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文檔簡介
《§根本不等式》的教學(xué)設(shè)計
XX八二一張智云
教材:人教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
《根本不等式》選自人教版必修五的第三章第四節(jié)的第一課時,它是在學(xué)生學(xué)習(xí)完“不
等式的性質(zhì)”、”一元二次不等式及其解法〃及“二元一次不等式〔組)與簡單的線性規(guī)劃
問題〃的根底上對不等式的進(jìn)一步研究。在探究根本不等式內(nèi)涵和證明的過程中,能夠培養(yǎng)
學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力;培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識;在應(yīng)用的
過程中,通過對條件的轉(zhuǎn)換和變式,有助于培養(yǎng)學(xué)生形成類比歸納的思想和習(xí)慣,進(jìn)而形成
嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。在知識題系中起著承上啟下的作用,為研究最值問題以及不等式的證明作
鋪墊,同時在生活及生產(chǎn)實(shí)際中也有著非常廣泛的應(yīng)用。
(-)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):1.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解根本不等式;
2.從不同角度探索根本不等式J石W空的證明過程;
2
3.掌握根本不等式的結(jié)構(gòu)特征及其使用條件。
難點(diǎn):1.建立不等式模型劃歸為根本不等式;
2.用根本不等式求最大值和最小值。
二、教學(xué)目標(biāo)
(一)知識與技能
1.掌握根本不等式的結(jié)構(gòu)特征及其使用條件;
2.會用根本不等式解決簡單的實(shí)際問題〔注重建模過程)
(二)過程與方法
1.通過探究“數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)〃及感受會標(biāo)的變形,引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩
個根本不等式,
2.了解根本不等式的幾何背景培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力;培養(yǎng)學(xué)
生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識;
3.進(jìn)一步讓學(xué)生探究不等式的代數(shù)證明,加深對根本不等式的理解和認(rèn)識,提高學(xué)生
邏輯推理的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。
4.通過例題讓學(xué)生學(xué)會用根本不等式求最大值和最小值。
〔三)情感態(tài)度與價值觀
讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用過程,深切感受到我國數(shù)學(xué)科學(xué)的悠久歷史和深
厚的文化底蘊(yùn),以及我國的數(shù)學(xué)成就對世界數(shù)學(xué)文明的影響和開展做出的卓越奉獻(xiàn),激發(fā)學(xué)
生喜歡數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情。同時起到對學(xué)生的愛國主義教育,增強(qiáng)學(xué)生的名族自豪感。
三、教學(xué)方法
啟發(fā)式與探究式相結(jié)合
四、教學(xué)工具
多媒體課件
五、教學(xué)過程:
(一)情景引入,激發(fā)興趣
下列圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會議現(xiàn)場。
通過情境引發(fā)聯(lián)想,學(xué)生深切感受到我國數(shù)學(xué)科學(xué)的悠久歷史和深厚的文化底蘊(yùn),以及
我國的數(shù)學(xué)成就對世界數(shù)學(xué)文明的影響和開展做出的卓越奉獻(xiàn),激發(fā)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)
學(xué)的熱情。
■CM2CC2
Beijing
August20?28,2002
探究一:觀察上面的會標(biāo)。會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,該圖給出了
迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明,表達(dá)了以形證數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想。將代數(shù)
與幾何緊密的結(jié)合在了一起。
【設(shè)計意圖】
1.培養(yǎng)學(xué)生識圖和分析數(shù)據(jù)的能力,并通過對數(shù)量關(guān)系的分析得出根本不等式的雛形,
進(jìn)而逐步發(fā)現(xiàn)根本不等式的本質(zhì)和成立條件。
2.鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考,充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新和想象能力,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并理解根本不等式
的實(shí)質(zhì)。
師:從圖形上你能觀察到了什么?
生:邊、角、三角形、正方形
師:我們根據(jù)弦圖可知勾股定理,那么我們對三角形、正方形可以研究哪些數(shù)量關(guān)系呢?
生:正方形和三角形的面積、周長,根據(jù)給的邊可以求。
師:那么面積之間又有怎樣的關(guān)系呢?
生:大正方形面積/+〃,四個直角三角形面積2ab,并且/+。2〉24〃。
師:僅此而已嗎?你還能發(fā)現(xiàn)怎樣的關(guān)系?
生:還會相等。a=6時會相等。
[教師投影展示取等號的條件,證明學(xué)生的想法是正確的。)
結(jié)論:a2+b2?2ab〔當(dāng)且僅當(dāng)a=0時取等號)
師:你能給出證明嗎?〔此問題學(xué)生口述即可)
生:由?+/?2",則一2曲?0D(?-b)2?0恒成立。則a=b時取等號。
師:一般的我們都用。,〃表示,那么假設(shè)將上式中的a,b換成0,4b,你又會
得出什么結(jié)論?如何證明?
【設(shè)計意圖】
用代數(shù)的方法證明根本不等式,進(jìn)而使學(xué)生加深對根本不等式的理解,理解根本不等式
中不等號和等號成立的條件;引導(dǎo)學(xué)生自己動手寫出證明過程,并自我總結(jié)歸納根本不等式
運(yùn)用的條件,有利于學(xué)生準(zhǔn)確、靈活應(yīng)用。
生:a+b?2s/ab(aQ,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。
師:很好,還可以寫成
0,。>0),如何證明這個結(jié)論成立呢?
2
生投影展示:要證土J法,只要證a+6?2j茄,只要證a+6-2J茄?0,只要
2
證(--布)2?0,顯然式子成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=6取等號。
師:這樣我們又一次得到了根本不等式。根據(jù)以上證明學(xué)生已經(jīng)根本了解了根本不等式
的形式
和推導(dǎo)方法,同學(xué)們是否真正理解了根本不等式的含義。
探究二:如右圖,是圓的直徑,點(diǎn)。是上的一點(diǎn),AC=a,3C=b。過點(diǎn)C作
垂直于的弦£)£,連接A。、BD。你能利用這個圖形,得出J拓?學(xué)(a0力>0)
的幾何解釋嗎?
【設(shè)計意圖】
對圖形進(jìn)一步分析,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù),讓學(xué)生體會不僅能以數(shù)證
形,尋找數(shù)量關(guān)系的幾何解釋,還可以通過對圖形的觀察分析以形識數(shù),進(jìn)而完善前面的代
數(shù)結(jié)論。
(學(xué)生口述證明過程,教師給以引導(dǎo))
證明:因?yàn)镈1CD?DBCD,所以CD=J拓。
由于CD小于或等于圓的半徑,
用不等式表示為J茄?(a0力>0)
顯然不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心結(jié)合,
即當(dāng)a=6時,等號成立
結(jié)論:〔教師投影展示學(xué)生口述結(jié)果)
益是a、匕的幾何平均數(shù),上是。、〃的算術(shù)平均數(shù)。
2
代數(shù)解釋是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)。
幾何解釋為半弦不大于半徑。
師:以上利用代數(shù)法和幾何法推導(dǎo)根本不等式,過程詳細(xì),內(nèi)容明確,學(xué)生們對根本不等
式理解了嗎?我們來看看以下幾個問題是否正確?
例:判斷對錯
(1)由。,biR,則a+b?。()
[2)假設(shè)x<0,則x+工?2?!?
X
(3)當(dāng)。吸0時,色S3而?!?
2
(4)函數(shù)y=%+工的最小值為2.()
x
【設(shè)計意圖】
考查學(xué)生對所學(xué)知識點(diǎn)掌握的情況,是否真正理解了根本不等式并能注意運(yùn)用公式時需
要注意的條件,從而真正意義上理解不等式的含義。
〔學(xué)生先獨(dú)立思考,組內(nèi)再探討,最后小組派代表解答。)
師:根本不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用,是解決最值問題的有力工具,看下面的例
題。
合作探究:下面兩道例題都由學(xué)生先獨(dú)立完成,然后組內(nèi)探討,最后組內(nèi)出代表完成。
例:[1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多
少時,所用籬笆最短.最短的籬笆是多少?
【設(shè)計意圖】
1.總結(jié)歸納利用根本不等式求最值問題,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化。
2.培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際生活中對不等式的感性認(rèn)識提煉為理性認(rèn)識的過程,感受不等式和
生活的緊密聯(lián)系和指導(dǎo)意義。
解:設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,則孫=100,籬笆的長為2(x+y)m.
由三?3而,可得x+y?2j麗,2(x+y)?40。等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立,此
時x=y=10.
因此,這個矩形的長、寬都為10m時,所用籬笆最短,最短籬笆是40nl.
師:完成此例題你有什么發(fā)現(xiàn)?
生:乘積是定值的時候,和取最值,并且為最小值。
師:很好,那總結(jié)個規(guī)律該怎么說呢?〔學(xué)生嘗試說,最后教師完善〕
結(jié)論1:積定和最小。
師:看看下面這道例題,你又會得到什么結(jié)論呢?
12)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園
的面積最大.最大的面積是多少?
解:設(shè)矩形菜園的長為xm,寬為ym,則2(尤+y)=36,x+y=18,矩形菜園的
面積為呼rtf.由?工;.=9,可得xy£81,
當(dāng)且僅當(dāng)無=丁,即尤=y=9,等號成立。
因此,這個矩形的長、寬都為9nl時,菜園的面積最大,最大的面積是
師:此題做完你又有什么想法呢?
生:和定積最大?!灿缮厦娴念}引導(dǎo)學(xué)生會很快得出結(jié)論)
師:由上面例題,同學(xué)們,能總結(jié)一下運(yùn)用根本不等式解題需要滿足的條件嗎?(根據(jù)
前面學(xué)習(xí)學(xué)生會說出至少兩點(diǎn))
生:a力都為正數(shù),取最值的條件是a=6
師:例題中運(yùn)用公式取到最值的前提必須有什么?(通過教師引導(dǎo)學(xué)生會想到定值〕
生:有一個是定值。
師:好,那我們給運(yùn)用根本不等式滿足的條件一個口訣吧?
(生嘗試去說,但不一定簡便,但用自己的思維方式說印象會更深)
師:~■正、二定、三相等。
師:那我們?nèi)绾芜\(yùn)用根本不等式都能求哪些最值得題型呢?下節(jié)課我們再研究。
五、課堂總結(jié)
1、本節(jié)課你學(xué)到了什么?
2、你還有哪些疑問?
【設(shè)計意圖】通過提問讓學(xué)生在頭腦中形成自己的知識體系,自己總結(jié)檢驗(yàn)本節(jié)課的聽
課效果,是否還有自己沒聽懂的問題一下就清楚了。
六、課后作業(yè)
教材P113練習(xí)1、2、3.習(xí)題A組2、3
【設(shè)計意圖】穩(wěn)固訓(xùn)練本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容并且給學(xué)生一個完整的獨(dú)立思考,自主學(xué)習(xí)的時
機(jī)。
七、教學(xué)設(shè)計說明
不等式對高中的學(xué)生來說不陌生,但根本不等式則是一個新的知識點(diǎn)出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)
教材中,讓學(xué)生又學(xué)會一種求函數(shù)最值得方法,所以學(xué)生只有真正理解了才會用起來得心應(yīng)
手。
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