5-1-1平面向量題型戰(zhàn)法-備戰(zhàn)2023年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準訓(xùn)練新高考專用解析

第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.1.1平面向量（題型戰(zhàn)法）知識梳理一向量的線性運算及性質(zhì)1.向量的加法：向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：2.向量的減法：a-b可以表示為從b的終點指向3.向量的數(shù)乘：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作λa，4.向量共線定理：點共線的充要條件是OP=λOA+μOB5.平面向量的基底：基底e16.平面向量的坐標運算及性質(zhì)：若a=(（1）a+（2）a-（3）λa=(λx（4）a?（5）a=x1（6）a//（7）a⊥二平面向量的數(shù)量積數(shù)量積：a?向量的夾角：=cos<a3.向量的投影：acosθ=a?題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一平面向量的實際背景及基本概念典例1．下列說法正確的是（

）A．向量與向量是相等向量B．與實數(shù)類似，對于兩個向量，有，，a<b三種關(guān)系C．兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行D．若兩個非零向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的基本概念辨析可知.【詳解】解：對于A，向量與向量是相反向量，所以A錯誤；對于B，因為向量是有方向和大小的量，所以兩個向量不能比較大小，所以B錯誤；對于C，當(dāng)兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線平行或共線，所以C錯誤；對于D，由共線向量的定義可知，當(dāng)兩個向量是共線向量時，有向量所在的直線可以平行，也可以重合，所以D正確.故選：D變式1-1．下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．長度等于1個單位長度的向量叫作單位向量C．相等向量的起點必定相同 D．若，b=3，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行向量的定義，當(dāng)時，即可判斷A；根據(jù)單位向量的定義即可判斷B；根據(jù)相等向量的定義即可判斷C；根據(jù)向量的定義即可判斷D.【詳解】解：當(dāng)時，與不一定平行，A錯誤；長度等于1個單位長度的向量叫作單位向量，B正確；相等向量的起點不一定相同，C錯誤；向量不能比較大小，D錯誤．故選：B.變式1-2．下列說法正確的是（

）A．若a=bB．零向量的長度是0C．長度相等的向量叫相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】A：a=b僅表示與的大小相等，但是方向不確定，故未必成立，所以A錯誤；B：根據(jù)零向量的定義可判斷B正確；C：長度相等的向量方向不一定相同，故C錯誤；D：共線向量不一定在同一條直線上，也可平行，故D錯誤.故選：B.變式1-3．下列命題中正確的有（

）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B．若和是都是單位向量，則C．若，則與的夾角為0°D．零向量與任何向量共線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的概念依次判斷即可得出.【詳解】對A，兩個向量相等，則它們的大小和方向相同，與位置無關(guān)，故A錯誤；對B，若和是都是單位向量，則，方向不一定相同，故B錯誤；對C，若，則與的夾角為或，故C錯誤；對D，根據(jù)共線向量的定義規(guī)定，零向量與任何向量共線，故D正確.故選：D.變式1-4．判斷下列各命題的真假：①向量和平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的基本概念，向量共線的定義，以及相等向量的概念，逐項判定，即可求解.【詳解】對于①中，只有兩個非零向量和平行，才可得向量與的方向相同或相反，所以錯誤；對于②中，根據(jù)相等向量的定義，可得兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，所以正確；對于③中，若兩個向量的起點不同，即使終點相同，兩個向量不是共線向量，所以錯誤；對于④中，向量可以用有向線段表示，但有向線段不是向量，所以錯誤.故選：B.題型戰(zhàn)法二平面向量的線性運算典例2．如圖所示，點E為的邊AC中點，F(xiàn)為線段BE上靠近點B的四等分點，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合圖像將用表示，即可得出答案.【詳解】解：.故選：C.變式2-1．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以.故選：C.變式2-2．如圖，中，，，點E是的三等分點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則進行運算即可.【詳解】故選：B.變式2-3．在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為，，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】過點作的平行線交于，即可得到則，再根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：如圖過點作的平行線交于，則是的中點，且，又，所以，即，又故選：B．變式2-4．如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)在線段BE上，且．記，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題，，，結(jié)合向量加法法則即可求得【詳解】，故選：D題型戰(zhàn)法三平面向量的坐標運算典例3．設(shè)，，，則等于（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出的坐標，然后根據(jù)向量數(shù)量積坐標運算公式求解即可【詳解】因為，，所以，因為，所以，故選：C變式3-1．平行四邊形三個頂點坐標分別為，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由求解即可.【詳解】設(shè)，由平行四邊形可得，即，解得，故.故選：D.變式3-2．已知向量，則a-b（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D變式3-3．已知向量a=1,1，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出向量的坐標，利用平面向量共線的坐標表示可得出關(guān)于的等式，求解即可.【詳解】由已知，因為，則，解得.故選：D.變式3-4．，，若，則(

)A． B． C．6 D．8【答案】D【解析】【分析】求出的坐標，根據(jù)可知，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標表示即可求出x的值．【詳解】，．故選：D．題型戰(zhàn)法四平面向量的數(shù)量積（模長問題）典例4．已知與均為單位向量，且與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】解：因為與均為單位向量，且與的夾角為，所以.故選：D.變式4-1．已知，，與的夾角為，那么（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積進行求解即可.【詳解】.故選：D.變式4-2．已知a，b滿足，則（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；【詳解】解：故選：B變式4-3．已知向量滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】將平方結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】解：因為，所以，解得.故選：A.變式4-4．已知、滿足：，，，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)計算出，再根據(jù)即可得結(jié)果.【詳解】，，，∴，所以.故選：C.題型戰(zhàn)法五平面向量的數(shù)量積（夾角問題）典例5．已知，，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由向量的夾角公式直接求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，因為，，，所以，因為，所以，即與的夾角是.故選：B.變式5-1．若，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量夾角公式直接計算.【詳解】由，，，得，所以，故選：C.變式5-2．已知，且，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義直接計算可得.【詳解】設(shè)向量的夾角為，因為，所以．故選：B.變式5-3．如果向量滿足，且，則和的夾角大小為（

）A．30° B．45° C．75° D．135°【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的運算求得，結(jié)合向量夾角公式求得和的夾角大小.【詳解】設(shè)和的夾角為，由得，因為所以，所以，由于，所以.故選：D.變式5-4．已知，則向量與向量的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由向量的數(shù)量積及可求解.【詳解】設(shè)與的夾角是，則由題意可得，再根據(jù)，解得，結(jié)合可得.故選：A.題型戰(zhàn)法六平面向量的投影典例6．已知為單位向量，與的夾角為，則在方向上的投影為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義求解即可【詳解】因為為單位向量，與的夾角為，所以在方向上的投影為，故選：B變式6-1．若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模長【詳解】，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為故選：C變式6-2．已知，b=3，且，則向量在向量上的投影等于（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義計算可得；【詳解】解：因為，，且，所以向量在向量上的投影等于；故選：A變式6-3．設(shè)向量，，則在上的投影的數(shù)量為（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義直接求解即可【詳解】因為，，所以在上的投影的數(shù)量為，故選：B變式6-4．已知向量，點，，則向量在上的投影向量的模長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出，從而利用投影向量的模長公式進行求解.【詳解】，故在上的投影向量的模長為.故選：D題型戰(zhàn)法七平面向量的共線定理的推論典例7．如圖，在中，點是線段上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量共線設(shè)，，從而得到，得到方程組，求出.【詳解】因為三點共線，所以設(shè)，即，整理得：，因為，所以，解得：故選：C變式7-1．如圖，在中，，P是BN上的一點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】本題主要利用向量的線性運算和即可求解.【詳解】解：由題意得：設(shè)，則又由，不共線，解得：故選：D變式7-2．在邊長為4的等邊△ABC中，已知，點P在線段CD上，且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將用和表示，再根據(jù)三點共線，求出的值，再根據(jù)即可得出答案.【詳解】解：，因為三點共線，所以，所以，所以，則.故選：C.變式7-3．在中，點F為線段BC上任一點（不含端點），若，則的最小值為（