數(shù)學(xué)八年級(jí)湘教版上冊(cè)第五章二次根式電子課件

二次根式本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容5.1說一說正實(shí)數(shù)a的平方根是.運(yùn)用運(yùn)載火箭發(fā)射航天飛船時(shí)，火箭必須達(dá)到一定的速度（稱為第一宇宙速度），才能克服地球的引力，從而將飛船送入環(huán)地球運(yùn)行的軌道.而第一宇宙速度v與地球半徑R之間存在如下關(guān)系：，其中重力加速度常數(shù)若已知地球半徑R，則第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正實(shí)數(shù)a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正實(shí)數(shù)a的平方根是.0的平方根是，5的平方根是，0的平方根是0，正實(shí)數(shù)a的平方根是．

因?yàn)樗俣纫欢ù笥?，所以第一宇宙速度

由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)沒有平方根，因此只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式才在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．

我們把形如的式子叫作二次根式，根號(hào)下的數(shù)叫作被開方數(shù).

我們已經(jīng)知道：每一個(gè)正實(shí)數(shù)a有且只有兩個(gè)平方根，一個(gè)記作，稱為a的算術(shù)平方根；另一個(gè)是舉例例1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，當(dāng)x≥1時(shí)，

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

在本套教材中，我們都是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論二次根式有沒有意義，今后不再每次寫出“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)”這幾個(gè)字.注意結(jié)論

對(duì)于非負(fù)實(shí)數(shù)a，由于

是a的一個(gè)平方根，因此舉例例2計(jì)算：

解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根據(jù)上述結(jié)果猜想，當(dāng)a≥0時(shí)，.結(jié)論由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一個(gè)平方根.

當(dāng)a≥0時(shí)，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，有，由此得出：舉例例3計(jì)算：

解議一議議一議議一議議一議議一議議一議一般地，當(dāng)a<0時(shí)，因此，我們可以得到：

當(dāng)a<0時(shí)，是否仍然成立？為什么？1.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列二次根式有意義？

練習(xí)答案：x≤1答案：x≥2.計(jì)算：

答案：3答案：3.計(jì)算：

答案：7答案：3答案：0.01動(dòng)腦筋

計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

一般地，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，由于結(jié)論由此得出：

上述公式從左到右看，是積的算術(shù)平方根的性質(zhì).

利用這一性質(zhì)，可以化簡(jiǎn)二次根式．例4化簡(jiǎn)下列二次根式．舉例解

化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，最后結(jié)果要求被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù).

今后在化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，可以直接把根號(hào)下的每一個(gè)平方因子去掉平方號(hào)以后移到根號(hào)外（注意：從根號(hào)下直接移到根號(hào)外的數(shù)必須是非負(fù)數(shù)）.舉例例5化簡(jiǎn)下列二次根式．解

化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，最后結(jié)果要求被開方數(shù)不含分母.解

從例4、例5可以看出，這些式子的最后結(jié)果，具有以下特點(diǎn)：（1）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)（或因式）；（2）被開方數(shù)不含分母.

在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫作最簡(jiǎn)二次根式.結(jié)論練習(xí)

化簡(jiǎn)下列二次根式．解解

化簡(jiǎn)下列二次根式．解二次根式的乘法和除法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容5.2說一說積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是什么？利用上述公式，可以進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算．

我們把從右至左看，就可得舉例例1計(jì)算：

舉例例2計(jì)算：舉例例3

已知一張長(zhǎng)方形圖片的長(zhǎng)和寬分別是cm和cm，求這張長(zhǎng)方形圖片的面積.解答：這張長(zhǎng)方形圖片的面積為211.計(jì)算：

練習(xí)2.計(jì)算：3.已知三角形的一條邊為cm，這條邊上的高為cm，求該三角形的面積.解答：該三角形的面積為探究

計(jì)算下列各式，觀察計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

一般地，如果a＞0，則，因此，，則如果設(shè)a＞0，與互為倒數(shù).因此得到，結(jié)論

上述公式從左至右看，是商的算術(shù)平方根性質(zhì).利用這一性質(zhì)，可以化簡(jiǎn)二次根式.例4化簡(jiǎn)下列二次根式．舉例解

從變形到是為了去掉分母中的根號(hào).

化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，最后結(jié)果一般要求分母中不含有二次根式.把公式（*）從右至左看就可得：利用上述公式，可以進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算.

結(jié)論舉例例3計(jì)算：

例6舉例

電視塔越高，從塔頂發(fā)射出的電磁波傳播得越遠(yuǎn)，從而能接收到電視節(jié)目信號(hào)的區(qū)域就越廣.已知電視塔高h(yuǎn)（km）與電視節(jié)目信號(hào)的傳播半徑r（km）之間滿足（其中R是地球半徑）.現(xiàn)有兩座高分別為h1=400m，h2=450m的電視塔，問它們的傳播半徑之比等于多少？

因?yàn)榻庠O(shè)兩座電視塔的傳播半徑分別為所以1.化簡(jiǎn)下列二次根式：

練習(xí)2.計(jì)算：

3.已知長(zhǎng)方形的面積是，寬為m，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng).解二次根式的加法和減法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容5.3做一做計(jì)算：

動(dòng)腦筋

下圖是由面積分別為8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成.求BE的長(zhǎng).

因?yàn)檎叫蜛BCD

和CEGH的邊長(zhǎng)分別為和，

所以BE的長(zhǎng)度為（化成最簡(jiǎn)二次根式）（分配律）

在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，通常應(yīng)先將每個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，然后再將被開方數(shù)相同的二次根式的系數(shù)相加減，但被開方數(shù)不變.

舉例例1計(jì)算：

解

二次根式的加減與合并同類項(xiàng)類似.例2

下圖是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個(gè)相同圓心的圓構(gòu)成.已知大圓和小圓的面積分別為763.02m2和150.72m，求圓環(huán)的寬度d（π取3.14）.舉例d解設(shè)大圓和小圓的半徑分別為R，r，面積分別為，，由，可知?jiǎng)t答：圓環(huán)的寬度為1.計(jì)算：

練習(xí)2.計(jì)算：動(dòng)腦筋

甲、乙兩個(gè)城市間計(jì)劃修建一條城際鐵路，其中有一段路基的橫斷面設(shè)計(jì)為上底寬，下底寬，高的梯形，這段路基長(zhǎng)500m，那么這段路基的土石方為多少立方米呢（路基的土石方即等于路基的體積）？

路基的土石方等于路基橫斷面面積乘以路基的長(zhǎng)度，所以，這段路基的土石方為：

即這段路基的土石方為

從上面的解答過程可以看到，二次根式的混合運(yùn)算是根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律進(jìn)行的.舉例例3計(jì)算：

從例3可以看到，二次根式相乘，與多項(xiàng)式的乘法相類似，我們可以利用多項(xiàng)式的乘法公式，對(duì)某些二次根式的乘法進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.舉例例4計(jì)算：舉例例5計(jì)算：解1.計(jì)算：

練習(xí)2.計(jì)算：3.計(jì)算：小結(jié)與復(fù)習(xí)

1.二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是什么？

2.二次根式有哪些性質(zhì)？

4.如何進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算？

舉例說明什么叫最簡(jiǎn)二次根式，試寫出一個(gè)二次根式并將它化簡(jiǎn).加、減、乘、除運(yùn)算二次根式性質(zhì)最簡(jiǎn)二次根式積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根的