充分條件與必要條件課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第一章集合與常用邏輯用語第4節(jié)充分條件與必要條件第一課時充分條件與必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解命題的概念，會判斷命題的真假；2、理解充分條件、必要條件的意義；3、會判斷充分條件和必要條件．

一般地，我們把用語言、符號或式子，表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．

判斷為真的語句叫做真命題，

判斷為假的語句叫做假命題．中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p，則q”“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論．本節(jié)主要討論這種形式的命題．下面我們將進(jìn)一步考查“若p，則q”形式的命題中p和q的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的三個常用的邏輯用語—充分條件、必要條件和充要條件．在初中，我們已經(jīng)對命題有了初步的認(rèn)識．命題:例1：下列“若p，則q

”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？

(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，

則這個平行四邊形是菱形；

(2)若兩個三角形的周長相等，

則這兩個三角形全等；

(3)若x2－4x＋3＝0，則x＝1；

(4)若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直

于直線l，則a//b．真命題假命題假命題真命題練習(xí)1：下列“若p，則q

”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？

(1)若兩個三角形全等，

則這兩個三角形相似；

(2)若x>5，則x>10．真命題假命題練習(xí)1：下列“若p，則q

”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？

(1)若兩個三角形全等，

則這兩個三角形相似；

(2)若x>5，則x>10．

在真命題(1)中，如果p成立，那么q一定成立．即：只要有p就能充分地保證q的成立．

此時，如果q不成立，則p一定不成立，所以，

q對于p成立而言是必要的．pq練習(xí)1：下列“若p，則q

”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？

(1)若兩個三角形全等，

則這兩個三角形相似；

(2)若x>5，則x>10．

在假命題(2)中，條件p

不充分，所以，q對于p成立而言是不必要的．pq2、充分條件與必要條件一般地,“若p,則q”為真命題,是指由p通過推理能推出q. 這時,我們就說,由p可以推出q,記作:

p?q

,讀作:

p推出q．并且說,p是q的充分條件,

q是p的必要條件．充分條件與必要條件會同時出現(xiàn)，但是要分清楚誰是誰的什么條件，即p是q的還是q是p的什么條件。

如果“若p,則q”為假命題,那么由條件p不能推出結(jié)論q,記作:

p?q

．此時,我們就說,p不是q的充分條件,

q不是p的必要條件.也可以說,p是q的不充分條件,

q是p的不必要條件．例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；(2)若兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似；(3)若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；解:(1)這是一條平行四邊形的判定定理,p?q,所以p是q的充分條件.(2)這是一條相似三角形的判定定理,p?q,所以p是q的充分條件.(3)這是一條菱形的性質(zhì)定理,

p?q,所以p是q的充分條件．(4)若x2=1，則x=1；(5)若a=b,則ac=bc;(6)若x,y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù).解:(4)由于(-1)2＝1,但-1≠1,p?q,所以p不是q的充分條件.(5)由等式性質(zhì)知,p?q,所以p是q的充分條件.(6)是無理數(shù),但

為有理數(shù),p?q,所以p不是q的充分條件.

舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法.思考例2中命題(1)若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形.給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？例如,我們知道,下列命題均為真命題：①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形．所以,“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.我們說p是q的充分條件,是指由條件p可以推出結(jié)論q,但這并不意味著只能由這個條件p才能推出結(jié)論q．一般來說,對給定結(jié)論q,使得q成立的條件p是不唯一的．事實(shí)上,例1中命題(1)及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理．所以，平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即這個條件能充分保證四邊形是平行四邊形．類似地,平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個充分條件,例如“內(nèi)錯角相等”這個條件就充分保證了“兩條直線平行”．深化概念

充分性：條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證結(jié)論成立的，但不是唯一的．

“有之必成立，無之未必不成立”

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．練習(xí)2：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

(1)若平面內(nèi)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA＝PB；

(2)若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；

(3)若兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積比等于周長比的平方．p是q的充分條件.p不是q的充分條件.p是q的充分條件.

例3下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（１）若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分

別相等；（２）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；（３）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；解:(1)這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理，p?q，所以，q是p的必要條件．(2)這是三角形相似的一條性質(zhì)定理，p?q，所以，q是p的必要條件．(3)如圖,四邊形ABCD的對角線互相垂直,但它不是菱形,P?q,所以q不是p的必要條件.（４）若x＝１，則x２＝１；（５）若ac＝bc，則a＝b；（６）若xy為無理數(shù)，則x，y為無理數(shù)．思考:例3中命題(1)若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等.給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“這個四邊形的兩條對角分別相等”.這樣的必要條件是唯一的嗎？如果不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個其他必要條件嗎？例如，下列命題都是真命題．①若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；②若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等．③若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩條對角線互相平分．這表明，“四邊形的兩組對邊分別相等”“這個四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件.我們知道,例3中命題(1)及上述命題①②③均為平行四邊形的性質(zhì)定理.所以,平行四邊形的每條性質(zhì)定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件.我們說q是p的必要條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q，但這并不意味著由p只能推出結(jié)論q．一般來說，給定條件p，由p可以推出的結(jié)論q是不唯一的．

類似地,平行線的每條性質(zhì)定理都給出了“兩直線平行”的一個必要條件．例如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件，也就是說，如果同位角不相等，那么就不可能有“兩直線平行”．深化概念必要性：必要就是必須的，必不可少的，

但不是唯一的．“有之未必成立，無之必不成立”

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．練習(xí)3：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？

(1)若直線l

與?O有且僅有一個交點(diǎn)，

則l

為?O的一條切線;

(2)若x是無理數(shù),則x2也是無理數(shù)．q是p的必要條件

q不是p的必要條件練習(xí)4：如圖，直線a

與b

被直線l

所截，分別得到了∠1，∠2，∠3和∠4．

請根據(jù)這些信息，寫出幾個“a//b”的充分條件和必要條件．a(chǎn)bl1234解：充分條件：∠1＝∠2，∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180o．

必要條件：∠1＝∠2，∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180o．已知P={x|x滿足條件p},Q={x|x滿足條件q}.如果p?q

,那么p是q的什么條件?q是p的什么條件?P?Q,即

或從集合的角度來理解充分條件、必要條件p是q的充分條件q是p的必要條件概念深化即:p?q,小范圍

?大范圍例下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若四邊形為菱形,則這個四邊形的對角線互相垂直；(2)若x2=1，則x=1；(3)若a=b,則ac=bc;qppq一般地,“若p,則q”為真命題且“若q,則p”為假命題,是指由p通過推理可以得出q,由q推理不出p.記作

并且說,p是q的充分不必要條件.一般地,“若p,則q”為假命題且“若q,則p”為真命題,是指由p通過推理不可以得出q,由q可以推理出p.記作

并且說,p是q的必要不充分條件.pqqppq?≠記法A={x|p(x)},B={x|q(x)}關(guān)系A(chǔ)BBA圖示

結(jié)論?≠集合法p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件充分必要充分必要1.充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系p

q