考研數(shù)學二模擬390

考研數(shù)學二模擬390一、選擇題每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]首先利用等價無窮小因子替換

于是

為了作變量替換簡化計算，再用等價無窮小因子替換x～tanx(x→0)然后令

2.

設(shè)在x=0處二階導數(shù)存在，則常數(shù)a，b分別是

A．a(chǎn)=1，b=1.

B．

C．a(chǎn)=1，b=2.

D．a(chǎn)=2，b=1.正確答案：B[解析一]顯然有

即f(x)在x=0連續(xù)，現(xiàn)求出

要求即a=1，此時

要求即

因此選B．

[解析二]我們考慮分段函數(shù)

其中f1(x)和f2(x)均在x=x0鄰域k階可導，則f(x)在分界點x=x0有k階導數(shù)的充要條件是f1(x)和f2(x)在x=x0有相同的k階泰勒公式：

f1(x)=f2(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+ak(x-x0)k+o((x-x0)k)(x→x0)

把這一結(jié)論用于本題：取x0=0，

因此f(x)在x=0時二階可導

選B．

3.

設(shè)f(x)在x=1有連續(xù)的導數(shù)，又則A.x=1是y=f(x)的拐點．B.x=1是f(x)的極小值點．C.x=1是f(x)的極大值點．D.x=1既不是f(x)的極值點，又不是f(x)的拐點．正確答案：B[解析]由所給出的條件，考查f'(1)與f"(1)．由f(x)在x=1有連續(xù)的導數(shù)，

又知f'(1)=0，且

由f'(1)=0，f"(1)＞0知x=1是f(x)的極小值點．應(yīng)選B．

①由條件知存在δ＞0，當0＜|x-1|＜δ時，有1＜x＜1+δ時，f'(x)＞0，f(x)單調(diào)增加；1-δ＜x＜1時，f'(x)＜0，f(x)單調(diào)減少，故x=1是f(x)的極小值點．特別是，只須假定f(x)在x=1鄰域可導，又就可以推出x=1是f(x)的極小值點．

②特殊選取法，取f'(x)=2(x-1)，特別是f(x)=(x-1)2，滿足題中所有條件，x=1是該f(x)的極小值點，不是拐點，對此f(x)，選項A、C、D不正確，只有B正確．因此選B．

4.

設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，則下列結(jié)論中，正確的有______個

①f(x)在[a，b]的任意子區(qū)間[α，β]上則

②f(x)≥0(x∈[a，b])又則f(x)=0(x∈[a，b])．

③A.0.B.1.C.2.D.3.正確答案：C[解析]我們要逐一分析．

結(jié)論①正確．由條件

結(jié)論②正確．由條件

結(jié)論③錯誤．如圖所示，由定積分幾何意義知

其中因此選C．

5.

設(shè)方程的全部解均以π為周期，則常數(shù)a取值為

A．1.

B．-1.

C．

D．正確答案：D[解析]一階線性齊次方程的全部解為

它們均以π為周期以π為周期．

a+sin2t以π為周期，則以π為周期

即因此選D．

由于

它以π為周期因此選D．

6.

設(shè)積分區(qū)域D={(x，y)|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，則二重積分

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]D是如圖所示的正方形區(qū)域，它關(guān)于原點對稱，用直線x+y=0將D分成D1與D2(D1，D2關(guān)于原點對稱)，對(x，y)是偶函數(shù)(f(-x，-y)=f(x，y))，于是

D1關(guān)于y=x對稱，用直線y=x將D1分成D11與D12，D1=D11∪D12，

于是

因此

選C．

7.

已知，B和C是某兩個不同的3階矩陣，那么a=7是使AB=AC成立的A.充分必要條件．B.充分而非必要條件．C.必要而非充分條件．D.既非充分也非必要條件．正確答案：B[解析]由B≠C，A(B-C)=O，知齊次方程組Ax=0有非零解．而Ax=0有非零解的充分必要條件是秩r(A)＜n．

因為

當a=7時，r(A)＜3.但當r(A)＜3時，a亦可為1，所以a=7是充分而非必要條件．

本題考查若AB=O，則B的列向量是齊次方程組Ax=0的解，以及Ax=0有非零解的充分必要條件．

8.

已知n維向量組(Ⅰ)α1，α2，…，αs和(Ⅱ)β1，β2，…，βtA.如秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，則(Ⅰ)與(Ⅱ)向量組等價．B.如秩r(Ⅰ)＜r(Ⅱ)，則(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表出．C.如秩r(Ⅰ，Ⅱ)=r(Ⅱ)，則(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表出．D.如秩r(Ⅰ，Ⅱ)=r(Ⅱ)，則(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表出．正確答案：C[解析]因r(Ⅰ，Ⅱ)=r(Ⅱ)，說明(Ⅱ)的極大線性無關(guān)組也是向量組(Ⅰ，Ⅱ)的極大線性無關(guān)組，所以(Ⅰ)必可由(Ⅱ)線性表出，請舉反例說明A、B、D均可不正確．

二、填空題1.

曲線的拐點的橫坐標x=______．正確答案：[解析]

因此拐點的橫坐標

2.

曲線的全長=______．正確答案：4[解析]定義域于是全長

3.

設(shè)f(x)有連續(xù)的一階導數(shù)，f(0)=0，f(a)=1，則F(2a)-2F(a)=______．正確答案：1[解析]

4.

設(shè)f(x)有連續(xù)的一階導數(shù)且f(x)≠0(x≠0)，g(x)是f(x)的反函數(shù)．若x→0時是等價無窮小，則f'(0)=______．正確答案：3[解析]因x→0時是無窮小，即

這里g(f(x))=x，

5.

C1，C2為任意常數(shù)，以y=(C1+C2+x2)e-2x為通解的二階線性常系數(shù)方程y"+py'+qy=f(x)為______．正確答案：y"+4y'+4y=2e-2x[解析]由通解可知，相應(yīng)的齊次方程的特征根是：λ=-2(重根)，特征方程是

(λ+2)2=λ2+4λ+4=0

微分方程為

y"+4y'+4y=f(x)

將特解y*=x2e-2x代入

f(x)=(x2e-2x)"+4(x2e-2x)'+4(x2e-2x)=2e-2x

故所求方程為

y"+4y'+4y=2e-2x．

6.

3階非零實對稱矩陣如果將其按合同來分類，則一共有______類．正確答案：9[解析]合同

這9類是：

三、解答題15～23小題，共94分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)f(x)，f(x)在x=x0都是可導的，又F(x)=f(x)|g(x)|．求證：

(Ⅰ)若g(x0)≠0，則F(x)在x=x0處可導；

(Ⅱ)若g(x0)=0，則F(x)在x=x0處可導的充要條件是f(x0)=0或g'(x0)=0.這時必有F'(x0)=0.正確答案：[證明]g(x)連續(xù)連續(xù)．但g(x)可導可導．當|g(x)|可導，由可導性運算法則知F(x)可導，當|g(x)|不可導(或不知是否可導時)，則按定義考察F(x)的可導性．

(Ⅰ)若(或g(x0)＜0)，由g(x)在x=x0連續(xù)

當x∈(x0-δ，x0+δ)時g(x)＞0(或g(x)＜0)，

于是

與g(x)在x=x0有相同的可導性，即|g(x)|在x=x0可導，

從而F(x)=f(x)|g(x)|在x=x0可導．

(Ⅱ)若g(x0)=0.按定義考察F(x)在x=x0的可導性．

于是要分別考察

因此

f(x0)|g'(x0)|=-f(x0)|g'(x0)|

或g'(x0)=0.

此時F'(x0)=F'+(x0)=F'-(x0)=0.

過原點作曲線的切線L，該切線與曲線及y軸圍成平面圖形為D．2.

求切線L的方程與該切點處曲線的法線方程．正確答案：[解]設(shè)切線的切點坐標為(x0，y0)，則切線的斜率為所以切線L的方程為

其中因L過(0，0)點，把x=0，y=0代入上述方程得x0=2，y0=e．因此所求切線L的方程為

切點(2，e)處的法線方程是

3.

求D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V．正確答案：[解]解法一：取積分變量為y，設(shè)軸所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V，它是圓錐體，

即x=2lny(y∈[1，e])，y=e，y軸所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2，則V=V1-V2．

解法二：取積分變量x，則x∈[0，2]，設(shè)y軸，x軸，x=2所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為x軸，x=2所圍平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2，則V=V1-V2

[解析](1)M*(x*，y*)是曲線y=f(x)外一點，求曲線y=f(x)切線使之通過M*點的方法是：先求出過曲線上任意點(x0，f(x0))處的切線方程

y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)

然后令x=x*，y=y*，解出x0即可．

(2)求切線方程時，一定要考察指定點是否在曲線上，若指定點不在曲線上，需按(1)中方法先求出切點坐標，再求切線方程．本題中的切線斜率因(0，0)不在上．

(3)可以利用初等數(shù)學解決時，就不必用定積分解決，這樣往往會使問題容易些，如解法一中求V1時用圓錐體的體積公式即可，不必用定積分解決．

4.

求反常積分正確答案：[分析與求解]令ex+1=t，則x：0→+∞對應(yīng)t：2→+∞，且x=ln(t-1)，dx=，從而

轉(zhuǎn)化為求這個有理式的反常積分．

[方法一]

[方法二]直接用觀察法分解

[方法三]用待定系數(shù)法分解

其中A，B，C，D待定．上式可改寫為

于是有

t-4=At2(t-1)+Bt(t-1)+C(t-1)+Dt3

在式中令t=1得D=-3，令t=0得C=4，于是式可改寫成

t-4-4(t-1)+3t2=At2(t-1)+Bt(t-1)

其余同前．

5.

設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，求正確答案：[解]對被積函數(shù)含參變量h部分，作變量替換(t+h=u)，化為變限積分的情形：

于是

6.

設(shè)x≥0，且f(x)=x，求正確答案：

若則有

若則有

因此綜合得

設(shè)f(t)在[1，+∞)上有連續(xù)的二階導數(shù)，且f(1)=0，f'(1)=1，z=(x2+y2)f(x2+y2)滿足

求：7.

t(t)的表達式；正確答案：[解]

同理

代入方程中有又z(1)=f(1)=0，由

z'(r)=2rf(r2)+r2f'(r2)·2r，及f'(1)=1得z'(1)=2.

解初值問題

方程①是可降階的微分方程．求解微分方程①有z(r)=2lnr=lnr2．

又因為z(r)=r2f(r2)，所以所以

8.

f(t)在[1，+∞)上的最大值．正確答案：[解]求在[1，+∞)上的最大值．

所以f(t)在t=e取最大值．

最大值為[解析]由z(r)，z'(r)，z"(r)滿足的方程，及z(1)，z'(1)的值求出z(r)，之后再求f(t)．最后求f(t)在[1，+∞)的最大值．

這是一道多元復合函數(shù)求偏導，微分方程求解，一元函數(shù)求最值等涉及多個知識點的綜合題．

9.

將累次積分化成定積分，其中a＞0為常數(shù)；正確答案：[解]I(a)是二重積分的一個累次積分，

其中D：它是半圓域，如圖所示，改換極坐標，則

于是

10.

正確答案：[解]注意a→0時，ln(1+a2)～a2，由①式及二重積分中值定理得，使得

其中D的面積為時ξ2+η2→0.

11.

設(shè)f(x)在[a，b]上具有二階導數(shù)，且f(a)=f(b)=0，f'(a)·f'(b)＞0.證明：至少存在一點ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0.正確答案：[證明]因為f(x)在[a，b]上二階可導，故f'(x)在[a，b]上連續(xù)．不妨設(shè)f'(a)＞0，f'(b)＞0，則存在δ1＞0，δ2＞0，使f'(x)＞0，x∈[a，a+δ1]，x∈[b-δ2，b]．于是f(x)在這兩個區(qū)間上單調(diào)增加，因此存在x1∈(a，a+δ1)，x2∈(b-δ2，b)，使f(x1)＞f(a)=0，f(x2)＜f(b)=0，且x1＜x2．

在區(qū)間[x1，x2]上應(yīng)用零點定理知，存在使f(ξ)=0.

由于f(x)在[a，b]上可導，f(a)=f(ξ)=f(b)=0，在[a，ξ]和[ξ，b]上分別應(yīng)用羅爾定理，則存在ξ1∈(a，ξ)，ξ2∈(ξ，b)，使f'(ξ1)=f'(ξ2)=0.

再由f'(x)在[a，b]上可導，在[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，則存在使f"(η)=0.

12.

已知A=(α1，α2，α3，α4)是四階矩陣，α1，α2，α3，α4是四維列向量，若方程組Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，-2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程組Bx=3α1+5α2-α3的通解．正確答案：[解]由方程組Ax=β的解的結(jié)構(gòu)，可知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，

且α1+2α2+2α3+α4=β，α1-2α2+4α3=0.

因為B=(α3，α2，α1，β-α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，且α1，α2，α3線性相關(guān)，而知r(B)=2.

由

知(-1，5，3，0)T是方程組Bx=3α1+5α2-α3的一個解．

又

知(4，-2，1，0)T，