考研數(shù)學(xué)二分類模擬題100

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題100一、填空題1.

設(shè)三階方陣A，B滿足A2B-A-B=E，其中E為三階單位矩陣，若則|B|=______．正確答案：．[解析]由A2B-A-B=E得

(A2-E)B=A+E，即(A+E)(A-E)B=A+E．

而為可逆矩陣，所以有

(A-E)B=E，

由此得B=(A-E)-1．

又

故|A-E|=2，

因此

2.

設(shè)矩陣矩陣B滿足ABA*=2BA*+E，其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則|B|=______．正確答案：．[解析]由ABA*=2BA*+E知，(A-2E)BA*=E，B=(A-2E)-1(A*)-1，故|B|=|A*|-1|A-2E|-1．由知|A*|=9，于是

也可由(A-2E)BA*=E可直接兩端取行列式，不必具體解出B．

3.

設(shè)α1，α2，α3均為三維列向量，記矩陣

A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)．如果|A|=1，那么|B|=______．正確答案：2．[解析]解法1

利用行列式的性質(zhì)計(jì)算．

解法2

利用矩陣的性質(zhì)計(jì)算．

則

4.

設(shè)矩陣E為二階單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E，則|B|=______．正確答案：2．[解析]由題設(shè)等式得

B(A-E)=2E，

從而|B(A-E)|=|2E|，

即|B||A-E|=22=4．

因?yàn)樗詜B|=2．

5.

設(shè)3階矩陣A的特征值為2，3，λ．若行列式|2A|=-48，則λ=______．正確答案：-1．[解析]因?yàn)閨A|=6λ，故有

-48=|2A|=8|A|=48λ，

所以λ=-1．

6.

設(shè)A，B為3階矩陣，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，則|A+B-1|=______．正確答案：3．[解析]因?yàn)?/p>

|A|·|A-1+B|=|A(A-1+B)|=|E+AB|=|(B-1+A)B|=|B-1+A|·|B|，

即

2|B-1+A|=6，

所以|A+B-1|=3．

對(duì)于|A+B|型行列式，一般是恒等變形轉(zhuǎn)化為乘積的形式，其中單位矩陣E恒等變形是一個(gè)常用技巧．

7.

設(shè)A為3階矩陣，|A|=3，A*為A的伴隨矩陣．若交換A的第1行與第2行得矩陣B，則|BA*|=______．正確答案：-27．[解析]由題意知|B|=-|A|，而|A*|=|A|2，故

|BA*|=|B|·|A*|=-|A|3=-27．

8.

設(shè)A=(aij)是3階非零矩陣，|A|為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，則|A|=______．正確答案：-1．[解析]由aij+Aij=0(i，j=1，2，3)知，A的伴隨矩陣A*滿足

A*=-AT及|A*|=(-1)3|AT|=-|A|，

再由|A*|=|A|3-1=|A|2，

得|A|2+|A|=0．

最后，由行列式的展開(kāi)定理得

從而

因?yàn)锳是非零矩陣，所以|A|≠0．綜上，得

|A|+1=0，即|A|=-1．

9.

設(shè)3階矩陣A的特征值為2，-2，1，B=A2-A+E，其中E為3階單位矩陣，則行列式|B|=______．正確答案：21．[解析]A的特征值為2，-2，1，則B的特征值對(duì)應(yīng)分別為3，7，1，所以|B|=21．

也可設(shè)A是對(duì)角線元素為2，-2，1的對(duì)角矩陣，則B是對(duì)角線元素為3，7，1的對(duì)角矩陣，可得|B|=21．

10.

已知α=(1，2，3)，，設(shè)A=αTβ，其中αT是α的轉(zhuǎn)置，則An______．正確答案：．[解析]因?yàn)閼?yīng)用矩陣乘法的結(jié)合律，得

若α，β都是n維非零列向量，則A=αβT和B=βαT是兩個(gè)互為轉(zhuǎn)置的秩為1的方陣，而αTβ和βTα是兩個(gè)相等的數(shù)(這個(gè)數(shù)就是矩陣A=αβT的跡)，則An=ln-1A=(αTβ)n-1A．

11.

設(shè)而n≥2為正整數(shù)，則An-2An-1=______．正確答案：O3×3(即3×3階零矩陣)．[解析]由于A2=2A，故An-2An-1=An-2(A2-2A)=O．計(jì)算矩陣A的高次冪陣，通常要找出規(guī)律，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算．

先求出A2，A3等低次冪陣，找出規(guī)律．

12.

設(shè)E為4階單位矩陣，且B=(E+A)-1(E-A)，則(E+B)-1=______．正確答案：．[解析]此類填空題，總是先進(jìn)行符號(hào)推導(dǎo)再代入數(shù)字運(yùn)算．

因?yàn)锽+E=(E+A)-1(E-A)+E

=(E+A)-1(E-A+E+A)

=2(E+A)-1，

所以

本題利用了單位矩陣E恒等變形的技巧．

13.

設(shè)α為3維列向量，αT是α的轉(zhuǎn)置．若則αTα=______．正確答案：3．[解析]設(shè)由題設(shè)知，故

ααT是秩為1的方陣，αTα是一個(gè)數(shù)，且這個(gè)數(shù)αTα就是方陣ααT的跡，于是直接有

αTα=1+1+1=3．

14.

設(shè)矩陣則A3的秩為_(kāi)_____．正確答案：1．[解析]因?yàn)?/p>

故A3的秩為1．

計(jì)算A3，可以直接由乘法得到，這是最基本的方法，應(yīng)熟練掌握．此外，也可由這種矩陣方冪的規(guī)律得到：設(shè)則

15.

設(shè)矩陣等價(jià)，則a=______．正確答案：2．[解析]矩陣A，B等價(jià)r(A)=r(B)．

因?yàn)?，因?/p>

a=-1時(shí)，易見(jiàn)r(A)=1．

所以a=2時(shí)，矩陣A和B等價(jià)．

二、選擇題1.

記行列式為f(x)，則方程f(x)=0的根的個(gè)數(shù)為A.1．B.2．C.3．D.4．正確答案：B[解析]此題實(shí)質(zhì)上是計(jì)算行列式，看計(jì)算出的x的多項(xiàng)式次數(shù)是多少．在計(jì)算過(guò)程中要充分運(yùn)用行列式的性質(zhì)．

由此可知f(x)是2次多項(xiàng)式，故應(yīng)選B．

不要錯(cuò)誤的認(rèn)為f(x)一定是4次多項(xiàng)式．

2.

行列式A.(ad-bc)2．B.-(ad-bc)2．C.a2d2-b2c2．D.b2c2-a2d2．正確答案：B[解析]解法1

用行列式的性質(zhì)與公式計(jì)算行列式：

解法2

用行列式的性質(zhì)與按一行(列)展開(kāi)定理計(jì)算行列式：

3.

設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則A.當(dāng)m＞n時(shí)，必有行列式|AB|≠0．B.當(dāng)m＞n時(shí)，必有行列式|AB|=0．C.當(dāng)n＞m時(shí)，必有行列式|AB|≠0．D.當(dāng)n＞m時(shí)，必有行列式|AB|=0．正確答案：B[解析]由各選項(xiàng)可見(jiàn)，主要區(qū)分行列式不為零與為零的情形．而題中并未給出A與B的具體形式，所以無(wú)法用計(jì)算來(lái)回答。方陣的行列式不為零(為零)等價(jià)于該方陣滿秩(不滿秩)．故用秩的辦法來(lái)討論．

AB為m階方陣，

r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，

當(dāng)m＞n時(shí)，由上式有r(AB)≤n＜m，即AB不是滿秩的，所以|AB|=0．故選B．

4.

設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，若A3=O，則A.E-A不可逆，E+A不可逆．B.E-A不可逆，E+A可逆．C.E-A可逆，E+A可逆．D.E-A可逆，E+A不可逆．正確答案：C[解析]解法1

因?yàn)锳3=O，故

即分別存在矩陣E-A+A2和E+A+A2使

(E+A)(E-A+A2)=E，

(E-A)(E+A+A2)=E，

可知E-A與E+A都是可逆的，所以應(yīng)選C．

解法2

設(shè)λ是A的特征值，由Aλ=O，得λ3=λ=0(n重)，于是E-A的特征值是1(n重)，E+A的特征值是1(n重)，故二者均可逆．

解法1是利用的定義法，解法2是說(shuō)明0不是特征值．

5.

設(shè)A是任一n(n≥3)階方陣，A*是其伴隨矩陣，又k為常數(shù)，且k≠0，±1，則必有(kA)*=A.kA*．B.kn-1A*．C.knA*．D.k-1A*．正確答案：B[解析]解法1

本題考查數(shù)與矩陣的乘法及伴隨矩陣的概念．設(shè)A=(aij)n×n，其元素aij的代數(shù)余子式記作Aij，則矩陣kA=(kaij)n×n．若其元素kaij的代數(shù)余子式記作Δij(i，j=1，2，…，n)，則由行列式性質(zhì)，

Δij=kn-1Aij，i，j=1，2，…，n．

再由伴隨矩陣的定義知(kA)*=kn-1A*，可知B項(xiàng)正確．該題較簡(jiǎn)單，所以得分率偏高．題中對(duì)n和k的限制(除k≠0)是為了做到4個(gè)選項(xiàng)只有1個(gè)是正確的．

解法2

不妨加強(qiáng)條件設(shè)A可逆，(kA)(kA)*=(kA)*(kA)=|kA|E=kn|A|E，于是

(kA)*=kn-1|A|A-1=kn-1A*．

解法2中利用了AA*=A*A=|A|E這一有關(guān)伴隨矩陣的核心公式．

6.

設(shè)A，B均為2階方陣，A*，B*分別為A，B的伴隨矩陣．若|A|=2，|B|=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]解法1

對(duì)任一n階矩陣C，有

C*C=CC*=|C|E，

其中C*是C的伴隨矩陣．因此可直接用乘法驗(yàn)證，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)．

對(duì)選項(xiàng)A，有

E2為2階單位矩陣；

對(duì)選項(xiàng)B，有

E4為4階單位矩陣；

對(duì)選項(xiàng)C，D，分別有

由此知選項(xiàng)B正確．

解法2

設(shè)

分別求出X1，X2，X3，X4．因?yàn)?/p>

所以BX1=O，AX4=O，由已知，A，B均可逆，故X1=x4=O；另一方面，有

其中，故得

解法3

，則可逆，于是

選B．

7.

設(shè)A是三階方陣，將A的第1列與第2列交換得B，再把B的第2列加到第3列得C，則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]由題意知，Q=E1E2，其中

故

即選項(xiàng)D正確．

8.

設(shè)A為n(n≥2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B，A*，B*分別為A，B的A.交換A*的第1列與第2列得B*．B.交換A*的第1行與第2行得B*．C.交換A*的第1列與第2列得-B*．D.交換A*的第1行與第2行得-B*．正確答案：C[解析]由題設(shè)知B=E(1，2)A，其中E(1，2)是將矩陣第1行(列)與第2行(列)交換的初等變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣，因而

B-1=A-1[E(1，2)]-1．

由于

且|B|=-|A|，所以

-B*=A*E(1，2),

而用E(1，2)右乘矩陣A*，就是將A*的第1列與第2列交換．因而選項(xiàng)C是正確的．

不少考生選A，是忽略了伴隨矩陣與逆矩陣的差別，或者是雖注意到了它們的不同，但沒(méi)有考慮|B|=-|A|．也有一些考生選B，則反映了他們?nèi)匀粵](méi)有把矩陣的伴隨矩陣的結(jié)構(gòu)弄清楚，這是一個(gè)老問(wèn)題，但每年都有考生犯這一類錯(cuò)誤．可見(jiàn)扎實(shí)基礎(chǔ)的重要性．

9.

設(shè)A為三階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2列得C，記則A.C=P-1AP．B.C=PAP-1．C.C=PTAP．D.C=PAPT．正確答案：B[解析]由題設(shè)知B=PA，C=BQ，其中初等矩陣于是有

C=PAQ．

不難驗(yàn)證PQ=E，即Q=P-1，從而C=PAP-1，即選項(xiàng)B正確．

10.

設(shè)A，P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，則QTAQ為

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]對(duì)矩陣P作初等列變換：把第2列加到第1列上，便可得到矩陣Q．若記E12為上述初等變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣，則Q=PE12，其中

于是

選項(xiàng)A正確．

11.

設(shè)A為3階矩陣．將A的第2列加到第1列得矩陣B，再交換B的第2行與第3行得單位矩陣．記則A=

A．P1P2．

B．

C．P2P1．

D．正確答案：D[解析]本題考查矩陣的初等變換與初等矩陣．由題設(shè)條件知，矩陣P1，P2正是與題中所給初等變換相對(duì)應(yīng)的初等矩陣．根據(jù)初等矩陣的性質(zhì)，有B=AP1和E=P2B，從而E=P2AP1，即，故有，即選項(xiàng)D是正確的．

對(duì)于初等變換要會(huì)用初等矩陣來(lái)描述．

三、解答題1.

設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中

證明行列式|A|=(n+1)an；正確答案：證法1

記

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．

當(dāng)n=1時(shí)，D1=2a，結(jié)論成立；

當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立．

假設(shè)結(jié)論對(duì)于小于n的情況成立．將Dn按第1行展開(kāi)得

即證得|A|=(n+1)an．

證法2

利用遞推關(guān)系．

記Dn=|A|，則D1=2a，D2=3a2，按照第一列展開(kāi)，得Dn=2aDn-1-a2Dn-2．于是

Dn-aDn-1=aDn-1-a2Dn-2=a(Dn-1-aDn-2)=a2(Dn-2-aDn-3)

=…=an-2(D2-aD1)=an，

則Dn=an+aDn-1=an+a(an-1+aDn-2)=2an+a2Dn-2=…=(n-2)an+an-2D2

=(n-2)an+an-2·3a2=(n+1)an．[解析]本題是“三對(duì)角線”型n階行列式，一般可以采用遞推法或者數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)然本題還可以利用行列式的性質(zhì)將其化為“上三角行列式”，留給讀者自練．

2.

設(shè)A為n階非零方陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣．當(dāng)A*=AT時(shí)，證明|A|≠0．正確答案：證法1

設(shè)其中αi為A的行向量(1≤i≤n)，則．由公式AA*=|A|E，故

根據(jù)已知，有AAT=|A|E．

(反證法)如果|A|=0，由上，有

則(i=1，2，…，n)，即||αi||2=0，故所有αi=0，即A=O，這與A是非零矩陣矛盾，故|A|≠0．

證法2

A*=AT，則Aij=aij，由于A是非零矩陣，不妨設(shè)a11≠0，按照第一行展開(kāi)，有|A|=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=，故|A|≠0．

3.

已知矩陣且A2-AB=E，其中E是三階單位矩陣，求矩陣B．正確答案：解

由A2-AB=A(A-B)=E，及|A|=-1≠0，知A-B=A-1．

即B=A-A-1．

又

從而

4.

設(shè)(2E-C-1B)=AT=C-1，其中E是4階單位矩陣，AT是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，

求A．正確答案：解

由題設(shè)得

C(2E-C-1B)AT=E，

即(2C-B)AT=E．

由于

故2C-B可逆．

于是[解析]求解