2.3導(dǎo)數(shù)的計(jì)算課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3導(dǎo)數(shù)的計(jì)算北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)求解步驟(1)通過(guò)自變量在x=x0處的改變量Δx,確定函數(shù)值在x0處的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).(2)確定函數(shù)y=f(x)從x0到x0+Δx處的平均變化率(3)當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù)名師點(diǎn)睛函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率.思考辨析導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率可以反映函數(shù)變化的什么特征?提示

導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率可以反映函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢程度.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)f'(x0)即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率.(

)(2)若函數(shù)f(x)=x,則f'(1)=f'(2).(

)√√2.求函數(shù)y=f(x)=在x=3處的導(dǎo)數(shù)f'(3).知識(shí)點(diǎn)2

導(dǎo)函數(shù)一般地,如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)

,那么稱f'(x)為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù),有時(shí)也將導(dǎo)數(shù)記作y'.

f'(x)的值與Δx無(wú)關(guān),同時(shí)又是關(guān)于x的函數(shù)

思考辨析你會(huì)區(qū)分“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)函數(shù)”嗎?提示

“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值,“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù),二者有本質(zhì)的區(qū)別,但又有密切關(guān)系,f'(x0)是導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)在x=x0處的一個(gè)函數(shù)值.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)若y=f(x)=x,則f'(x)=1.(

)(2)若y=f(x)=x2,則f'(x)=2x.(

)(3)已知f'(x)=2x,則f'(3)=6.(

)√√√2.利用導(dǎo)函數(shù)的定義求函數(shù)f(x)=(2x+1)(3x-1)的導(dǎo)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)3

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

函數(shù)導(dǎo)數(shù)y=c(c是常數(shù))y'=

y=xα(α是實(shí)數(shù))y'=

y=ax(a>0,a≠1)y'=

特別地(ex)'=exy=logax(a>0,a≠1)y'=

特別地(ln

x)'=0αxα-1axlna函數(shù)導(dǎo)數(shù)y=sin

xy'=

y=cosxy'=

y=tan

xy'=

cosx-sinx思考辨析常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說(shuō)明什么?提示

說(shuō)明常數(shù)函數(shù)f(x)=c圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0,即每一點(diǎn)處的切線都平行(或重合)于x軸.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)若y=sin60°,則y'=cos60°.(

)(2)若f'(x)=sin

x,則f(x)=cosx.(

)××√2.[人教B版教材例題]求曲線y=sinx在(0,sin0)處的切線方程.解

因?yàn)閥'=cos

x,因此所求切線的斜率為cos

0=1,又因?yàn)閟in

0=0,因此所求切線方程為y-0=1(x-0),即y=x.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【例1】

(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),且,則f'(x0)=

.

a

(2)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=f(x)=x3在x=1處的導(dǎo)數(shù).規(guī)律方法

用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟

變式訓(xùn)練1已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0.探究點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解

(1)y'=0.規(guī)律方法

1.若給出的函數(shù)解析式符合導(dǎo)數(shù)公式,則直接利用公式求導(dǎo).2.若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,則通過(guò)恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo),如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo),y=可以寫(xiě)成y=x-4,y=等,這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo),避免在求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤.3.要特別注意“與ln

x”“ax與logax”“sin

x與cos

x”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

(1)y'=(x12)'=12x11.探究點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問(wèn)題【例3】

已知P,Q為拋物線f(x)=x2上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過(guò)P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

.

(1,-4)解析

由拋物線方程,得f'(x)=x,∴kPA=4,kQA=-2.∵P(4,8),Q(-2,2),∴直線PA的方程為y-8=4(x-4),即y=4x-8.直線QA的方程為y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.∴A(1,-4).規(guī)律方法

解決切線問(wèn)題,關(guān)鍵是確定切點(diǎn),要充分利用以下三個(gè)條件聯(lián)立方程解決:(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率.(2)切點(diǎn)在切線上.(3)切點(diǎn)在曲線上.變式訓(xùn)練3[人教B版教材例題]已知f(x)=,求f'(4)以及曲線y=f(x)在點(diǎn)(4,f(4))處的切線的方程.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).(2)利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問(wèn)題.2.方法歸納:公式變形及數(shù)學(xué)運(yùn)算.3.常見(jiàn)誤區(qū):未將函數(shù)解析式恒等變換而亂用導(dǎo)數(shù)公式.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1819201.[探究點(diǎn)二](多選題)下列結(jié)論正確的是(

)AD12345678910111213141516171819202.[探究點(diǎn)二]已知函數(shù)f(x)=xα(α是實(shí)數(shù)),若f'(-1)=-4,則α的值等于(

)A.4 B.-4C.5 D.-5A解析

∵f'(x)=αxα-1,f'(-1)=α(-1)α-1=-4,∴α=4.12345678910111213141516171819203.[探究點(diǎn)三]“以直代曲”是重要的數(shù)學(xué)思想.具體做法是:在函數(shù)圖象某個(gè)切點(diǎn)附近用切線代替曲線來(lái)近似計(jì)算.比如要求sin0.05的近似值,我們可以先構(gòu)造函數(shù)y=sinx,由于0.05與0比較接近,所以求出在x=0處的切線方程為y=x,再把x=0.05代入切線方程,故有sin0.05≈0.05,類比上述方式,則≈(

)A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025A12345678910111213141516171819204.[探究點(diǎn)三]曲線y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為(

)D解析

因?yàn)閥'=ex,所以切線的斜率k=e2,所以切線方程為y=e2x-e2,它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-e2),(1,0),所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

.12345678910111213141516171819205.[探究點(diǎn)三](多選題)已知曲線y=x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k,則當(dāng)k=3時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.(-1,1) B.(-1,-1)C.(1,1) D.(1,-1)BC解析

y'=3x2,因?yàn)閗=3,所以3x2=3,所以x=±1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-1)或(1,1).12345678910111213141516171819206.[探究點(diǎn)三]以正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l,則直線l的傾斜角的取值范圍是(

)A12345678910111213141516171819207.[探究點(diǎn)一]若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)滿足f'(1)=ln27,則f'(-1)=

.

12345678910111213141516171819208.[探究點(diǎn)一]求函數(shù)f(x)=x2+5x在x=3處的導(dǎo)數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù).12345678910111213141516171819209.[探究點(diǎn)二]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.[探究點(diǎn)二]已知f(x)=cosx,g(x)=x,求滿足f'(x)+g'(x)≤0的x的值.解

因?yàn)閒(x)=cos

x,g(x)=x,所以f'(x)=(cos

x)'=-sin

x,g'(x)=x'=1.由f'(x)+g'(x)≤0,得-sin

x+1≤0,即sin

x≥1,但sin

x∈[-1,1],所以sin

x=1,所以x=2kπ+,k∈Z.1234567891011121314151617181920B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.[2024山東日照期末]已知函數(shù)f(x)=x2-2,則

=(

)A.-12 B.-9 C.9 D.12D123456789101112131415161718192012.已知曲線f(x)=x3在點(diǎn)(2,8)處的切線方程為y=kx+b,則k-b等于(

)A.4 B.-4 C.28 D.-28C解析

∵點(diǎn)(2,8)在切線上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.123456789101112131415161718192013.

已知直線l是曲線y=ex的切線,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1,直線l與x軸和y軸分別相交于A,B兩點(diǎn),則△OAB的面積為(

)C123456789101112131415161718192014.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N+)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1·x2·…·xn的值為(

)B123456789101112131415161718192015.設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo),當(dāng)h趨于0時(shí),對(duì)于

的值,以下說(shuō)法正確的是

.(填序號(hào))

①與x0,h都有關(guān);②僅與x0有關(guān)而與h無(wú)關(guān);③僅與h有關(guān)而與x0無(wú)關(guān);④與x0,h均無(wú)關(guān).②123456789101112131415161718192016.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)f(x)=

.

①f(x1x2)=f(x1)+f(x2);②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0.lnx(答案不唯一)解析

由題意,可寫(xiě)函數(shù)f(x)=ln

x,由f(x1x2)=ln(x1x2)=ln

x1+ln

x2=f(x1)+f(x2),即滿足①;又由f(x)=ln

x的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=