0.1.5無窮大量與無窮小量

新編經(jīng)濟應用數(shù)學（微分學積分學）第五版PAGEPAGE10.1.5無窮小量與無窮大量課題0.1.5無窮小量與無窮大量（2學時）時間年月日教學目的要求理解無窮小和無窮大的概念及相互關(guān)系。理解和掌握無窮小的性質(zhì)和無窮小的階。會比較兩個無窮小的大小。重點無窮小和無窮大的概念。難點會比較無窮小。教學方法手段對比講解主要內(nèi)容時間分配一、無窮小量20分鐘定理1二、無窮大量15分鐘三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系10分鐘四、無窮小的性質(zhì)15分鐘五、無窮小的比較15分鐘六、等價無窮小15分鐘作業(yè)備注一、無窮小量如果（或）時，函數(shù)的極限為零，則稱為（或）時的無窮小量，簡稱無窮小。注意：⑴無窮小是以零為極限的變量，不要把一個很小的數(shù)認為是無窮小。⑵無窮小是與極限過程相聯(lián)系的。⑶當，，，時可得到相應的無窮小的定義。無窮小的定義對數(shù)列也適用。定理1的充分必要條件是其中，是一個無窮小量。證明：必要性設(shè)，則所以充分性設(shè)，則所以注：⑴定理1對，等其它情況都成立。⑵意義：①將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題（無窮小）②給出函數(shù)在附近的近似表達式，誤差為。二、無窮大量如果（或）時，無限增大，則稱為（或）時的無窮大量，簡稱無窮大。記作（或）注：⑴無窮大是變化的量，不要把一個很大的數(shù)認為是無窮大。⑵無窮大是與極限過程相聯(lián)系的。⑶當，，，時可得到相應的無窮大的定義。無窮大的定義對數(shù)列也適用。⑷切勿將認為極限存在，因為極限必須是常數(shù)，而不是數(shù)，只表示一種狀態(tài)。（5）無窮大是一種特殊的無界變量，但無界變量未必是無窮大。三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的同一過程中，無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大?！纠?】求解時分母的極限為0，分子的極限不為0，即所以四、無窮小的性質(zhì)1、有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。2、有限個無窮小的乘積仍是無窮小。3、有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。4、常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。五、無窮小的比較設(shè)，是同一過程中的兩個無窮小，且，⑴，則稱是比的高階無窮小，記作；⑵，則稱是比的低階無窮??；⑶，則稱是比的同階無窮小，特別地，如果，則稱是比的等價無窮?。虎?，則稱是比的階無窮小?！纠?】（1），即所以當時，是比高階無窮??；（2），即所以當時，是的等價無窮??；六、等價無窮小定理2設(shè)，，，是同一過程中的無窮小，且，，存在，則證明：幾個常用的等價無窮小：當時有【例3】求下列極限：（1），（2）解（1）當時，，（2）當時，小結(jié)：（1）若未