在方程兩端對x求導，有

將x=0及y|x=0=1代入上式，得y'|x=0=f'(0)=1，所以

故選A．

2.

設函數．若f'(x)在x=0處連續(xù)，則A.α-β＞1．B.0＜α-β≤1．C.α-β＞2．D.0＜α-β≤2．正確答案：A[解析]易求出

再有

f'-(0)=0．

于是，f'(0)存在α＞1，此時f'(0)=0．

當α＞1時，，

因此，f'(x)在x=0連續(xù)選A．

3.

的圖形在點(0，1)處切線與x軸交點坐標是

A．

B．(-1，0)．

C．

D．(1，0)．正確答案：A[解析]f'(x)=x2+x+6，f'(0)=6，點(0，1)處的切線方程為y-1=6x，令y=0得，即此切線與x軸的交點坐標為．

4.

若曲線y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在點(1，-1)處相切，其中a，b是常數，則A.a=0，b=-2．B.a=1，b=-3．C.a=-3，b=1．D.a=-1，b=-1．正確答案：D[解析]由于曲線y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在點(1，-1)處相切，則在點(1，-1)處兩曲線切線斜率相等，且兩曲線同時過點(1，-1)．

y'=2x+a，y'|x=1=2+a．

2y'=y3+3xy2y'，y'|x=1=1．

則2+a=1，a=-1．

又-1=1+a+b=1-1+b=b，b=-1．

所以應選D．

5.

曲線y=x2與曲線y=alnx(a≠0)相切，則a=A.4e．B.3e．C.2e．D.e．正確答案：C[解析]設公共切點為(x0，y0)，則有

解得，y0=e，a=2e．

6.

設函數y=y(x)由參數方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是

A．

B．

C．-8ln2+3．

D．8ln2+3．正確答案：A[解析]由x=3得3=t2+2t，解之得t1=1，t2=-3，由y=ln(1+t)知應取t=1．

故曲線在(3，ln2)處的法線方程為

y-ln2=-8(x-3)．

令y=0，得．

7.

設兩函數f(x)和g(x)都在x=a處取得極大值，則函數F(x)=f(x)g(x)在x=a處A.必取極大值．B.必取極小值．C.不可能取極值．D.是否取極值不能確定．正確答案：D[解析]本題的關鍵在于由題設可知在x=a的某鄰域內有f(a)≥f(x)，g(a)≥g(x)，由此能否得到g(a)f(a)≥g(x)f(x)或g(a)f(a)≤g(x)f(x)，在一般情況下是得不到此結論的．

若取f(x)=-(x-a)2，g(x)=-(x-a)2，顯然f(x)和g(x)在x=a處取極大值0，但f(x)g(x)=(x-a)4在x=a處取極小值．則A，C都不正確；若取f(x)=1-(x-a)2，g(x)=1-(x-a)2，則f(x)和g(x)都在x=a處取極大值1，而f(x)g(x)=[1-(x-a)2]2在x=a處仍取極大值1，則B也不正確，從而只有D對．

8.

已知f(x)在x=0的某個鄰域內連續(xù)，且，則在點x=0處f(x)A.不可導．B.可導且f'(0)≠0．C.取得極大值．D.取得極小值．正確答案：D[解析]由于，故

又，故．由極限的保號性可知在x=0的去心鄰域內有，即f(x)＞0，故f(x)在x=0處取極小值，從而選D．

易知f(0)=0，

由于，則必有，即f'(0)=0．排除A，B．

三、解答題1.

已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數，它在x=0的某個鄰域內滿足關系式

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)，

其中α(x)是當x→0時比x高階的無窮小，且f(x)在x=1處可導，求曲線y=f(x)在點(6，f(6))處的切線方程．正確答案：解

由，

得f(1)-3f(1)=0，故f(1)=0．又

設sinx=t，則有

所以f'(1)=2．

由于f(x+5)=f(x)，所以

f(6)=f(1)=0，f'(6)=f'(1)=2，

故所求的切線方程為y=2(x-6)，即2x-y-12=0．[解析]本題綜合涉及函數的周期性、連續(xù)性、極限、導數定義及曲線的切線等內容，問題的關鍵點在于求出f'(1)，而又只能由導數的定義求f'(1)，這也是本題的難點所在．

2.

已知曲線的極坐標方程是r=1-cosθ，求該曲線上對應于處的切線與法線的直角坐標方程．正確答案：解

由直角坐標與極坐標之間的關系

得到此曲線的參數方程：

以代入，得到切點坐標為．

由參數方程求導公式得切線斜率為

所以切線的直角坐標方程為

即

法線方程為

即

3.

若f(x)在(a，b)內可導，且導數f'(x)恒大于零，則f(x)在(a，b)內單調增加．正確答案：證

，不妨設x1＜x2，則f(x)在[x1，x2]上連續(xù)，在(x1，x2)內可導，故由拉格朗日中值定理，，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)．

由于f'(x)在(a，b)內恒大于零，所以f'(ξ)＞0，又x2-x1＞0，因此f(x2)-f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，則f(x)在(a，b)內單調增加．

4.

若g(x)在x=c處二階導數存在，且g'(c)=0，g"(c)＜0，則g(c)為g(x)的一個極大值．正確答案：證

因，而g'(c)=0，故．由極限的保號性，，當x∈(c-δ，c)時，有，即g'(x)＞0，從而g(x)在(c-δ，c)上單增；當x∈(c，c+δ)時，有，即g'(x)＜0，從而g(x)在(c-δ，c)上單減．

又由g'(c)=0知，x=c是g(x)的駐點，因此g(c)為g(x)的一個極大值．

5.

在第一象限內求曲線y=-x2+1上的一點，使該點處的切線與所給曲線及兩坐標軸所圍成的圖形面積為最小，并求此最小面積．正確答案：解

設所求點為(x1，y1)，x1＞0，y1＞0，于是y'|x=x1=-2x1．過(x1，y1)的切線方程為

y-y1=-2x1(x-x1)．

令x=0得切線在y軸的截距，令y=0得切線在x軸的截距．

于是，所求面積為

令

得．

又，即知點為所求，此時．

6.

將長為a的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形，問這兩段鐵絲各