【校本教材】高一數(shù)學(xué)課程-初中高中銜接教材

高一數(shù)學(xué)課程

一初高中銜接部分

/全面知識(shí)銜接

/延展方法思路

/強(qiáng)化解題技巧

/獨(dú)立教研資料

□，目錄

第1章、數(shù)與式的運(yùn)算............................................4

1.1乘法公式..................................................4

1.2根式.......................................................7

1.3分式.......................................................9

1.4數(shù)與式——同步練習(xí)........................................11

第2章、因式分解................................................14

2.1十字相乘法...............................................14

2.2分組分解法...............................................17

2.3分解因式——同步練習(xí).....................................20

第3章、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.............................22

3.1一元二次方程的根的判斷式.................................22

3.2一元二次方程的根解法.....................................24

3.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.............................25

第4章、不等式..................................................28

4.1一元二次不等式及其解法...................................28

4.2簡(jiǎn)單分式不等式的解法.....................................32

4.3含有字母系數(shù)的一元二次不等式.............................33

第2頁(yè)

4.4不等式——同步練習(xí)............................................35

第5章、分式方程和無(wú)理方程的解法..................................38

5.1可化為一元二次方程的分式方程................................38

5.2可化為一元二次方程的無(wú)理方程................................41

5.3分式方程與無(wú)理方程——同步練習(xí).............................44

第1章、數(shù)與式的運(yùn)算

知識(shí)梳理

在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，

我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡(jiǎn)稱為數(shù)與式.代數(shù)式中有整式（多項(xiàng)式、單項(xiàng)式）、分式、

根式.它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算.在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)

習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式

的運(yùn)算簡(jiǎn)便.由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)

中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公

式.在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過(guò)被開(kāi)方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開(kāi)方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒(méi)有涉及，因此本

節(jié)中要補(bǔ)充.基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容.

1.1乘法公式

【公式1】(Q+Z?+C)<—ci~4-b~+c~+2QZ?+2Z7c+2c。

2

證明:???(Q+Z?+C)2=[(Q+A)+C]2=(Q+?2+2(a+b)c4-c

=a2+2ab+b2^2ac+2bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

.??等式成立

供?例1:計(jì)算：（——"c+y

解：原式=[/+（—&+與

第4頁(yè)

=(x2)2+(-V2x)2+(1)2+2X2(-V2)X+2X2X1+2XIX(-V2X)

432

-X-2A/2X+-x2叵x(chóng)?1

339

［規(guī)律方法］對(duì)于多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降幕或升幕排

列.

【公式2]{a+b)(ci2—ab+h2)=o'+"(立方和公式)

證明：(a+b)d-Qb+b?)=。3一。2。+。廿+。2力一+。3=。3

說(shuō)明：請(qǐng)同學(xué)用文字語(yǔ)言表述公式2.

法例2：>計(jì)算：(a—b)(a2+ah+h2)

解：原式二[a+(~b)][a2-a(—b)+(-b)2]=a3+(-b)3=a3-b3

我們得到:

【公式3】(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)

請(qǐng)同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法

公式.

典例3：計(jì)算:

2，z11xz12112\

(1)(4+m)(16-4m+m)\L)(—m--n)(——機(jī)“+—mn+—/?)

5225104

(3)(。+2)(。一2)(?4+4?2+16)⑷(x2+2xy+^2)(x2-xy+y2)2

解：(1)原式=4^+加3=64+m3

第5頁(yè)

(2)A1—(―w)3-(―n)3=—^―my——771

521258

(3)原式=(/-4)(/+4/+42)=(昌3_43=人64

(4)原式=(x+y)“x2-xy+y2)2=[(x+y)(x2-xy+y2)]2

636

=(d+y3)2=x+2x/+y

［規(guī)律方法］(1)在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)

構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu).

(2)為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的

平方數(shù)和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的.

已知了求/+二的值.

典例42—3%+1=0,

X

解：vx2-3x4-1=0.?.xw()，I+―=3

x

原式=(x+b(尤2-l+4-)=(x+-)[(x+-)2-3]=3(32-3)=18

XXXX

［規(guī)律方法］本題若先從方程尤2—3x=l=0中解出X的值后，再代入代數(shù)式求值,

則計(jì)算較煩瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算,

簡(jiǎn)化了計(jì)算.請(qǐng)注意整體代換法.本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策

略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉.

典例已佚口a+b+c=0,求a(-+-)+b(-+，)++-)的值.

bccaab

解：a+b+c=0,:.a+b=—c,Z?+c=-a,c+a=-b

原式a+ca+b

=q."￡+/,.+c?

beacab

第6頁(yè)

Q(Q)+b[—b)+c(—c)ci~+b~+c~

beacababc

?/a3+b3—(a+b)[(a+Z?)2—3ab\——c(c2—3ab)=—c3+3abc

.?./+/+/=3aA②，把?②代入①得原式=一包如=一3

abc

[規(guī)律方法]:注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用.

、互動(dòng)探究,同學(xué)可以探求并證明:

222

+。3_3czZ?c=(a+h+c)(a+h+c—ab—bc—cd)

1.2根式

式子63之o）叫做二次根式，其性質(zhì)如下:

(1)(V^z)2=a(a>0)(2)=|a|

(4)/=%a>0力NO)

(3)y/ab=\[ci?4b{a>0,b>0)

典例化簡(jiǎn)下列各式:

(1)J(鳳2)2+J(g一1)2(2)J(l-X)2+J(2—X)2(X>1)

解：(1)原式二|G—2|+|G-1|=2-有+有一1=1

(x-1)+(x-2)=2x-3(x>2)

⑵原式二|x-l|+|x-2|=

(x-l)-(x-2)=l(l<x<2)

［規(guī)律方法］請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍

第7頁(yè)

未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論.

.典例,計(jì)算（沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）：

⑴品⑵

解：⑴原式二谷普嶺西=6-3月

22-3

yja2b+ab2

(2)原式

Vahah

（3）原式二2x2+，2x2?x=y/2x-x\[x+2\/2x=372%-x\fx

［規(guī)律方法］（1）二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿足：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),

因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

⑵二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類型有下列兩種：①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)

或整式.化簡(jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出

來(lái)；②分母中有根式（如品）或被開(kāi)方數(shù)有分母（如J）.這時(shí)可將其化為空形

式（如』可化為強(qiáng),轉(zhuǎn)化為“分母中有根式，，的情況.化簡(jiǎn)時(shí)，要把分母中

的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡(jiǎn).（如合化為

呼一揚(yáng)廠,其中2+6與2-G叫做互為有理化因式）.

（2+V3）（2-V3）

第8頁(yè)

計(jì)算:

(1){4ci++1)(1-Va+4b)-(Ja+V^)2(2)---~r=+——~r=

a—y/aba+yjab

解：(D原式=(1+礪/一(6)2—(口+2而+3=一2々一2而+2加+1

(2)fr+rfr=-^-=+-=J-=

yja^a-\jb)\ja(\/a+\/h)\/a-\/h\ja+\jb

_(?+4b)+(4a-\fb)__2G

{\[a+\[b)(4a-yjb)a-b

［規(guī)律方法］有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)

式的乘法公式、分式二次根式的運(yùn)算.

.典例,設(shè)k葬，求一的值?

解：x-2+噂=（2:小，,=7+46,y=7-473=x+y=14,xy=1

2-V322-3

2

原式=（x+y）（f-孫+/）=（x+y）［（x+y）2-3xy］=14（14-3）=2702

［規(guī)律方法］有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：（1）先化簡(jiǎn)后求值；（2）當(dāng)直接代入

運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代

入可簡(jiǎn)化計(jì)算量.

1.3分式

當(dāng)分式a的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，4就叫做繁分式，繁分式的

BB

化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：（1）利用除法法則；（2）利用分式的基本性質(zhì).

第9頁(yè)

化簡(jiǎn)X

解法一：原式:一一X_X_X_x{x+1)_X+1

1-X(1-X)?XxX「2+x-x%2X

?一1(X+l)(x-1)X+1X+1

X

解法一:原式二————XX_x{x4-1)_x+l

,(l-x)-xx(l-x)xX+x—X%

x-\--------

1x+1

(X-_)?X

X

［規(guī)律方法］解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式

逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)4=42進(jìn)行化簡(jiǎn).一般根據(jù)

BBxm

題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法.

X24-3x+96x

.典例,x—1

化簡(jiǎn)---?--------1-------T

廠—279x—廠6+2x

f+3x+9

解:原式二6xx-116x-1

(x—3)(f+3x+9)x(9-x2)2(3+x)x-3(x+3)(x-3)2(x—3)

_2。+3)-12-。-1)*-3)_---3)2_3-x

2(x+3)(x-3)-2(x+3)(x-3)-2(x+3)

［規(guī)律方法］(1)分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多

項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；(2)分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或

整式.

第10頁(yè)

1.4數(shù)與式——同步練習(xí)

一(如需疝麻二隹初向莢：)--------------------------空第二學(xué)H技邂.

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.二次根式值=-a成立的條件是()

A.tz>0B.a<0C.a<0D.a是任意實(shí)數(shù)

2.若x<3,則，9-6x+X2-|x-6|的值是()

A.13B.3C.—9D.9

3.計(jì)算：

(1)(x-3y-4z)2(2)(2a4-1-Z?)2-(a-b)(a+2b)

(3)(a+b)(a2-a。+〃)一(a+b)2(4)(a-4/7)(—a2+4b2+ah)

4

4.化簡(jiǎn)(下列Q的取值范圍均使根式有意義)

a-]p

(1)J-酎(2)

Va

(3)尸廠(4)11______2_

ayJh—byiaG+3V3-1

5.化簡(jiǎn)：

(1)—V9m+10m.-2m2.1^-(2)J2x-2y

3Y25V尤\2x2y

第11頁(yè)

能力提升

1.^--1=2,則3%+盯-3y的值為()：

尤yx-xy-y

335

A.-B.--C.--

553

2.計(jì)算:

(1)(V^4->Jb—y[c}{y[ci—\[b—\[c)(2)1+(^^—

[[22

3-設(shè)”號(hào)T，=高，求代數(shù)式皆年的值?

4.當(dāng)3a2+昉—2〃=03。0/。0),求的值.

baah

5.設(shè)無(wú)、y為實(shí)數(shù)，且盯=3,求xp+yl^-的值.

6.^^a=—x+20,i>=—x+19,c=—x+21,求代數(shù)式/+/+c?—a/?-Z?c-ac的

202020

值.

7.設(shè)x=——-,求X,+d+2x-1的值.

2

8.展開(kāi)(x-2)4

9.計(jì)算(X-1)(X—2)(X—3)(X-4)

10.計(jì)算(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)

11.化簡(jiǎn)或計(jì)算:

第12頁(yè)

⑵24■V2—J(2—石＞+1

&+2

x\fx+Xy[yx+yfxy+y

⑶

孫-y2x4x-yy[y

a

(4)

y/ah+h

第13頁(yè)

第2章、因式分解

2.1十字相乘法

1.+(p+q)x+pg型的因式分解

這類式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)

的兩個(gè)因數(shù)之和.

x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)

因jt匕，x2+(p+q)x+pq—{x+p)(x+q)

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式.

把下列各式因式分解:

(1)x~—7x+6(2)%2+13X+36

解：(1)6=(—l)x(-6),(—1)+(-6)=—7

x2-7x+6=[x+(-l)][x+(-6)]=(x-l)(x-6).

(2)36=4x9,4+9=13

+13X+36=(x+4)(x+9)

［規(guī)律方法］:此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù),

它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.

第14頁(yè)

把下列各式因式分解:

(1)X2+5%-24(2)x2-2%-15

解：(1)-24=(-3)x8,(-3)+8=5

x2+5x—24=[x+(—3)](x+8)=(x—3)(x+8)

(2)—15=(—5)x3,(—5)+3=—2

x2-2x-l5=[x+(-5)](x+3)=(x—5)(x+3)

[規(guī)律方法]:此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù),

其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.

跟蹤訓(xùn)練(1)X2+6X+5(2)P-4x-21(3)X2-11X+30(4)x2-x-12

.典例,把下列各式因式分解:

(1)%24-xy-6y~(2)(x24-x)~—8(x24-x)4-12

分析：(1)把f+%y一6y2看成％的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是一6y2,一次

項(xiàng)系數(shù)是y,把-6y2分解成3y與-2y的積，而3y+(-2y)=y,正好是一次項(xiàng)系數(shù).

(2)由換元思想，只要把-+X整體看作一個(gè)字母〃，可不必寫(xiě)出,

只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式/一8〃+12.

解：(1)x2+xy—6y2=x2+yx—62=(x+3y)(x—2y)

(2)(x~+x)~-8(f+%)+12=(%2+x—6)(%2+x—2)

第15頁(yè)

=(x+3)(x—2)(x+2)(x—1)

.跟蹤訓(xùn)練(1)X4-7X2-18(2)a6-a3-12

2.一般二次三項(xiàng)式62+法+c型的因式分解

2

大家知道，（?,X+q）（?2%+C2）=?]?2X+（qc，2+。2《）X+C]C、2.

反過(guò)來(lái)，就得到：4生》2+（ac+020]）%+℃=（4%+。|）（/工+。2）

我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成胃電，常數(shù)項(xiàng)c分解成（:102，把QL,Ci'G寫(xiě)成

%X。，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到。臼+出。，如果它正好等于這2+版+C

a2c2

2

的一^欠項(xiàng)系數(shù)b,那么ax+Z?x+c就可以分解成（4x+q）（%x+C2）,其中4,9位于上

一行，49位于下一行.

這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫

做十字相乘法.

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次

嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.

把下列各式因式分解:

(1)12x2-5x-2(2)5x2+6xy-8_y2

3義一2

解：(1)12X2-5X-2=(3x-2)(4x+1)4X1

第16頁(yè)

(2)5x2+6xy-8y2=(x+2^)(5%-4y)"J

［規(guī)律方法］:用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1

時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若

原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法“湊"，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法“湊"，

先“湊“絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào).

.通關(guān)題組.(1)12X2-5X-2(2)-4x2+5x-l(3)3x2-10x+3(4)-x2-3x+18

(1)(￡+2x)2-7(d+2x)-8(2)x2+2x-15-ax-5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解徹底，有時(shí)可能會(huì)多次使用十

字相乘法，并且對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式，應(yīng)合理使用分組分解法，找公因式，

如五項(xiàng)可以三、二組合.

解：(1)原式=(爐+2%+1)(/+2%—8)=(x+l)2(x—2)(%+4).

(2)原式=(x?+2x-15)-(ax+5a)=(x-3)(x+5)—a(x+5)=(x+5)(x-3—a)

2.2分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三

項(xiàng)式.而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如ma+mb+〃a+/仍既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公

因式可以提取.因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理.這種利用分組來(lái)因式分解的

方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.

第17頁(yè)

1.分組后能提取公因式

其例把2ox-10ay+5/?y-Zzx分解因式.

分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降

幕排列，然后從兩組分別提出公因式2a與-〃，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x-5y,

這樣可以繼續(xù)提取公因式.

解：2or-Way+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)

［規(guī)律方法］:用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解,

由此合理選擇分組的方法.本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組,

同學(xué)不妨一試.

.典例,把仍d_儲(chǔ))_d_/)〃分解因式.

分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組,

然后再分解因式.

解：ah(c2—d2)—(42—b1)cd=ahc1—ahd2—a2cd+k^cd

={ahc1—a2cd}+(b2cd—ahd2)

=ac(bc—ad)+bd(bc-ad)={he—ad)(ac+bd)

［規(guī)律方法］:由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合

理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律.由

此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用.

2.分組后能直接運(yùn)用公式

第18頁(yè)

.典例,把f—y2+分+”分解因式.

分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒(méi)有公因式，但可以運(yùn)用平方

差公式分解因式，其中一個(gè)因式是x+y;把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公

因式a后，另一■個(gè)因式也是x+y.

2

解：x-V+"+砂="+y)(x_y)+a(x+y)=(x+y)(x—y+Q)

才巴2》2+4xy+2y2-8z2分解因式.

分析：先將系數(shù)2提出后，得到f+2*+y2—4z2,其中前三項(xiàng)作為一組，它

是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式.

解：2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)

=2Kx+y)2_(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y-2z)

［規(guī)律方法］:從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都

能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)

用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來(lái)分解因式.

第19頁(yè)

2.3分解因式——同步練習(xí)

一(如需疝底］隹初面笑…)--------------------------空」二學(xué)七掛技邂.

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.把下列各式分解因式：

(1)X2-3%+2(2)%2+37x+36⑶Y+Ux_26

(4)x2-6%-27(5)nr—4-mn-5n2(6)(a-b)2+1l(a—Z?)+28

2.把下列各式分解因式：

(1)ar5-lOtix4+16ax3(2)a"+2+an+ib-6a"b2(3)(x2-2x)2-9

(4)X4-7X2-18(5)6/-7x-3(6)8x2+26xy-15y2

(7)7(a+b)2-5(a+b)-2(8)(6x2-7x)2-25

第20頁(yè)

3.把下列各式分解因式:

(1)3ax-3ay+xy-y2(2)8x3+4x2-2x-l(3)5x2-15x4-2xy-6y

(4)4。2-20必+25/_36(5)4xy+l-4x2-y2

第21頁(yè)

第3章、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，

而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、

不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用.本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、

根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述.

3.1一元二次方程的根的判斷式

一^元二次方程++c=0(aW0),用配方法將其變形為:

(1)當(dāng)〃-4函>0時(shí)，右端是正數(shù).因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

-b±\Jb2-4ac

x=---------

2a

(2)當(dāng)/一4雙=0時(shí)，右端是零.因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：、=-2

2a

(3)當(dāng)〃-4ac<0時(shí)，右端是負(fù)數(shù).因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由于可以用〃—4ac的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況.因此，把

〃—4ac叫做一元二次方程/+&c+c=0(aw0)的根的判別式，表示為：△=〃-4ac

.典例,不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù):

第22頁(yè)

(1)2x2-3x+l=0(2)4y?+9=12y(3)5(x2+3)-6x=0

解：⑴A=(-3)2-4x2xl=l>0,/.原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)原方程可化為：4/-12^4-9=0

△=(-12)2-4x4x9=0,二.原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

(3)原方程可化為：5x2-6x+15=0

A=(-6)2-4x5x15=-264<0,/.原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

［規(guī)律方法］:在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形

式.

【跟蹤訓(xùn)棟:說(shuō)出下列各方程的根的情況

(1)X2-x+3(2)4x2-4x+l(3)x2+x-2

已知關(guān)于x的一元二次方程3f—2X+A=0,根據(jù)下列條件，分別求出k

的范圍:

(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)

數(shù)根

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

解：A=(—2)2-4x3x攵=4-12左

(1)4-⑵>00%<,；(2)4-⑵=0nA='；

33

(3)4-12k>0^k>--(4)4-12攵<0nZ<L

33

第23頁(yè)

3.2一元二次方程的根解法

進(jìn)一步地，在一元二次方程以2+加+c=o（awo）有實(shí)數(shù)根的前提下，該實(shí)數(shù)

根具體是多？這就涉及到一元二次方程的根的求法

解法一（因式分解法）若辦2可分解為（px+q）（〃zr+力），

刃卜么由ax2+/zr+c=O可得（p九+q）（mx+〃）=0從而得至Ix=-—或x--—

pm

.典例,解一元二次方程f+x_2=0

解：原方程可化為（x-l）（x+2）=0故x=l或-2

練：解一元二次方程（1）X2-4X-12=0（2）2X2+X-6=0（3）-4x2+5x-l=0

解法二（配方法）一■元二次方程ar2+bx+c=0（a工0）,用配方法將其變形為：

（九+2）2=忙二把兩邊開(kāi)方即可得到方程的根

2a4a

典例解一元二次方程f+x_2=0

解：原方程可化為（x++-2=o即（％+［）2=2

2424

故x+'=±2從而x=-L±3即x=l或-2

2222

.跟蹤訓(xùn)練,解一元二次方程（1）爐_4%一12=0（2）2f+x—6=0（3）^x2+5x-l=0

解法三（公式法）對(duì)于一^元二次方程數(shù)2+bx+c=0（Q工0）,

第24頁(yè)

(1)當(dāng)〃一4砒>0時(shí)，右端是正數(shù).因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±>Jb2-4ac

x=------------

2a

(2)當(dāng)。2_4QC=0時(shí)，右端是零.因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x=-—

122a

.典例解一元二次方程%2+%_2=0

解：由△=b2-4ac=9>0所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

所*=生"還=厘=券即e或一2

.跟蹤訓(xùn)練,解一元二次方程(1)X2-4X-12=0(2)2x2+x—6=Q(3)

-4x2+5x-l=0

3.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程加+fer+c=0(a00)的兩個(gè)根為：

-b+\b~—4ac-b-\b~-4ac

x=------------,x=------------

2a2a

-b4-\b2—4ac-b—Jb1—4acb

?x<+=-------------1-------------=—

2a2aa

-b+\lb2-4ac-b--4ac_(-/?)2-(J/72-4ac)2_4cic_c

2a2a(2tz)24a2a

定理：如果一^元二次方程ax?+Zzx+c=0(aw0)的兩個(gè)根為Xj,x2,那么：

bc

一,X]X)——

aa

第25頁(yè)

［規(guī)律方法］:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋

達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為“韋達(dá)定理”.上述定理成立的前提是ANO.

其例若凡,々是方程/+2x-2007=0的兩個(gè)根,試求下列各式的值:

(1)+%2~;(2)—I—;(3)(蒼—5)(x,-5);(4)|司一9I?

演x2

分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)

雜的計(jì)算.這里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答.

解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：%+&=-2,A1A2=-2007

2

(1)%2+w2=a+9)2一2Rw=(-2)-2(-2007)=4018

(2)，+-1=.+々=-2=2

%x25%-20072007

(3)(%—5)(馬一5)=王9—5。+w)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

(4)|玉一”|=5(須一X2)2=&內(nèi)+々尸一4%々=7(-2)2-4(-2007)=272008

［規(guī)律方法］:利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形:

刀2+=(玉+/)?-9—?----=-----工，(X］一凡))~=(X|+電)?-4%,

玉X2XjX2

|%1-X2|=J(尤］+X2)2—4%管，%馬之+(％+%),

Xj3+%23=(Xj+/)3-3%%2(川+9)等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想.

【跟蹤訓(xùn)練】若玉,電是方程2d+5%-3=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值

22

(1)X］+%2(2)再尤2(3)Xj+x2;

第26頁(yè)

(3)—?—;(4)(%—5)(X2—5);(5)

%x2

第27頁(yè)

第4章、不等式

初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法.高中階

段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí).本講先介紹一些高中新

課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí).

4.1一元二次不等式及其解法

1.形如G?+/zx+c>0（或V。）（其中QW0）的不等式稱為關(guān)于X的一元二次不等

式.

.典例解不等式工2+%一6>0.

分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號(hào)法則--正正（負(fù)負(fù)）得正、

正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組.

解：原不等式可以化為：（x+3）（x-2）>0,

了+3<0或「+3>0x<—3[x>—3-

于是:或<=>x<-3Wcr>2

x—2<0x—2>0x<2x>2

所以，原不等式的解是xv-3或x>2.

［規(guī)律方法］:當(dāng)把一元二次不等式化為辦2+笈+°>0（或<0）的形式后，只要

左邊可以分解為兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法.

.典例,解下列不等式:

(1)(x+2)(x—3)<6(2)(x-l)(x+2)>(x-2)(2%+l)

第28頁(yè)

分析：要先將不等式化為雙2+笈+c>0(或<0)的形式，通常使二次項(xiàng)系數(shù)為

正數(shù).

解：⑴原不等式可化為：X2-X-12<Q,即(x+3)(x-4)<0

x+3>0x+3<0

于是：n—3cx<4

x-4<0x-4>0

所以原不等式的解是-3Vx<4.

(2)原不等式可化為：-X2+4X<0,^l7x2-4x>0=>-4)>0

x<0x>0

于是:或<=>%<0酸>4

x-4<0x-4>0

所以原不等式的解是xWO或位4.

2.一元二次不等式依2+Ax+c>0(或<0)與二次函數(shù)y=辦2+/?x+c(aw0)及一

元二次方程/+法+c=0的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：三個(gè)二次).

以二次函數(shù)y=f+%_6為例：