【壓軸專練】專題02 全等三角形做輔助線六種方法大全（解析版）-2021-2022學(xué)年八上壓軸題攻略

專題02全等三角形做輔助線六種方法大全幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三角形各種模型，或證明線段數(shù)量關(guān)系等，接來下我們針對其做出詳細(xì)分析與梳理。類型一、倍長中線模型中線倍長法：將中點(diǎn)處的線段延長一倍。目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。例1．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【詳解】（1）證明：如圖延長至，使，連接，∵為中邊上的中線，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等），在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】證：（1）如圖所示，延長AD至P點(diǎn)，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點(diǎn)，BD=CD，在△ABD與△PCD中，，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點(diǎn)，D、E為BC三等分點(diǎn)，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時(shí)，延長AE，交CQ于K點(diǎn)，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點(diǎn)M，連接AM并延長至N點(diǎn)，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時(shí)，延長AE，交CN于T點(diǎn)，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【變式訓(xùn)練2】（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；（3）EF＝2AD，證明見解析．【詳解】（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，是邊上的中線，過作的平行線交的延長線于點(diǎn)．若，，試求的取值范圍．【答案】4＜AE＜8【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD．∵AB∥CE，∴∠BAD=∠E，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC=6，∴AD=DE，在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即6-2＜AE＜6+2，∴4＜AE＜8．類型二、截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．【答案】證明見解析．【解析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【變式訓(xùn)練1】（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進(jìn)而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；證明見解析．【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，如圖2，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【變式訓(xùn)練2】已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）AE+CF＝EF，證明見解析；（3）AE﹣CF＝EF，證明見解析【詳解】（1）證明：在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：AE+CF＝EF，理由如下：延長DC至點(diǎn)K，使CK＝AE，連接BK，在△BAE與△BCK中，，∴△BAE≌△BCK（SAS），∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FBC+∠ABE＝60°，∴∠FBC+∠KBC＝60°，∴∠KBF＝∠FBE＝60°，在△KBF與△EBF中，，∴△KBF≌△EBF（SAS），∴KF＝EF，∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；（3）解：AE﹣CF＝EF，理由如下：延長DC至G，使CG＝AE，由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△GBF≌△EBF，∴EF＝GF，∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．【變式訓(xùn)練3】在ABC和ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，如果點(diǎn)D在BC上，且BD＝5，CD＝3，求DE的長．（2）如圖2，AD與BC相交于點(diǎn)N，點(diǎn)D在BC下方，連接BD，且AD垂直BD，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)M是CA延長線上一點(diǎn)，且CM＝AF，求證：CF＝AN+MN．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）如圖，連結(jié)CE∵∠BAC=∠DAE=90o∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90o∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴CE=BD=5，∠ACE=∠B∵∠BAC=90o，∴∠B+∠ACB=90o∴∠ACE+∠ACB=90o，即CE⊥CD在Rt△ECD中，CD=3,CE=5，由勾股定理得：，所以DE的長為．（2）如圖，過點(diǎn)A作AG∥BC交CF于點(diǎn)G則∠FAG=∠ABC，∠AGE+∠BCF=180o，∵AD⊥BD，AD⊥AE，∴AE∥BD，∴∠FAE=∠ABD∴∠FAE?∠FAG=∠ABD?∠ABC，即∠GAE=∠NBD，∵∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90o，∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠CEA=∠BDA=90o，∴∠AEC=90o∴∠ANC=∠BND=90o?∠NBD=90o?∠GAE=∠AGE，∴∠ANC+∠BCF=180o，∴AN∥CF∴四邊形ANCG是平行四邊形，∴CG=AN，AG=CN∵AB=AC，∴∠ABC=∠CAN，∴∠FAG=∠ACN在△FAG和△MCN中，∴△FAG≌△MCN(SAS)，∴MN=GF，∵CF=CG+GF，∴CF=AN+MN類型三、做平行線證明全等例1.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分別是AC和AC的延長線上的點(diǎn)，連接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求證：D是AC的中點(diǎn)?！敬鸢浮浚喝鐖D，過點(diǎn)C作AB的平行線，交BD的延長線于點(diǎn)F∵CF∥AB∴∠ABD=∠DFC∴∠DBC+∠BFC=∠ABC∵∠ABC=∠ACB∴∠ACB=∠DBC+∠BFC∵∠BCF+∠DBC+∠BFC=180°，∠BCE+∠ACB=180°∴∠BCF=∠BCE在△BCF與△BCE中∴△BCF≌△BCE∴CF=CE∵CE=AB∴AB=CF在△ABD與△CFD中∴△ABD≌△CFD∴AD=DC∴D是AC的中點(diǎn)【變式訓(xùn)練1】如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD＝CE，連接DE交底BC于G.求證：GD＝GE.【答案】證明見解析【分析】過E作EF∥AB交BC延長線于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可推出∠F=∠FCE，從而可得到BD=CE=EF，再根據(jù)AAS判定△DGB≌△EGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【詳解】證明：過E作EF∥AB交BC延長線于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG與△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．【變式訓(xùn)練2】如圖1，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且CE＝BD，連接DE交BC于點(diǎn)F．⑴求證：EF＝DF；⑵如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，求證：BC＝2FG.【答案】（1）答案見詳解；（2）答案見詳解.【分析】(1)過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖1，則∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，進(jìn)而可得：CE=MD，易證：?DMF??ECF，即可得到結(jié)論；(2)過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖2，易證：?DMF??ECF，可得：MF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得：BG=MG，進(jìn)而可得到結(jié)論.【詳解】（1）過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖1，則∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵CE＝BD，∴CE=MD，在?DMF和?ECF中，∵∴?DMF??ECF（AAS）,∴EF＝DF；（2）過點(diǎn)D作DM∥AC，如圖2，由第（1）小題，可知：BD=MD，?DMF??ECF，∴MF=CF，∵DG⊥BC，∴BG=MG（等腰三角形三線合一），∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG，圖1圖2類型四、旋轉(zhuǎn)模型例1．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．【答案】（1）證明見解析；（2）．證明見解析；（3）．【詳解】解：（1）證明：把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴點(diǎn)Q在直線CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，則DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴點(diǎn)P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；（3）如圖，過點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等邊三角形，∴△BMG是等邊三角形，∴BM=MG=BG，根據(jù)（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根據(jù)MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案為：2.8【變式訓(xùn)練1】如圖，將的斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作的垂線，交延長線于點(diǎn)．求證：．【答案】見解析【詳解】證明：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，，，，，，，在與中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖①，在中，，以C為頂點(diǎn)作，且、分別與相交于D、E兩點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．

（1）與、的數(shù)量關(guān)系是；若，則的長等于．（2）若將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使與相交于點(diǎn)D，邊與的延長線相交于點(diǎn)E，而其他條件不變，如圖②所示，猜想與、之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想．【答案】（1），；（2）．【詳解】解：如圖①中，∵繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，∴∠ECF=∠ECB+∠BCF=∠ECB+∠ACD=90°-∠DCE=45°，∴，在△DCE和△FCE中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，在Rt△BEF中，BE=6，BF=4，∴，故答案為，；（2）解：，理由：如圖②中，連接，∵是由旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，∴，在△ECD和△ECF中，∵，∴，∴，∵，∴，在Rt△BFE中，根據(jù)勾股定理，∴，∵，∴．類型五、手拉手模型例1.問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，已知為線段上一點(diǎn)，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：（2）如圖2，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點(diǎn)，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【答案】問題發(fā)現(xiàn)：（1）；；拓展探究：（2）成立，理由見解析；拓展延伸：（3）【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：（1）如下圖，延長BD，交AE于點(diǎn)F，∵∴又∵∴（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CDB∵∴∴∴∴AE⊥BD，故答案為：，拓展探究：（2）成立．理由：如圖1，設(shè)與相交于點(diǎn)．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∵，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】如圖，，，三點(diǎn)在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若把繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，與都是等邊三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD，（2）成立；理由如下：如圖2中，、均為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，．【變式訓(xùn)練2】已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點(diǎn)和，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠ACE=62°；（3）∠CBA=6°．【詳解】解：（1）∵∠CAE=∠DAB，∴∠CAE+∠CAD=∠DAB+∠CAD，即∠CAB=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS），（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠CBA=∠EDA,AC=AE，在△MND和△ANB中，∵∠EDA+∠MND+∠DMB=，∠CBA+∠ANB+∠DAB=，又∵∠MND=∠ANB，∴∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE=∠DAB=，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=，∴∠ACE=，（3）∠CBA=，如圖所示，連接AM，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,,=即,由(2)可得：,=,∠CAE=∠DAB==-=.類型五、一線三角模型例1．在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且于D點(diǎn)，于E點(diǎn)．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析，（2）圖②中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝AD﹣BE，圖③中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD．【詳解】解：（1）①證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．（2