2020-2021學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析版

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat20頁共NUMPAGES\*MergeFormat20頁2020-2021學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量滿足，則（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可得出答案.【詳解】選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)，即可求出結(jié)論.【詳解】，，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3．如果一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是如圖所示的直角梯形，其中，,.則原平面圖形的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出原平面圖形，然后求出面積即可．【詳解】，則是等腰直角三角形，∴，又，，∴，在直角坐標(biāo)系中作出原圖形為：梯形，，，高，∴其面積為．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查斜二測法畫平面圖形直觀圖，求原圖形的面積，可能通過還原出原平面圖形求得面積，也可以通過直觀圖到原圖形面積的關(guān)系求解：直觀圖面積為，原圖形面積為，則．4．在一次分層隨機(jī)抽樣中，可分兩層進(jìn)行抽樣，通過計(jì)算，已知第一層抽取m個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為a，第二層抽取n個(gè)數(shù)其平均數(shù)為b，則抽取的總樣本的平均數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式直接求解即可.【詳解】由平均數(shù)的計(jì)算公式得，故選：D.5．在空間中，已知，，為不同的直線，，，為不同的平面，則下列判斷正確的是（）A．若，，則 B．若且，則C．若，，，，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，判斷選項(xiàng)；平面與平面垂直的判定定理，判斷選項(xiàng)；線面垂直的判定定理，判斷選項(xiàng)；面面平行的判定定理，判斷選項(xiàng).【詳解】若，，則或，故錯(cuò)誤；若且，則，故正確；若，，，，則與相交或，故錯(cuò)誤；若，，則不一定平行，故錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6．我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，若棱錐的體積為，圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的母線長為（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為,則母線長為,高為,由同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,可知棱錐與圓錐的體積相等,進(jìn)而求解.【詳解】由題,設(shè)圓錐的底面半徑為,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半圓,則母線長為,高為,因?yàn)楝F(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,所以棱錐與圓錐的體積相等,所以,解得,所以母線長為,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用,考查理解分析能力.7．在正三棱柱中，，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E為上的點(diǎn)，且滿足，當(dāng)二面角的正切值為時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】以D原點(diǎn)，DA，DB，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值即可算出.【詳解】如圖，以D原點(diǎn)，DA，DB，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由得，，即，所以，，設(shè)面的法向量為：，則取，取面的法向量為：，設(shè)二面角為，由得，，則，所以，故選：C.8．在平面四邊形中，，若面積依次為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用面積公式表示出，利用余弦定理求出關(guān)系，即可求出最值.【詳解】由題可知，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，，即，則，則當(dāng)，取得最大值為.故選：A.二、多選題9．復(fù)數(shù)z滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 B．C． D．【答案】BD【分析】由已知求出根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A，求z的?？膳袛郆，求共軛復(fù)數(shù)可判斷C，求出的值可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，對于A，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故錯(cuò)誤；對于B，，正確；對于C，，錯(cuò)誤；對于D，，正確.故選：BD.10．去年5月25日工信部部長在“兩會(huì)部長通道”表示，中國每周大概增加1萬多個(gè)5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵動(dòng)力，圖是某機(jī)構(gòu)對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預(yù)測圖，閱讀圖，關(guān)于下列說法，其中正確的是（）A．2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率最高B．2025年我國5G用戶數(shù)規(guī)模最大C．從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降D．這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)大于前5年的平均數(shù)【答案】ACD【分析】由圖表中所給數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一分析判斷即得結(jié)果.【詳解】由圖表可得，年5G用戶規(guī)模年增長率最高，故A正確；年我國5G用戶數(shù)規(guī)模（萬人），年用戶規(guī)模為（萬人），規(guī)模最大，故B錯(cuò)誤；年5G用戶規(guī)模年增長戶數(shù)最多為（萬人），故B錯(cuò)；由圖表可知，從年開始，年與年5G用戶規(guī)模年增長率增加，從年開始到年5G用戶規(guī)模年增長率逐年遞減，故C正確；由圖可以看出，這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)明顯大于前5年的平均數(shù)，故D正確.故選：ACD.11．的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則有兩解C．若，則為鈍角三角形D．若，則面積的最大值為【答案】ABC【分析】根據(jù)三角形大邊對大角和正弦定理，可判定A選項(xiàng)；由正弦定理求出，可判定B選項(xiàng)；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，判定C選項(xiàng)；余弦定理結(jié)合基本不等式求出最大值，即可判定D選項(xiàng).【詳解】由得，設(shè)外接圓半徑為，，所以，選項(xiàng)A正確；，根據(jù)正弦定理得，，所以角有兩解，選項(xiàng)B正確；，所以為銳角，在單調(diào)遞增，若為鈍角，即可，為鈍角三角形，若為直角，不合題意，若為銳角，，為鈍角三角形，選項(xiàng)C正確；由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.12．平面過棱長為1的正方體的頂點(diǎn)A，且平面平面，平面，則下列正確的是（）A．直線m與所成的角為 B．直線n與垂直C．平面到平面的距離為 D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意證明，，得出、所成角的大小與、所成角的大小相等，為；判斷選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由題意求出平面到平面的距離，判斷選項(xiàng)C正確；由題意知直線與平面所成的角，是與平面所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系求出所成角的正弦值，判斷選項(xiàng)D正確．【詳解】解：如圖1所示，因?yàn)槠矫嫫矫?，設(shè)平面平面，由平面，所以；又因?yàn)槠矫嫫矫?，由平面平面，所以，所以；同理可得，所以、所成角的大小與、所成角的大小相等，即為的大??；因?yàn)椋?，所以，所以選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由平面過棱長為1的正方體的頂點(diǎn)，且平面，所以平面到平面的距離為，選項(xiàng)C正確；由題意知，直線與平面所成的角，即為與平面所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示：，0，，，，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，，所以，，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．三、填空題13．向量，，則___________.【答案】【分析】求出的坐標(biāo)，利用向量的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故答案為：.14．某年級120名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率直方圖，如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70百分位數(shù)約為________秒．【答案】16.5【分析】設(shè)成績的70百分位數(shù)為x，再估計(jì)成績的70百分位數(shù)的區(qū)間通過計(jì)算即可.【詳解】設(shè)成績的70百分位數(shù)為x，因?yàn)?，，所以x[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.故答案為：16.5.15．某中學(xué)校園內(nèi)的香樟樹已有較長的歷史.如圖，小明為了測量香樟樹高度，他在正西方向選取與香樟樹根部C在同一水平面的A，B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)測得香樟樹根部C在西偏北的方向上，步行40米到B處，測得樹根部C在西偏北的方向上，樹梢D的仰角為，則香樟樹的高度為__________米.【答案】【分析】根據(jù)圖象可得，中，，，運(yùn)用正弦定理可得，通過在中求解三角形的邊長即可．【詳解】中，，，運(yùn)用正弦定理可得，，解得，在中，，．故答案為：．16．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為_______.【答案】【分析】求出截角四面體上下底面距離，再由勾股定理列等式求得半徑，代入球的表面積公求解即可【詳解】解：因?yàn)槔忾L為的正四面體的高為，所以截角四面體上下底面距離為，序曲其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，則垂直于平面與平面，則,所以，解得，所以該截角四面體的外接球的表面積為,故答案為：四、解答題17．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中（1）若，且與方向相反，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角θ.【答案】（1）；（2）θ＝π.【分析】(1)由平面向量共線的坐標(biāo)表示，即可得出結(jié)果.(2)由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，由和可得或因?yàn)榕c方向相反，所以．（2）因?yàn)?，所以即，所以，又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝π.18．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，，，為垂足.（1）若的面積為，求的長；（2）若，求角的大小.【答案】（1）（2）【詳解】分析：第一問利用三角形的面積公式，求出，再用余弦定理求；第二問先求，在中，由正弦定理可得，結(jié)合，即可得結(jié)論.詳解：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝．在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋2－2×2××＝．∴CD＝．(2)∵CD＝AD＝，在△BCD中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，解得cosA＝，所以A＝．點(diǎn)睛：該題考查的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式，在解題的過程中，只要對正余弦定理的內(nèi)容以及三角形的面積公式能夠熟記，就能求得結(jié)果.19．如圖，已知平面，平面平面.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先證得平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可證出；（2）先作出輔助線，并證得為二面角的平面角，然后求出相關(guān)線段的長度，進(jìn)而在解三角形即可.【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作，垂足為E∵平面平面，平面平面∴平面，又∵平面∴又∵平面平面∴又∵∴平面∴（2）解：由（1）中可得，平面，過A作，垂足為F，連接∴，，則平面，∴則為二面角的平面角，設(shè)為，平面∴，由（1）可得平面，則在中：，得在中：，得；在中，得，在中，，則∴二面角的余弦值為20．某班同學(xué)利用勞動(dòng)節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組120第二組195第三組100第四組第五組30第六組15（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；（2）從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中每組各選多少人？【答案】（1）圖形見解析，1000；0.65；a=60；（2）歲中有4人，歲中有2人.【分析】（1）根據(jù)頻率分步直方圖的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，求出頻率，除以組距得到高，畫出頻率分步直方圖的剩余部分，根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系，做出n、a、p的值．（2）根據(jù)分層抽樣方法求出兩個(gè)部分的人數(shù)即可．【詳解】（1）第二組的頻率為，所以高為頻率分布直方圖如下：第一組的人數(shù)為，頻率為，所以．由題可知，第二組的頻率為，所以第二組的人數(shù)為，所以．第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．（2）因?yàn)闅q年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比值為2：1，所以采用分層抽樣法抽取6人，歲中有4人，歲中有2人．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵的點(diǎn)睛：正確理解并運(yùn)用頻率分布直方圖解題是解題關(guān)鍵.21．如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，點(diǎn)E在線段PA上，平面BDE．求證：；若是等邊三角形，，平面平面ABCD，四棱錐的體積為，求點(diǎn)E到平面PCD的距離．【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)M，連結(jié)ME則M是AC中點(diǎn)，由PC∥平面BDE，得PC∥ME，由此能證明AE=PE．（2）以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABCD中，過點(diǎn)O作AB的平行線為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出E到平面PCD的距離．【詳解】連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)M，連結(jié)ME，底面ABCD為矩形，是AC中點(diǎn)，平面BDE，，在中，ME為的中位線，又M為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)．是等邊三角形，，平面平面ABCD，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x