2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足：，則的虛部為（

）A． B．0 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，最后確定復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部為，故選：A.2．已知向量，且，則（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)向量共線求出參數(shù)，從而求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示，計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，所以所以所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示，以及向量模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．如圖是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是（

）A． B．1C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，得到原來圖形的形狀，結(jié)合直角三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)槭且粋€(gè)平面圖形的直觀圖，其中斜邊，所以，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得OB=O'B'=2，OA=2O'A'=，所以直角三角形的面積故選：D.4．已知a，b，c分別為△三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則△是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理的邊角關(guān)系可得，討論、即可判斷△的形狀.【詳解】由余弦定理得：，所以，整理得，當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，△是直角三角形.故選：D5．長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為3、4、5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是（

）A． B． C． D．都不對【答案】B【分析】由題意長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積．【詳解】解：長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：，所以球的半徑為：；則這個(gè)球的表面積是：．故選：．6．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為相交直線與所成角，即可求解.【詳解】如圖，連結(jié)，，，是異面直線與所成角，設(shè)棱長為，，，所以,即故選：D7．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（

）A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里【答案】A【分析】先確定∠CAB和∠ACB,然后由正弦定理可直接求解.【詳解】如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.8．已知圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)S，底面圓心為點(diǎn)O，高是底面半徑r的倍，點(diǎn)A，B是底面圓周上的兩點(diǎn)，若△SAB是等邊三角形，則O到平面SAB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等體積法求解【詳解】由題意高，則，即解得故選：B二、多選題9．如圖，在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量表示與數(shù)量積運(yùn)算依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】由題可知，，，故A，B正確；，故D正確；，故C錯(cuò)誤.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查用基底表示向量，向量數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵在于用向量數(shù)列的數(shù)量積運(yùn)算求解，其中D選項(xiàng)采用數(shù)量積的運(yùn)算律大大減少了運(yùn)算，是中檔題.10．如圖垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓上異于，的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】AD【解析】根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】是圓直徑，在圓上，則，平面，平面，則，，∴平面，又平面，∴，A正確；又平面，∴平面平面．D正確；若平面，則，而平面，則，重合，矛盾，B錯(cuò)；若平面平面，作于，∵平面平面，∴平面，而平面，∴，，∴平面，于是平面與平面重合．矛盾，C錯(cuò)．故選：AD．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查空間線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．由于是多選題，僅僅判斷AD正確還不夠，必須說明（證明）BC為什么是錯(cuò)誤的．否則會(huì)出錯(cuò)．11．歐拉公式(其中i為虛數(shù)單位，)，是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天驕，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)能確的是（

）A．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限 B．為純虛數(shù)C．的共軛復(fù)數(shù)為； D．復(fù)數(shù)的模長等于【答案】BCD【分析】對于，，根據(jù)，，即可判斷出；對于，根據(jù)歐拉公式逐項(xiàng)計(jì)算，然后判斷正誤即可．【詳解】解：對于，由于，，，，，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限，故錯(cuò)誤；對于，，可得為純虛數(shù)，故正確；對于，，的共軛復(fù)數(shù)為，故正確．對于，，可得其模的長為，故正確；故選：．12．已知函數(shù)的圖象為C，以下說法中不正確的是（

）A．圖象C關(guān)于直線對稱；B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；C．函數(shù)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得到；D．由的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C.【答案】AC【分析】先由倍角公式及輔助角公式得，再由對稱性、單調(diào)性及圖象的伸縮平移變換依次判斷即可.【詳解】，對于A，，則圖象C關(guān)于直線對稱，A錯(cuò)誤；對于B，時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，B正確；對于C，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得到，C錯(cuò)誤；對于D，的圖象向右平移個(gè)單位長度得，D正確.故選：AC.三、填空題13．已知，，，且是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為______.【答案】【分析】利用向量夾角公式以及向量投影公式直接求解.【詳解】設(shè)與的夾角，則，所以在上的投影向量為，故答案為：.14．已知，，，，則__________.【答案】【分析】由得，利用正弦兩角和公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)?，所?故答案為：.15．已知四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于，則球O的體積為___________.【答案】【分析】由條件可得球心為正方形的中心，當(dāng)此四棱錐的高為球的半徑時(shí)，此四棱錐體積取得最大值.設(shè)球的半徑為,則，可得為等邊三角形，根據(jù)條件可得，從而得出答案.【詳解】四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內(nèi),所以球心為正方形的中心，當(dāng)此四棱錐的高為球的半徑時(shí)，此四棱錐體積取得最大值.此時(shí)四棱錐為正四棱錐.設(shè)球的半徑為，則,為等邊三角形，則所以此四棱錐的表面積為所以，因此球的體積.故答案為：16．如圖，在三棱錐O﹣ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成的角的余弦值_____．【答案】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理，根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積性，最后根據(jù)線面角的定義，求出OM與平面ABC所成的角的余弦值【詳解】∵OA，OB，OC兩兩垂直，∴OA⊥平面OBC，設(shè)OA＝OB＝OC＝1，則AB＝BC＝AC，∴S△ABC．設(shè)O到平面ABC的距離為h，∵VO﹣ABC＝VA﹣OBC，∴，解得h，又OM，∴OM與平面ABC所成的角的正弦值為，∴OM與平面ABC所成的角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面角，考查了等積性的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.四、解答題17．為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)（1）在實(shí)軸上；（2）在虛軸上；（3）位于第四象限．【答案】（1）（2）（3）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)復(fù)數(shù)概念得虛部為零，解得值，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)概念得實(shí)部為零，解得值，（3）根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得實(shí)部大于零，虛部小于零，解得.試題解析：（1）若復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上則，則；（2）若復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上則，則；（3）若復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限18．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為和，，．（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）用坐標(biāo)表示向量，然后由數(shù)量積的定義求得夾角余弦值；（2）由向量與的數(shù)量積為0可求得．【詳解】（1）由已知得，，所以：，，，所以所求余弦值為．（2）因?yàn)椋?，而向量與向量有垂直，所以，所以．所以，解得．19．已知向量和，其中，函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的值域.【答案】（1）；（2）值域?yàn)椤痉治觥浚?）根據(jù)倍角公式、兩角和與差公式，對函數(shù)進(jìn)行化簡，再利用的最小正周期為，即可求出的值；（2）由（1）知，可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)在時(shí)的取值范圍.【詳解】（1），.（2）時(shí)，，，在的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式及兩角和與差公式，向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算.20．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且.(1)求B；(2)若，的面積為，求a，c.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理及和角公式得，再由倍角公式得，即可求出B；（2）先由面積公式求得，再由余弦定理求得，即可求得a，c.【詳解】(1)由及正弦定理，得，又，則，可得，即，又，所以有，即，因?yàn)?，所以，于是有，即，所以，?(2)由的面積為，得，即，由余弦定理，得，即，將，代入上式，得，可得，解得.21．如圖，在三棱柱中，底面?D是AB中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，證明平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）構(gòu)造平面，先證明平面平面，即可證得平面；（2）根據(jù)條件可證平面，即可證平面平面.【詳解】解：如圖所示：（1）設(shè)E為中點(diǎn)，∴，平面，平面又，平面∴平面，又∴平面平面，又平面∴平面；（2）由題知，.∴，平面∴∵，∴，又∴平面，又平面∴平面平面.【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)晴：證明線面平行有以下方法：1、用線線平行證明；2、由面面平行證明.22．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，平面MAC，.(1)判斷M點(diǎn)在PB的位置并說明理由；(2)記直線DM與平面PAC的交點(diǎn)為K，求的值；(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為，求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)M為PB中點(diǎn)，理由見解析(2)(3)或【分析】（1）連接BD交AC于O，連OM，由平面平行的性質(zhì)可得答案；（2）連接OP，則，可得點(diǎn)K為重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得答案；（3）取AD中點(diǎn)H，連接PH，HB，取HB中點(diǎn)G，連接MG，GC，可得，取AB中點(diǎn)N，可知，或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD，平面ABCD，令，，由余弦定理可得，在直角中，求出，，由余弦定理得，從而得到，解方程求出，過G作交CD于Q，連接MQ，可得平面MGQ，，在直角中可得.【詳解】(1)連接BD交AC于O，連接OM，因?yàn)槠矫鍹AC，平面PBD，平面平面，則，又因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以M為PB中點(diǎn).(2)如圖所示，連接OP，則平面平面，，因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K為重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得.(3)取