2021屆內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高三二模數(shù)學(xué)理試題解析版

2021屆內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先通過(guò)解不等式求出集合，進(jìn)而求得.【詳解】，則．故選：C.2．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得.故選：A.3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．35 B．65 C．95 D．130【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后可算出答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，故．故選：B4．函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】令可得結(jié)果.【詳解】令，解得，則圖象的對(duì)稱中心為．故選：D.5．青少年近視問(wèn)題已經(jīng)成為我國(guó)面臨的重要社會(huì)問(wèn)題.已知某校有小學(xué)生3600人，有初中生2400人，為了解該校學(xué)生的近視情況，用分層抽樣的方法從該校的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取120名進(jìn)行視力檢查，則小學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)與初中生應(yīng)抽取的人數(shù)的差是（）A．24 B．48 C．72 D．96【答案】A【分析】根據(jù)分成抽樣的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意可知小學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)是人，中學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)是人，則小學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)與中學(xué)生的人數(shù)的差是人.故選：A.6．已知某圓柱的軸截面是正方形，且該圓柱的側(cè)面積是，則該圓柱的體積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用圓柱底面圓半徑r表示出其高h(yuǎn)，由側(cè)面積列式求出r，進(jìn)而求得體積.【詳解】設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，則其高(母線)為，而圓柱的軸截面是正方形，則，圓柱側(cè)面積為，從而，，故該圓柱的體積是．故選：A7．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則（）A．3 B．3或 C． D．【答案】D【分析】由條件可得，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以因?yàn)?，所以．故選：D8．2020年11月24日4時(shí)30分，我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥五號(hào)，12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，“繞、落、回”三步探月規(guī)劃完美收官，這為我國(guó)未來(lái)月球與行星探測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．已知在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度，其中是噴流相對(duì)速度，是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”．若型火箭的噴流相對(duì)速度為，當(dāng)總質(zhì)比為500時(shí)，型火箭的最大速度約為（，）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意把數(shù)據(jù)代入已知函數(shù)可得答案.【詳解】．故選：C.9．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)橢圓的定義設(shè)，則，根據(jù)余弦定理可解得，進(jìn)而可得點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合，所以可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，即，即，解得，所以，即點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合，所以.故選：A.10．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求在上單調(diào)遞減，且恒成立時(shí)的范圍.【詳解】令，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，要使在上單調(diào)遞減，只需在上單調(diào)遞減，且恒成立.故，解得．故選：D.11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作與其中一條漸近線平行的直線與交于點(diǎn)，若為直角三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義，利用邊角關(guān)系列方程求解，即可求出結(jié)論．【詳解】如圖，設(shè)，，由題意可得，解得，則．故選：A12．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，則題目轉(zhuǎn)化為有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，又根據(jù)是偶函數(shù)可將題目轉(zhuǎn)化為在上有2個(gè)零點(diǎn)，寫出的表達(dá)式，對(duì)化簡(jiǎn)整理可得，設(shè)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)判斷大致圖象，根據(jù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，由題可知的定義域?yàn)椋?，即是偶函?shù)，故關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在上有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，則等價(jià)于，令，則，令，則且不恒等于0，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在處取得極小值且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選：B.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.二、填空題13．已知向量，，若，則___________.【答案】【分析】由題意可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知條件可得，，因?yàn)椋瑒t，解得.故答案為：.14．設(shè)，滿足約束條件則的最大值是______．【答案】8【分析】首先根據(jù)約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合可得最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可得出答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得，由得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)有最大值.故答案為：8.15．桂林是世界著名的風(fēng)景旅游城市和中國(guó)歷史文化名城，號(hào)稱“桂林山水甲天下”，每年都會(huì)迎來(lái)無(wú)數(shù)游客．甲同學(xué)計(jì)劃今年暑假去桂林游玩，準(zhǔn)備在“印象劉三姐”“漓江游船”“象山景區(qū)”“龍脊梯田”這個(gè)景點(diǎn)中任選個(gè)游玩．已知“印象劉三姐”的門票為元/位，“象山景區(qū)”的門票為元/位，其他個(gè)景點(diǎn)的門票均為元/位，則甲同學(xué)所需支付的門票費(fèi)的期望值為__________元．【答案】【分析】根據(jù)門票組合，以及期望公式求解.【詳解】由題可知，甲同學(xué)所需支付的門票費(fèi)的期望值為元．故答案為：16．某三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，已知該三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，過(guò)該三棱錐最短的棱的中點(diǎn)作球的截面，截面面積最小為______．【答案】【分析】首先根據(jù)三視圖可在長(zhǎng)方體中畫出該三棱錐的直觀圖，進(jìn)而利用長(zhǎng)方體求出該三棱錐的外接球的半徑；設(shè)最短的棱的中點(diǎn)為，當(dāng)該截面時(shí)，截面的面積最小，由此可計(jì)算出截面圓半徑的最小值，可得截面面積的最小值.【詳解】由正視圖和俯視圖在長(zhǎng)方體中還原出三棱錐的直觀圖如圖所示，該三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的表面上，即球?yàn)槿忮F的外接球，∴球也是長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)球的半徑為，則，解得，由三棱錐的直觀圖可得三棱錐的最短棱為，設(shè)的中點(diǎn)為，∵是的中點(diǎn)，∴，當(dāng)截面面積最小時(shí)，截面，設(shè)截面圓半徑為，則，解得，此時(shí)，截面面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.三、解答題17．某公司為了解服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了位男性顧客和位女性顧客，每位顧客對(duì)該公司的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行打分．已知這位顧客所打分?jǐn)?shù)均在之間，根據(jù)這些數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：顧客所打分?jǐn)?shù)男性顧客人數(shù)女性顧客人數(shù)（1）求這位顧客所打分?jǐn)?shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）若顧客所打分?jǐn)?shù)不低于分，則該顧客對(duì)公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度為滿意；若顧客所打分?jǐn)?shù)低于分，則該顧客對(duì)公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度為不滿意根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為顧客對(duì)公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度與性別有關(guān)？滿意不滿意男性顧客女性顧客附：【答案】（1）；（2）填表見(jiàn)解析；有．【分析】(1)由頻數(shù)分布表，先求出各組的頻率，再求它們與對(duì)應(yīng)組的區(qū)間中點(diǎn)值的積的和即為所求；(2)按條件填寫列聯(lián)表，再計(jì)算K2觀測(cè)值并與給定相關(guān)值比對(duì)回答而得.【詳解】(1)由題可知，落在區(qū)間，，，，的頻率分別為：，這位顧客所打分?jǐn)?shù)的平均值為：，故這位顧客所打分?jǐn)?shù)的平均值為．(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：滿意不滿意男性顧客女性顧客根據(jù)列聯(lián)表得．因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為顧客對(duì)公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度與性別有關(guān)．18．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，求邊上的中線的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，之后化簡(jiǎn)再利用余弦定理可得的值，再根據(jù)角的范圍可得角的值；（2）利用余弦定理列方程可得，在中，再利用余弦定理可得中線的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，由余弦定理可得，因?yàn)椋?（2）由（1）可知，由余弦定理可得，則，解得或（舍去）．在中，，，，則，故.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，．點(diǎn)，分別在棱，上（不包含端點(diǎn)），且．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，，連接，則，再結(jié)合已知條件可得，而，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則，然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)，過(guò)作垂直的直線為軸，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，，連接．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：以為原點(diǎn)，過(guò)作垂直的直線為軸，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，從而，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)二面角為，由圖可知為鈍角，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判定，考查二面角的求法，解題的關(guān)鍵是正確的建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔題20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離比點(diǎn)到軸的距離大1．過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)其斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義列出關(guān)于的等式，求出的值，即可得到拋物線的方程；（2）設(shè)，，直線的斜率為，直線的斜率為，利用兩點(diǎn)間斜率公式表示出兩個(gè)斜率，由兩個(gè)斜率的關(guān)系以及點(diǎn)，均在拋物線上，化簡(jiǎn)展開，可得直線的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，即可證明.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到的距離比點(diǎn)到軸的距離大1，可得，即，所以，即拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)，，直線的斜率為，直線的斜率為，則，.因?yàn)橹本€與直線的斜率互為相反數(shù)，所以，即，又點(diǎn)，均在拋物線上，可得，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，，所以，即，故，因?yàn)椋?，所以，則，故.【點(diǎn)睛】本題要證明的是，關(guān)鍵是首先要找到與的表達(dá)式，利用直線與直線的斜率互為相反數(shù)及點(diǎn)在拋物線上可得，再利用兩點(diǎn)間的斜率公式可得；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的表達(dá)式，進(jìn)而可得證，本題屬于較難的題目，考查運(yùn)算能力、邏輯思維能力.21．設(shè)函數(shù)．（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）函數(shù)在R上是增函數(shù)，只需在R上恒成立，建立不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求得，即可證明.【詳解】解：（1）由題意，在R上恒成立，即不等式在R上恒成立從而有或解得：即（2）當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減即當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，①如果>0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果<0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有；函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的本質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．【答案】（1）直線的直角坐標(biāo)方程為（或）；曲線的普通方程為；（2）．【分析】（1）由，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可化簡(jiǎn)得到直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，得出點(diǎn)到直線的距離，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解到直線的距離的最大值.【詳解】（1）由（為參數(shù)），得，即曲線的普通方程為．由，得，即直線的直角坐標(biāo)方程為（或）．（2）由題意可設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離．因?yàn)椋?，所以，即．故點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的