高中數(shù)學(xué) 1.1 歸納與類比基礎(chǔ)鞏固 北師大版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.1歸納與類比基礎(chǔ)鞏固北師大版選修2-2一、選擇題1．(·太原模擬)如圖是年元宵節(jié)燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()[答案]A[解析]觀察題干中的三個圖形，前一個圖形以中心為原點(diǎn)沿順時針旋轉(zhuǎn)144°得到后一圖形，類比可知選A.2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr,2) D．不可類比[答案]C[解析]由扇形的弧長與半徑分別類比三角形的底邊與高，可得扇形的面積公式．3．(·華池一中期中)平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值eq\f(\r(3),2)a，類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個面的距離之和為()A.eq\f(\r(4),3)a B.eq\f(\r(6),3)aC.eq\f(\r(5),4)a D.eq\f(\r(6),4)a[答案]B[解析]將正三角形一邊上的高eq\f(\r(3),2)a類比到正四面體一個面上的高eq\f(\r(6),3)a，由正三角形“分割成以三條邊為底的三個三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明．二、填空題4．若數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，則a10＝________.[答案]1000[解析]前10項共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55個奇數(shù)，a10為由第46個到第55個奇數(shù)的和，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f(1091＋109,2)＝1000.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[答案]eq\f(x,2n－1x＋2n)[解析]本題主要考查了歸納推理及分析解決問題的能力．依題意：f1(x)＝eq\f(x,x＋2)＝eq\f(x,2－1x＋2)，f2(x)＝eq\f(x,3x＋4)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,7x＋8)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,15x＋16)＝eq\f(1,24－1x＋24).∴當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).三、解答題6．已知a，b為正整數(shù)，設(shè)兩直線l1：y＝b－eq\f(b,a)x與l2：y＝eq\f(b,a)x的交點(diǎn)為P1(x1，y1)，且對于n≥2的自然數(shù)，兩點(diǎn)(0，b)，(xn－1,0)的連線與直線y＝eq\f(b,a)x交于點(diǎn)Pn(xn，yn)．(1)求點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)；(2)猜想點(diǎn)Pn的坐標(biāo)公式．[分析]兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可通過解方程組求出，由兩點(diǎn)坐標(biāo)又可寫出新的直線方程，從而猜想出點(diǎn)Pn的坐標(biāo)．[解析](1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝b－\f(b,a)x，,y＝\f(b,a)x，))得P1(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．過(0，b)，(eq\f(a,2)，0)兩點(diǎn)的直線方程為eq\f(2x,a)＋eq\f(y,b)＝1，與y＝eq\f(b,a)x聯(lián)立，解得P2(eq\f(a,3)，eq\f(b,3))．(2)由(1)可猜想Pn(eq\f(a,n＋1)，eq\f(b,n＋1)).一、選擇題1．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)[答案]C[解析]設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c；類比：設(shè)四面體A－BCD的內(nèi)切球的球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來面為底面的四面體，高都是r，所以有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.2．下列哪個平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對象較合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對象較為合適．3．(·三峽名校聯(lián)考)觀察式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，則可歸納出第n－1個式子為()A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(1,2n－1)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(1,2n＋1)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(2n－1,n)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(n,2n＋1)[答案]C[解析]觀察可得第n－1個式子中不等式的左邊為數(shù)列{eq\f(1,i2)]的前n項的和，右邊為分式eq\f(2n－1,n).4．(·臨沂模擬)如圖，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N＋)的前12項(即橫坐標(biāo)為奇數(shù)項，縱坐標(biāo)為偶數(shù)項)，按如此規(guī)律下去，則a2009＋a2010＋a2011等于()A．1003 B．1005C．1006 D．2011[答案]B[解析]觀察點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律可知，偶數(shù)項的值等于其序號的一半．則a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.又2009＝4×503－3,2011＝4×503－1，∴a2009＝503，a2011＝－503，a2010＝1005，∴a2009＋a2010＋a2011＝1005.5．(·湖北理，8)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)[答案]B[解析]設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則L＝2πr，由eq\f(1,36)L2h≈eq\f(1,3)sh，代入s＝πr2化簡得π≈3；類比推理，若V≈eq\f(2,75)L2h時，π≈eq\f(25,8).本題的關(guān)鍵是理解“若V≈eq\f(1,36)L2h，π近似取為3”的意義，類比求解，這是高考考查新定義型試題的一種常見模式，求解此類試題時，關(guān)鍵是要理解試題所列舉的例子．二、填空題6．(·湖南長沙實驗中學(xué)、沙城一中聯(lián)考)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BD·BC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________．[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC[解析]將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC.7．(·陜西理，14)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．[答案]F＋V－E＝2[解析]5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F＋V－E＝2.三、解答題8．已知Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)，寫出S1，S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達(dá)式．[分析]在Sn中分別令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進(jìn)行歸納推測．[解析]S1＝eq\f(1,1×2)＝－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；S2＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)；S3＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；S4＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋(eq\f(1,4)－eq\f(1,5))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)；由此猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N＋)．[點(diǎn)評]本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達(dá)式，有兩點(diǎn)應(yīng)注意：①正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；②在對特殊值進(jìn)行規(guī)律觀察時，有時需要將所得結(jié)果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性．9．(·洛陽市高二期中)觀察等式：sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15°sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上兩式規(guī)律的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明．[解析]猜想：sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).下面證明：左邊＝sin(eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2))＋sin(eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2))＝(sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＋coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2))＋(sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)－coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2))＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝右邊．所以原等式成立．10．已知等差數(shù)列{an}，公差為d，前n項和為Sn，有如下的性質(zhì)：(1)通項an＝am＋(n－m)·d；(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n