高中數(shù)學(xué)講義微93 算法-多項循環(huán)體

微專題93含多次循環(huán)的程序框圖

一、基礎(chǔ)知識：

1、如果在框圖運行中，循環(huán)次數(shù)過多，則不易一一列舉，費時費力，則要通過列舉出的前幾

個例子找到規(guī)律，并推斷出循環(huán)臨近結(jié)束時各變量的值

2、找規(guī)律：在多次循環(huán)的框圖中，變量的取值通常呈現(xiàn)出以下幾點規(guī)律：

（1）與數(shù)列的求和相關(guān)：框圖中某個變量與求和相關(guān)，且在每次循環(huán)中所加上的項具備特點,

如同數(shù)列的通項公式。那么則可通過歸納出數(shù)列的通項公式從而判斷求和方法

（2）與周期性相關(guān)：框圖經(jīng)過幾次循環(huán)后，某個變量的值存在周期性，那么可通過周期性即

可判斷出循環(huán)臨近結(jié)束后，變量的取值。

（3）計數(shù)變量：在較多次的循環(huán)中，往往會有一個變量，在每次循環(huán)時，它的值都加1,則

該變量的值可代表循環(huán)的次數(shù)，這樣的變量稱為計數(shù)變量。由于多次循環(huán)不能一一列出，所

以需要在前幾次的列舉中發(fā)現(xiàn)輸出變量與計數(shù)變量間的”對應(yīng)關(guān)系“以便于在最后一次循環(huán)時，

可通過計數(shù)變量的值確定輸出變量的取值或者是在求和中最后一次加上的項

二、典型例題：

例1：右圖是表示分別輸出代/2+32/2+32+52,...,F+32+52+…+201F的值的過程的

一個程序框圖，那么在圖中①②處應(yīng)分別填上（）

A.i<2011?,z=z+lB.f<1006?,z=z+l

C.z<2011?,z=z+2D,?<1006?,z=z+2

思路：通過框圖可發(fā)現(xiàn)S代表求和，而變量z?是成為求和中的

每一項，依題意，每項的底數(shù)為奇數(shù)（相差2）,所以在執(zhí)行

框②中填入的應(yīng)該是i=1+2,在判斷框①中，只要不滿足

①的條件則結(jié)束循環(huán)，從選項中可判斷是關(guān)于，的條件，且最

后一次輸出S前，所加的項為20n2,然后，=2013,所以

判斷框中應(yīng)填寫，<2011?,故選C

答案：C

例2：某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的S的值是（）

A.—3CB.—1C.—1D.2c

23

思路：從判斷框中發(fā)現(xiàn)循環(huán)次數(shù)較多，所以考慮進行幾次循環(huán)，

并尋找規(guī)律：

@S=-3,i=2②S=-■-,z=3

2

③S=—,z=4④S=2,i=5

3

⑤S=—3,i=6

由此可發(fā)現(xiàn)S的值呈周期性變化，且周期為4,最后一次循環(huán)，=2015,所以

2015-4=503……3,所以S的值與②相同，即5=—工

2

答案：B

例3：某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）

1+6D班

A.—A/3D.----------------

22.~T

思路：程序運行中變量變化如下:

s=si/=E=2

①

32

s=s+sin^-=A/3,n=3

②

3

s=s+sin?=A/3,H=4

s=s+sin』&-5

④

32

.5TT_,

⑤s=s+sin——=0,n=o

3

⑥s=s+sin2^-=0,n=7

s=s+s4&-8

⑦

32

可發(fā)現(xiàn)s的取值以6為周期，當(dāng)〃二2015時，循環(huán)結(jié)束，因為2015+6=335……5,故此

V3

時s的值與〃=5時的一致，所以s=——

2

答案：D

例4：如果執(zhí)行右邊框圖，輸入N=2012,則輸出的數(shù)s等于

()

A.2011X22013+2B.2012x22012-2

C.2011X22012+2D.2012x22013-2

思路：可先進行幾次循環(huán)觀察規(guī)律：

①m=l-2l,s=l-2),k=2

/輸出S/

②l

m=2-2r,s=l-2+2-2-,k=3(W)

③m=3-23,s=l-2l+2-22+3-23,k=4

通過三次循環(huán)即可觀察到s為數(shù)列｛?！埃?其中進行求和，即考慮在第"次循環(huán)時

s的通式，通過｛〃?2"｝通項公式特征可用錯位相減法求和：

5=1-2'+2-22+3-23+---+n-2"

2s=l-22+2-23+---+(n-l)-2n+n-2n+1

,,2(2"-1),

:.-s=2+21+---+2n-n-2n+i-------^-n，-2n+1

2-1

:.s=(n-l)-2'1+1+2

再考慮最后一次循環(huán)時上=2013,按照前面的對應(yīng)關(guān)系，循環(huán)的序數(shù)為“=左一1=2012,

代入可得：s=201Ix22°i3+2

I開始〕

答案：A/輸入r/

例5：執(zhí)行如圖的程序框圖如果輸入的7=0.01,則輸出的“=(

S=Lw=0:

A.5B.6C.7D.8

思路：可先執(zhí)行幾次循環(huán)：

①S=l--,n=l

2

②S=l----,n=2

24/輸出“

③s=l------,n=3,依次類推可得："束I

248

第九次循環(huán)中，5=1----

24

2

若輸入的『=0.01,則考慮（工］〈工時，n>l,故當(dāng)”=7時，跳出循環(huán)所以輸出的”=7

（2）100

答案：C

例6：若執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出S的值為4,則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）

A.左<14B.左<15C.左<16D.左<17

思路：可先通過幾次循環(huán)尋找規(guī)律：

①S=log23,左=3②S=log23-log34,左=4

③S=log23-log34-log45,^=4

由此可發(fā)現(xiàn)：第〃次

S=log23-log34......log,!+1{n+2),k=n+2,且

5=log23-log34.?…log“+""+2)=曇.昊?…

即S=log2左，因為輸出S=4,所以log2左=4,解得左=16,所以應(yīng)該在左=16后結(jié)束循

環(huán)，判斷框應(yīng)填入左<16

答案：C

例7：某算法的程序框圖如圖，輸入〃=1,若輸出結(jié)果S滿足S<0",則輸入正整數(shù)機的

2012

最大值是___________

思路：通過流程圖可觀察到S可視為數(shù)列通過裂

------—H-----------1---1-項相消求和

m—1mm—2m—1

得到。即

111

S=---------------------1----------------------------------1-???H-------------

m(m-l)2x1

、

1-------1------+1--------1+...+]___1

m—1mm—2m—12

223m-1mm

1-—<解得m<2012,從而輸入機的最大值為m=2011

m201°2"

答案：m=2011

例8閱讀下圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序(其中，

"r=amod4表示“r等于。除以4的余數(shù)”)輸出S值等于

思路：通過"r=amod4可知框圖的關(guān)鍵為。除以4的余數(shù),

且輸出的S為一個求和，先做幾個循環(huán)尋找規(guī)律：

①r=o,S=-l,a=5

②r=1,S=—1+1,a=6

③r=2,S=—1+1+2,?=7

④r=3,S=—1+1+2+3,a=8

⑤r=0,S=(-l+l+2+3)-l,a=9

由此可得：廠的取值呈周期性。最后一次循環(huán)是a=2013,而2013+4=503--1,所以

a=2013時，r=0,且共進行了(2013—5)+4=502次循環(huán)，所以

S=502x(-l+l+2+3)+(-l)=2509

答案：2509

例9：如圖，程序框圖運算的結(jié)果為

思路：由于，＜100,經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)較多，所以考慮

求和中的規(guī)律。先通過幾次循環(huán)尋找：

①S=I2z=2

②S=I2-22z=3

③S=l2-22+32Z=4

可觀察到S=l2-22+32-42+---+992-1002,從

而聯(lián)想到數(shù)列求和。很難從通項公式入手，觀察到相鄰兩項存在平方差特點，所以考慮兩兩

分組n2—（幾+1）一=+++=—（2n+l）則

3+199

S=—（3+7+…+199）=——50=-5050

答案：—5050

例10：閱讀右面的程序框圖，若輸入的〃是100,則輸出的變量S和T的值依次是（）

A.2450,2500B.2550,2450

C.2500,2550D.2550,2500

思路：通過幾次循環(huán)觀察特點：

①S=100,?=99,T=99,n=98

②S=100+98,n=97,T=99+97,n=96

③S=100+98+96,”=95,7=99+97+95,”=94

通過三次循環(huán)便可發(fā)現(xiàn)，S為偶數(shù)和，T為奇數(shù)和，從而尋找

最后一次循環(huán)，則

S=100+98+96+…+2=2550,7=99+97+95+…+3+1=2500

答案：D

三、歷年好題精選

1、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出尸的值為（

A.-1B.1C.0D.2016

2、21.（2015,湖南）執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入〃=：3,則輸出的S=()

6384

A.-B.—C.—D.一

7799

<e5>」

￡1

3、（2015,北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）

A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8)

/輸出⑴y）/

擊

4、（2015,福建）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸

出的結(jié)果為（）

A.2B.1C.0

D.-1

5、（2015,陜西）根據(jù)右邊的圖，當(dāng)輸入x為2006時，輸出的y=（）

A.28

Ix=；-2|

Iy?3"+iI

6、（2015,天津）閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為

（）

A.-10B.6C.14D.18

7、（2015,山東）執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T的值

為.

8、（2014,北京）當(dāng)加=7〃=3時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

A.7B.42C.210D.840

9、（2014,湖北）設(shè)。是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三

位數(shù).將組成。的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為/（a）,按從

大到小排成的三位數(shù)記為D（a）（例如a=815,則

/（a）=158,0（。）=851）.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程

序，任意輸入一個輸出的結(jié)果Z;=.

10、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s=也”，那么判斷框內(nèi)

2016

應(yīng)填（）

A.左<2015?B.左<2016?

C.左22015?D.左22016?

答案：A

11、定義某種運算M=a?b,運算原

f2tan-1的值為（

)0sin—+f4cos—)

l4,I2\、3j13)

A.4B.8C.11D.13

12、下圖是一算法的程序框圖,若此程序運行結(jié)果為5=720,則在判斷框中應(yīng)填入關(guān)于k的

判斷條件是（）

A.k>6?B.kN7?C.^>8?D.k>91

習(xí)題答案：

I、答案：c

解析：執(zhí)行的程序流程如下：

①P=-l,z=2②P=0,，=3③p=-l,i=4

……可知周期為2,且，為奇數(shù)時，尸=—1,，為偶數(shù)時，P=0；最后一次循環(huán)時，,=2017,

此時的P=0

2、答案：B

解析：①S=0+二一力=2

1x3

②S=0+L+'+',，=4,滿足/.>〃，結(jié)束循環(huán)

1x33x55x7

111￡1111￡3

S=----1-----1-----1-

1x33x55x72335577

3、答案：B

解析：①s=0j=2,%=0,y=2,左=1

②s=—2,t—2,x=—2,y—2,k=2

③s=-4/=0,x=-4,y=0,左=3,滿足左N3,結(jié)束循環(huán)

.-.(x,y)=(-4,0)

4、答案：C

解析：①S=0,z=2②S=-l,i=3③5=-l,z=4

④5=-1+1=0,Z=5⑤S=0,i=6,滿足，>5,結(jié)束循環(huán)

5、答案：B

解析：①x=2004；②x=2002；③x=2000,以此類推下去，可知第1003次運

行時，x=0；第1004次運行時，x=—2,不滿足1之0,結(jié)束循環(huán)，所以

y=+1=3?+1=10

6、答案：B

解析：①z=2,5=18②z=4,5=14

③，=8,S=6,滿足i>5,結(jié)束循環(huán)

.-.S=6

-11

7、答案：—.

6

解析：①T=l+fxdx=—%211=—,n=2

Jo212

②T=—+fx2dx=—x31Q=—+—=-,n=3

2Jo31236

此時“<3不成立，結(jié)束循環(huán)

力」

6

8、答案：C

解析：由已知可得：左的初始值為7,循環(huán)結(jié)束判斷條件為：左<7—3+1=5,循環(huán)過程如

下：

①S=l-7=7,左=6

②S=7-6,左=5

③S=7?6-5=210,左=4,此時滿足左<5,循環(huán)結(jié)束

.-.5