信號與系統(tǒng)習(xí)題及答案

信號與系統(tǒng)習(xí)題及答案（鄭君里版）信號與系統(tǒng)前言第一章緒論第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析第三章傅里葉變換第四章拉普拉斯變換，s

域分析第五章傅里葉變換的應(yīng)用第六章信號的矢量空間分析第七章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析第八章z變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析第九章狀態(tài)變量分析法第一章緒論§1.1信號與系統(tǒng)§1.2信號的描述和分類§1.3

信號的運(yùn)算§1.4階躍信號和沖激信號§1.5信號的分解§1.6系統(tǒng)模型及其劃分類§1.7線性時(shí)不變系統(tǒng)§1.8系統(tǒng)分析方法習(xí)題課例1-1粗略繪出下列各函數(shù)式的波形圖描繪信號波形是本課程的一項(xiàng)基本訓(xùn)練，在繪圖時(shí)應(yīng)注意信號的基本特征，對所繪出的波形，應(yīng)標(biāo)出信號的初值、終值及一些關(guān)鍵的值，如極大值和極小值等，同時(shí)應(yīng)注意階躍、沖激信號的特點(diǎn)。從而求得波形圖為此題應(yīng)注意沖激信號的性質(zhì)波形如下圖例1-2求下列函數(shù)值本例目的在于熟悉并正確應(yīng)用沖激函數(shù)的性質(zhì)。方法一：方法二：方法二沒有注意利用沖激函數(shù)的性質(zhì)，求解過程較繁。另外，對沖激偶信號的性質(zhì)往往被錯誤寫成從而得出錯誤結(jié)論?！?.1引言§2.2微分方程式的建立與求解§2.3起始點(diǎn)的跳變§2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)§2.5沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)§2.6卷積§2.7卷積的性質(zhì)習(xí)題課第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析例2-1分別利用求零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)，需先確定微分方程的特解。這三個(gè)量之間的關(guān)系是分析在求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)時(shí)，要用到有關(guān)的三個(gè)量是：：起始狀態(tài)，它決定零輸入響應(yīng)；：跳變量，它決定零狀態(tài)響應(yīng)；：初始條件，它決定完全響應(yīng)；解：方法二：用方法一求零輸入響應(yīng)后，利用跳變量來求零狀態(tài)響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)加上零輸入響應(yīng)等于完全響應(yīng)。方法一：利用響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)等于完全響應(yīng)減去零輸入響應(yīng)。

先來求完全響應(yīng)，再求零輸入本題也可以用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。方法一該完全響應(yīng)是方程（1）方程（1）的特征方程為特征根為完全響應(yīng)方程（1）的齊次解為因?yàn)榉匠蹋?）在t>0時(shí)，可寫為顯然，方程（1）的特解可設(shè)為常數(shù)D，把D代入方程（2）求得所以方程（1）的解為下面由沖激函數(shù)匹配法定初始條件。（2）由沖激函數(shù)匹配法定初始條件據(jù)方程（1）可設(shè)代入方程（1），得匹配方程兩端的，及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，得所以，所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)為2.求零輸入響應(yīng)（3）（3）式的特征根為方程（3）的齊次解即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為所以，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為下面求零狀態(tài)響應(yīng)。3.求零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)=完全響應(yīng)—零輸入響應(yīng)，即因?yàn)樘亟鉃?，所以強(qiáng)迫響應(yīng)是3，自由響應(yīng)是方法二（5）以上分析可用下面的數(shù)學(xué)過程描述代入（5）式根據(jù)在t=0時(shí)刻，微分方程兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等，得于是t>0時(shí)，方程為齊次解為，特解為3，于是有所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為方法一求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為完全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)，即例2-2沖激響應(yīng)是系統(tǒng)對單位沖激信號激勵時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。在系統(tǒng)分析中，它起著重要的作用。下面我們用兩種方法來求解本例。方法一：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法方法二：齊次解法方法一：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法首先求方程的特征根，得因?yàn)槲⒎址匠套筮叺奈⒎蛛A次高于右邊的微分階次，沖激響應(yīng)為對上式求導(dǎo)，得(1)

則得解得代入（1）得方法二：齊次解法初始條件得解得即

其中C0是微分方程中項(xiàng)前面的系數(shù)，因而給計(jì)算帶來了方便。說明：齊次解法相對于奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法和沖激函數(shù)匹配法的優(yōu)點(diǎn)是在求時(shí)，只可能n>m,無需考慮其他情況；由于n個(gè)初始條件是固定不變的，即X例2-3方法一：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法方法二：沖激函數(shù)匹配法(1)方法一：奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法由于微分方程的右端比左端還高一階，故沖激響應(yīng)設(shè)成將（2）式代入（1）式，得解得沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)（2）方法二：沖激函數(shù)匹配法微分方程的齊次解為下面用沖激函數(shù)匹配法求初始條件，設(shè)上述兩等式代入方程（1），經(jīng)整理得(3)(1)根據(jù)在t=0時(shí)刻，微分方程兩端的沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等，解得于是（3）式，，考慮n=1,m=2,n<m,

故沖激響應(yīng)為說明：兩種方法求得的結(jié)果一致。一般說來，第二種方法比第一種方法簡單，特別是對高階方程。X例2-4已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的一對激勵和響應(yīng)波形如下圖所示，求該系統(tǒng)對激勵的零狀態(tài)響應(yīng)。對激勵和響應(yīng)分別微分一次，得此題如果直接利用卷積微分與積分性質(zhì)計(jì)算，則將得出錯誤的結(jié)果。例2-5顯然，所有的時(shí)限信號都滿足上式。對于時(shí)限信號，可以放心地利用卷積的微分與積分性質(zhì)進(jìn)行卷積計(jì)算。從原理上看，如果則應(yīng)有很容易證明，上式成立的充要條件是此題若將f1(t)看成兩個(gè)信號的疊加，則也可以利用該性質(zhì)計(jì)算：

X例2-6對圖(a)所示的復(fù)合系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖(b)所示。(1)求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，畫出它的波形；(2)用積分器、加法器和延時(shí)器構(gòu)成子系統(tǒng)的框圖;分析本例的總系統(tǒng)是幾個(gè)子系統(tǒng)串、并聯(lián)組合而成的。對因果系統(tǒng)而言，串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各串聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)卷積；并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各并聯(lián)子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)相加。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，可以用系統(tǒng)的微分方程求解，也可以用系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與激勵信號的卷積求解。后一種方法回避了起始點(diǎn)跳變問題，但是，這種方法只限于求零狀態(tài)響應(yīng)，不能求完全響應(yīng)。其原因在于卷積運(yùn)算是一種線性運(yùn)算，它滿足疊加性、齊次性與時(shí)不變性。而當(dāng)系統(tǒng)的起始狀態(tài)不為零時(shí)，系統(tǒng)的完全響應(yīng)不滿足疊加性、齊次性與時(shí)不變性。（1）求h(t)其波形如圖(c)(2)由于框圖如圖(d)所示§3.1引言§3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)§3.4傅里葉變換§3.5典型非周期信號的傅里葉變換§3.6

沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)§3.8

卷積特性（卷積定理）§3.9周期信號的傅里葉變換§3.10抽樣信號的傅里葉變換§3.11抽樣定理習(xí)題課第三章傅里葉變換例3-1周期信號畫出單邊幅度譜和相位譜；畫出雙邊幅度譜和相位譜。單邊幅度譜和相位譜雙邊幅度譜和相位譜例3-2分析：f(t)不滿足絕對可積條件，所以無法用定義求其傅里葉變換，只能利用已知典型信號的傅里葉變換和性質(zhì)求解。下面用三種方法求解此題。方法一：利用傅里葉變換的微分性質(zhì)方法二：利用傅里葉變換的積分性質(zhì)方法三：線性性質(zhì)方法一：利用傅里葉變換的微分性質(zhì)要注意直流，設(shè)fA(t)為交流分量，fD(t)為直流分量，則其中方法二：利用傅里葉變換的積分性質(zhì)

方法三：利用線性性質(zhì)進(jìn)行分解此信號也可以利用線性性質(zhì)進(jìn)行分解，例如

例3-3已知信號f(t)波形如下，其頻譜密度為F(jω)，不必求出F(jω)的表達(dá)式，試計(jì)算下列值：

令t=0，則則例3-4.按反褶－尺度－時(shí)移次序求解方法一：方法二：按反褶－時(shí)移－尺度次序求解利用傅里葉變換的性質(zhì)其它方法自己練習(xí)。方法三例3-5解：升余弦脈沖的頻譜比較例3-6.已知雙Sa信號試求其頻譜。令已知由時(shí)移特性得到

從中可以得到幅度譜為雙Sa信號的波形和頻譜如圖（d）

（e）所示。例3-7(a)(b)求圖(a)所示函數(shù)的傅里葉變換。又因?yàn)榈糜蓪ΨQ關(guān)系求頻譜圖由對稱關(guān)系求(b)且由圖(b)可得所以由對稱性，已知X

(c)(d)幅頻、相頻特性幅頻、相頻特性分別如圖(c)(d)所示。幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜分析：該信號是一個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)，我們既可以把該信號看成是周期信號例3-8已知信號求該信號的傅里葉變換。經(jīng)過門函數(shù)的截取，被信號調(diào)制所得的信號。也可以看成是有以下三種解法:

方法一：利用頻移性質(zhì)方法二：利用頻域卷積定理方法三：利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性方法一：利用頻移性質(zhì)利用頻移性質(zhì)：由于利用歐拉公式，將化為虛指數(shù)信號，就可以看成是門函數(shù)被虛指數(shù)信號調(diào)制的結(jié)果。在頻域上，就相當(dāng)于對的頻譜進(jìn)行平移。

又因所以根據(jù)頻移性質(zhì)，可得方法二：用頻域卷積定理將看成是信號經(jīng)過窗函數(shù)的截取，即時(shí)域中兩信號相乘根據(jù)頻域卷積定理有方法三：利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性信號f(t)是余弦函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)，而余弦函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)又是余弦函數(shù)。利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性可以列方程求解。由圖可知對上式兩端取傅里葉變換，可得即例3-9(1)要求出信號的頻寬，首先應(yīng)求出信號的傅里葉變換F(ω)。已知所以信號的頻帶寬度為f(t)的波形和頻譜圖如下利用傅里葉變換的對稱性即（2）最高抽樣頻率（奈奎斯特頻率）為奈奎斯特間隔（即最大允許抽樣間隔）為例3-10分析：求信號的傅里葉變換一般有兩種解法。

方法一：將信號轉(zhuǎn)化為單周期信號與單位沖激串 的卷積，用時(shí)域卷積定理來求解；

方法二：利用周期信號的傅里葉級數(shù)求解。已知周期信號f(t)的波形如下圖所示，求f(t)的傅里葉變換F(ω)。截取f(t)在的信號構(gòu)成單周期信號f1(t)，即有方法一將信號轉(zhuǎn)化為單周期信號與單位沖激串的卷積。則易知f(t)的周期為2，則有由時(shí)域卷積定理可得方法二：利用周期信號的傅里葉級數(shù)求解f(t)的傅里葉級數(shù)為所以第四章拉普拉斯變換、s域分析§4.1

引言§4.2

拉普拉斯變換的定義、收斂域§4.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)§4.4拉普拉斯逆變換§4.5用拉普拉斯變換法分析電路、s

域元件模型§4.6系統(tǒng)函數(shù)（網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）H(s)§4.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性§4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻響特性§4.9

全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布§4.10

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性§4.11

雙邊拉氏變換§4.12

拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系習(xí)題課例4-1求下列函數(shù)的拉氏變換

拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為了區(qū)別起見,本書以表示單邊拉氏變換,以表示雙邊拉氏變換。若文字中未作說明,則指單邊拉氏變換。單邊拉氏變換只研究的時(shí)間函數(shù),因此,它和傅里葉變換之間有一些差異,例如在時(shí)移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只討論時(shí)移定理。請注意本例各函數(shù)間的差異和時(shí)移定理的正確應(yīng)用。例4-24-2（a）求三角脈沖函數(shù)如圖4-2（a）所示的象函數(shù)和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時(shí)，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)，這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方法求解。方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解方法四：利用卷積性質(zhì)求解方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解

于是由于方法三：利用微分性質(zhì)求解信號的波形僅由直線組成，信號導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號，這時(shí)利用微分性質(zhì)比較簡單。將微分兩次，所得波形如圖4-2（b）所示。圖4-2（b）顯然根據(jù)微分性質(zhì)由圖4-2（b）可以看出于是方法四：利用卷積性質(zhì)求解

可看作是圖4-2(c）所示的矩形脈沖自身的卷積所以于是，根據(jù)卷積性質(zhì)而圖4-2（c）例4-3應(yīng)用微分性質(zhì)求圖4-3（a）中的象函數(shù)圖4-3（a）的導(dǎo)數(shù)的波形。下面說明應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)注意的問題，圖4-3（b）是（1）對于單邊拉氏變換,故二者的象函數(shù)相同，即這是應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)特別注意的問題。因而XX由圖4-3（b）知例4-4某線性時(shí)不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵信號作用于系統(tǒng)。為圖中所示的矩形脈沖時(shí)，求此時(shí)系統(tǒng)的輸出則階躍響應(yīng)X例4-5電路如圖4-5（a）所示（1）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，使系統(tǒng)的零輸（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)入響應(yīng)等于沖激響應(yīng)。（1）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。利用s域模型圖4-5（b）可直寫出圖4-5（a）電路的系統(tǒng)函數(shù)沖激響應(yīng)（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)為求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，應(yīng)寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的s域模型。下面我們用s域模型求解。圖4-5(a)電路的s域模型如圖4-5(b)。由圖4-5(b)可以寫出上式中第二項(xiàng)只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項(xiàng)是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。依題意的要求，該項(xiàng)應(yīng)和相等，從而得故系統(tǒng)的起始狀態(tài)通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應(yīng)滿足某些特定要求。本質(zhì)上，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，使暫態(tài)響應(yīng)滿足某些特定要求，例如，本例要求暫態(tài)響應(yīng)為零。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)從而求得系統(tǒng)的起始狀態(tài)第五章傅里葉變換的應(yīng)用§5.1引言§5.2利用系統(tǒng)函數(shù)H(jω)求響應(yīng)§5.3無失真?zhèn)鬏敗?.4理想低通濾波器§5.5系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性、佩利-維納準(zhǔn)則§5.6利用希爾伯特變換研究系統(tǒng)函數(shù)的約束特性§5.7調(diào)制與解調(diào)§5.8帶通濾波系統(tǒng)的運(yùn)用§5.9從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時(shí)間信號§5.10脈沖編碼調(diào)制(PCM)§5.11頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用習(xí)題課例5-1題圖（a）是理想高通濾波器的幅頻特性和相頻特性，求此理想高通濾波器的沖激響應(yīng)。因?yàn)樗岳?-2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示，這是一種零階保持器，它廣泛應(yīng)用在采樣控制系統(tǒng)中。(1)求出該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)。(2)若輸入,求輸出y(t)。

例5-3，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，輸入信號x(t)為（1）方法1方法2方法2即幅度加權(quán),相移作為輸入的輸出為（2）同理sint

作為輸入的輸出為例5-4試?yán)昧硪环N方法證明因果系統(tǒng)的被希爾伯特變換相互約束。(2)由傅氏變換的奇偶虛實(shí)關(guān)系已知利用上述關(guān)系證明之間滿足希爾伯特變換關(guān)系。證明（1）根據(jù)定義所以(2)（2）根據(jù)頻域卷積定理 例5-5圖（a）所示為幅度調(diào)制系統(tǒng)，輸入信號e(t)為限帶實(shí)信號，帶寬為fm；s(t)為周期性沖激序列，如圖（b

）所示；H(jω)為理想低通濾波器，帶寬為3fm如圖（c

）所示，求系統(tǒng)的輸出r(t)。Xe(t)與s(t)相乘相當(dāng)于以奈奎斯特抽樣率對e(t)進(jìn)行理想抽樣，所以乘法器輸出可表示為其對應(yīng)的傅里葉變換為解：因?yàn)槌闃訚M足奈奎斯特抽樣率，因而e(t)被抽樣后，ys(t)信號對應(yīng)的頻譜不會重疊。如圖（d

）所示。抽樣信號與原信號在加法器中進(jìn)行減法運(yùn)算，因而加法器輸出信號的傅里葉變換為頻譜Y(jω)如圖（e）所示這樣總的輸出信號的傅立葉變換為頻譜R(jω)如圖（f）所示因此系統(tǒng)的輸出為這是一個(gè)抑制載波的調(diào)幅系統(tǒng)§6.1引言§6.2信號矢量空間的基本概念§6.3信號的正交函數(shù)分解§6.4完備正交函數(shù)集、帕塞瓦爾定理§6.5相關(guān)§6.6能量譜和功率譜§6.7信號通過線性系統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)、能量譜和功率譜分析§6.8匹配濾波器§6.9碼分復(fù)用、碼分多址(CDMA)通信習(xí)題課第六章信號的矢量空間分析例6-1用正弦波逼近三角函數(shù)例6-2

三種情況的波形如圖（a）（b）（c）所示例6-3試確定下列信號的功率，并畫出它們的功率譜

總功率為

方法二功率譜（功率密度）為：總功率為：例6-4試求響應(yīng)的能量譜密度，以圖形示出。其能量譜密度響應(yīng)信號的能量譜密度為：例6-5若匹配濾波器輸入信號為，沖激響應(yīng)為（1）給出描述輸出信號的表達(dá)式；時(shí)刻的輸出（3）由以上結(jié)果證明，可利用題圖(a)的框圖來實(shí)現(xiàn)匹配濾波器之功能。，求：（2）求在開關(guān)前：經(jīng)開關(guān)后，時(shí)有輸出等式右邊是定積分，結(jié)果與變量無關(guān)。（3）由題圖(a）可知：第七章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析§7.1引言§7.2離散時(shí)間信號——序列§7.3離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——差分方程§7.4常系數(shù)線性差分方程的求解§7.5離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值(單位沖激)響應(yīng)§7.6卷積（卷積和）§7.7解卷積（反卷積）習(xí)題課例7-1已知序列如圖（a）所示，試求序列，并作圖。本例是關(guān)于離散信號運(yùn)算的例題，離散信號的移位、反褶、標(biāo)度運(yùn)算與連續(xù)信號的運(yùn)算相同。但需注意，序列的尺度倍乘將波形壓縮或擴(kuò)展，這時(shí)要按規(guī)律去除某些點(diǎn)或補(bǔ)足相應(yīng)的零值。如圖（b）所示。把改寫為第一步設(shè)則如圖（c）所示第二步設(shè)則如圖（d）所示。第三步將右移2位即得例7-2序列。若是周期序列試確定其基波周期N。判斷下列離散信號是周期序列還是非周期X的序列，所以它的基波周期是這三個(gè)周期序列周期的最小公倍數(shù)。是三個(gè)周期序列代數(shù)和組成X例7-3已知描述某系統(tǒng)的差分方程為且設(shè)激勵求響應(yīng)序列用三種方法求解此題方法一：經(jīng)典法方法二：雙零法方法三：用離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)方法一：經(jīng)典法（1）

求齊次解特征方程為故特征根為則齊次解為（2）求特解由題知激勵是指數(shù)序列形式，可設(shè)特解為將其代入差分方程得（3）求全解由原差分方程得即初始值：代入全解有解得所以系統(tǒng)的全解為（1）求零輸入響應(yīng)在零輸入情況下，響應(yīng)滿足齊次方程，解的形式為而齊次方程的特征根，則這一點(diǎn)一定要注意。如果已知系統(tǒng)的初始值,欲求零輸入響應(yīng)，還必須經(jīng)過迭代求出初始狀態(tài)。方法二：求零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)由題知代入得解得，則（2）

零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是滿足非齊次方程，且初始狀態(tài)全部為零的解，即滿足因此仍然可用經(jīng)典法求得所以系統(tǒng)的全解為零輸入響應(yīng)可由方法二的經(jīng)典法求得，下面用卷積求零狀態(tài)求響應(yīng)。（1）

求該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)根據(jù)的定義，題中方程可寫作其特征方程為故特征根為單位樣值響應(yīng)方法三：用離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)利用邊界條件解得則，單位樣值響應(yīng)利用等比級數(shù)求和公式，得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（2）離散卷積求零狀態(tài)響應(yīng)例7-4如圖（a）所示一線性離散系統(tǒng)，試求該系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)則單位樣值響應(yīng)滿足方程由系統(tǒng)圖可寫出該系統(tǒng)的差分方程上式的右邊是單位樣值信號的加權(quán)與移位，故先令滿足方程利用一組邊界條件其特征根為，則解得，則由此可知，故系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)還可寫為即根據(jù)系統(tǒng)的線性與移位特性，得例7-5已知離散信號求卷積，求離散信號的卷積有多種方法，本例只介紹其中的幾種方法一：利用單位樣值信號求卷積方法二：借助圖解，分區(qū)間求卷積方法三：利用對位相乘法求卷積方法一：利用單位樣值信號求卷積任何一個(gè)離散信號可以用單位樣值信號表示為對于本例利用單位樣值信號的卷積性質(zhì)X結(jié)果如圖（a）所示。這種方法雖然計(jì)算比較簡單，但表達(dá)式較長，因而只適應(yīng)于較短的時(shí)限序列。另外，用這種方法求得的卷積結(jié)果有時(shí)不容易寫出其函數(shù)表達(dá)式的閉式形式。說明首先將反褶，然后確定非零值區(qū)間的橫坐標(biāo)，其下限為，上限為，如圖（b）所示。根據(jù)卷積的定義式X方法二：借助圖解，分區(qū)間求卷積再將平移，并分區(qū)間求出卷積結(jié)果。X結(jié)果與方法一相同。則X方法三：利用對位相乘法求卷積此方法適應(yīng)于時(shí)限序列。所以第八章z變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析§8.1引言§8.2z變換的定義、典型序列的z變換§8.3

z變換的收斂域§8.4

逆z變換§8.5

z變換的基本性質(zhì)§8.6z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系§8.7用z變換解差分方程§8.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)§8.9序列的傅里葉變換(DTFT)§8.10離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性習(xí)題課例8-1利用性質(zhì)求序列的z變換方法一：利用典型序列的z變換及線性性質(zhì)求解若則X方法二：利用z變換時(shí)移性質(zhì)直接求解X方法三把原序列如下表示所以例8-2，求其逆變換。方法一：因?yàn)閄(z)不是真分式，首先把X(z)寫成多項(xiàng)式與真分式兩相之和的形式，即其中所以X則觀察X(z)的分子多項(xiàng)式的根，其中含有一個(gè)零點(diǎn)為z=0，式中方法二兩種方法求逆z變換，其結(jié)果完全一致。X所以原序列為則例8-3描述某離散系統(tǒng)的差分方程為且設(shè)激勵;求響應(yīng)序列并指出零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)。對差分方程取單邊z變換

（1）式中只與激勵有關(guān)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)的變換式；僅僅與起始狀態(tài)有關(guān)，稱為零輸入響應(yīng)的變換式(1)式表明需要條件而已知條件是為此可用迭代法把代入原方程，即X解得則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（a）求零狀態(tài)響應(yīng)由整理得求得系數(shù)故得X則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)（b）求零輸入響應(yīng)用部分分式展開法，得（c）求全響應(yīng)X例8-4離散系統(tǒng)如圖（a）所示，（1）

列寫系統(tǒng)差分方程的表示式；（2）

求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；（3）

畫H(z)的零、極點(diǎn)分布圖并指出收斂域；（4）

求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)；（5）

求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。