《等比數(shù)列》（數(shù)學(xué)人教A版必修）

《等比數(shù)列（第1課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析

等比數(shù)列是高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修5）第二章第四節(jié)的內(nèi)容。數(shù)列是高中

數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算會(huì)用到等比數(shù)列

前n項(xiàng)和的一些知.識(shí)，而且起著承前啟后的作用一一數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與前面學(xué)到

的函數(shù)思想密不可分，另外也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最重要的數(shù)列模型，并且等差數(shù)列與等比

數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式、兩個(gè)數(shù)的等差

（比）中項(xiàng)、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學(xué)時(shí)，可用對(duì)比方法，以便于弄清

它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念;掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)、圖像

特點(diǎn)，能在具體問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,提高數(shù)學(xué)建摸能力.

【過(guò)程與方法】

通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型,讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生

活的模型，體會(huì)數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥乏味的,達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過(guò)對(duì)等比數(shù)列概念的歸納,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及實(shí)事求是的精神,嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.體會(huì)探究過(guò)程中的主體作用及探究問(wèn)題的方法,經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程。

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】等比數(shù)列一的定義和通項(xiàng)公式。

【教學(xué)難點(diǎn)】等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系。

教具準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過(guò)程

一*、導(dǎo)入新課

情境一：做折紙游戲

首先教師提出問(wèn)題：一張普通的A4紙，有人說(shuō)至多只能折九次，你信嗎？學(xué)生準(zhǔn)備一

張紙，動(dòng)手實(shí)踐，結(jié)果發(fā)現(xiàn)折不到九次就折不動(dòng)了。這時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)明原因。學(xué)生

討論，教師作補(bǔ)充，共同分析厚度的變化，得出一個(gè)數(shù)列。教師提問(wèn)：如果你能夠?qū)φ?0

次，猜它的高度將是多少？學(xué)生紛紛猜測(cè)。最后揭示答案：可以在地球和月球之間建一座橋!

師生結(jié)合剛才的數(shù)列得出高度為2h,并且發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律為：后項(xiàng)是前項(xiàng)的2倍。

【設(shè)計(jì)意圖】以小游戲開(kāi)頭，且此結(jié)果出乎預(yù)料，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

情境二：閱讀書(shū)本上給出的四個(gè)實(shí)際情景下的數(shù)列。

教師引入：很有規(guī)律的數(shù)列！生活中，還有這樣的數(shù)列嗎？

布置學(xué)生閱讀課本，提煉模型。

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生重視教材的習(xí)慣，提高學(xué)生的閱讀能力，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活的實(shí)

際。體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維模式。

預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

二、推進(jìn)新課

(-)歸納上述幾個(gè)數(shù)列共同的特點(diǎn)，類比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的定義。

問(wèn)題一：觀察上述數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)它們存在什么共同的特征嗎？能用語(yǔ)言來(lái)描述它嗎？

學(xué)生相互討論，必要時(shí)教師啟發(fā)學(xué)生類比等差數(shù)列概括出等比數(shù)列的定義和公比的定義。教

師板書(shū)定義，共同討論并修正學(xué)生給出定義.中的不足。

【設(shè)計(jì)意圖】由幾個(gè)具體數(shù)列提煉出定義，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，類比等差數(shù)列下

定義，增強(qiáng)學(xué)生的類比能力，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。讓學(xué)生發(fā)表自己的見(jiàn)解，強(qiáng)化學(xué),生

的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力。

課件展示：下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明原因：

A(3)3,3,3,3,A(2)2,0,2,0,A(1)2,4,8,24,72,

學(xué)生互相討論，教師提問(wèn)學(xué)生回答(1)(2),結(jié)合學(xué)生回答，在定義的相應(yīng)部位用彩

筆標(biāo)注需要注意的地方：(1)比為同一個(gè)常數(shù)；(2)項(xiàng)不為零；公比不為零。........

提問(wèn)學(xué)生回答(3),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)(3)這個(gè)常數(shù)數(shù)列，既是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列。

教師追問(wèn)：任意一個(gè)常數(shù)數(shù)列既是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合練習(xí)找到定義中的需注意的點(diǎn)，講練結(jié)合，使學(xué)生更好的掌握知識(shí)。

預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

（二）類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

問(wèn)題二：根據(jù)定義，如果我們知道首項(xiàng)和公比，可以寫(xiě)出第二項(xiàng)、第三項(xiàng),,,,，如果我們

想得到第100項(xiàng)，雖然能得到，但是會(huì)費(fèi)很大的功夫。這樣就促使我們來(lái)研究等比數(shù)列的通

項(xiàng)公式。那同學(xué)們能不能類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的研究過(guò)程，來(lái)推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式呢？

預(yù)計(jì)：學(xué)生可能想到的方法有三種：不完全歸納法，累乘法，迭代法。提問(wèn)學(xué)生，展現(xiàn)

學(xué)生風(fēng)采。教師板書(shū)通項(xiàng)公式。

師生共同利用通項(xiàng)公式研究開(kāi)頭折紙問(wèn)題。

板書(shū)：通.項(xiàng)公式

【.設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生自己解決問(wèn)題的能力，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。研究折紙問(wèn)

題，呼應(yīng)開(kāi)頭，并實(shí)現(xiàn)對(duì)通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，加深印象。

例2、一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)。

預(yù)計(jì)：學(xué)生可能想到的例2的解法，一是利用方程的思想，二是利用等比數(shù)列的定義，

三是等比中項(xiàng)的思想來(lái)做題，但現(xiàn)在還不知道等比中項(xiàng)的概念）

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能靈活應(yīng)用之。結(jié)合例2,鍛煉學(xué)生

思維的靈活性，并為引入等比中項(xiàng)的概念做鋪墊，使知識(shí)點(diǎn)過(guò)渡自然。

預(yù)計(jì)用時(shí)：12分鐘

（三）比照等差中項(xiàng)的定義，請(qǐng)學(xué)生自己總結(jié)出等比中項(xiàng)的概念。

學(xué)生簡(jiǎn)單考慮，就能回答出來(lái)。教師引導(dǎo)學(xué)生給出證明。

教師追問(wèn)：這和以前我們學(xué)到的哪部分知識(shí)點(diǎn)有些相似呢？（生回答：等差中項(xiàng)）你

能類等差中項(xiàng)的概念，自己給出等比中項(xiàng)的概念嗎？

學(xué)生作答，教師補(bǔ)充并板書(shū)定義。

【設(shè)計(jì)意圖】類比舊知識(shí)，探究新定義，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

課件展示:

練習(xí)：1、判斷：任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)。

追問(wèn)：任意兩個(gè)非零的數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？

學(xué)生討論作答，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有等比中項(xiàng)的兩個(gè)數(shù)符號(hào)必須一致。

2、填數(shù)，使下列幾個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列：

(1)1.(),16(2)1,2,(),8,16

學(xué)生討論作答，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)一致，偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)一致。

,【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義中需注意的地方，加深對(duì)概念的理解。預(yù)計(jì)

用時(shí)：5分鐘

(四)學(xué)以致用，例題分析

例3、一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的首項(xiàng)和第4項(xiàng)。

例4：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%,

這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)(精確到1年)？

【設(shè)計(jì)意圖】例3加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解，能夠靈活運(yùn)用公式；例4增強(qiáng)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際

的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

預(yù)計(jì)用時(shí)：6分鐘

(五)探索等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖像特征

問(wèn)題四：《數(shù)學(xué)1》中也有“半衰期”的問(wèn)題，還有“細(xì)胞分裂”、“復(fù)利計(jì)算”的練

習(xí)，當(dāng)時(shí)是用什么方法解決的？它和數(shù)列之間有什么樣的聯(lián)系？

帶著問(wèn)題布置學(xué)生做書(shū)上的“探究”(2),(3)o

啟發(fā)學(xué)生將等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生描點(diǎn)作圖畫(huà)出上述兩組圖像，然后

交流、討論、歸納出來(lái)兩者的關(guān)系。復(fù)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的圖像特征，作對(duì)比加深印象。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)解決類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的。

啟發(fā)學(xué)生從不同角度去看問(wèn)題。

預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

三、課后探究(數(shù)學(xué)興趣小組課下活動(dòng))

探究.：做課后練習(xí)1,3,4,結(jié)合練習(xí)，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，自主研究等比數(shù)列的性

質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖】課后探究給學(xué)有余力的學(xué)生創(chuàng)造更廣闊的數(shù)學(xué)空間。

預(yù)計(jì)用時(shí)：1分

四、小結(jié)。

等墓數(shù)列等比數(shù)列

定義

等差(比)中:

通項(xiàng)公式

國(guó)像特點(diǎn)

a.4.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步(回顧)體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善

的過(guò)程。

預(yù)計(jì)用時(shí)：1分鐘

五、作業(yè)

布置作業(yè)：課后習(xí)題A組1,6,8

【設(shè)計(jì)意圖】1題鍛煉學(xué)生的計(jì)算能力及對(duì)通項(xiàng)公式的應(yīng)用，6題鞏固對(duì)等差(比)中

項(xiàng)的認(rèn)識(shí)，8題綜合考查本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。

教學(xué)反思：

《新課程改革綱要》提出：“要改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練

的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取

新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力”。針對(duì)這一目標(biāo)，這節(jié)課做

了如下設(shè)計(jì)：

(1)通過(guò)一個(gè)“折紙游戲”讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)等比數(shù)列，借助豐富的實(shí)例，使得學(xué)

生加深對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)。最終，通過(guò)學(xué)生的觀察、分析、探討得出等比數(shù)列的概念。并且

借助這一過(guò)程使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，經(jīng)歷觀察現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，總結(jié)歸納這一過(guò)程,

促使學(xué)生形成善于觀察，善于思考的好習(xí)慣。

(2)學(xué)生相互探討，積極思考，以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)為參照物，探索等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式；通過(guò)與指數(shù)函數(shù)的圖像類比，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖像特征及指數(shù)函

數(shù)之間的聯(lián)系。通過(guò)這一過(guò)程鍛煉學(xué)生的類比能力。

(3)讓學(xué)生通過(guò)具體練習(xí)進(jìn)一步體會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出等比數(shù)列模型，提高學(xué)生解

決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力。

本節(jié)課還滲透了一些數(shù)學(xué)思想方法，比如類比思想、歸納思想、一般到特殊的思想等。

《等比數(shù)列（第2課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析

等比數(shù)列是高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修5）第二章第四節(jié)的內(nèi)容。數(shù)列是高中

數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算會(huì)用到等比數(shù)列

前n項(xiàng)和的一些知識(shí)，而且起著承前啟后的作用一一數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與前面學(xué)到

的函數(shù)思想密不可分，另外也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最重要的數(shù)列模型，并且等差數(shù)列與等比

數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式、兩個(gè)數(shù)的等差

（比）中項(xiàng)、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學(xué)時(shí).可用對(duì)比方法，以便于弄清

它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

教學(xué)目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式；深刻理解等比中項(xiàng)概念；熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性

質(zhì)，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法

二、過(guò)程與方法

通過(guò)自主探究、合作交流獲得對(duì)等比數(shù)列的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，體會(huì)數(shù)學(xué)是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活

的，數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無(wú)味的，提高學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)

等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)

靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程

I.課題導(dǎo)入

首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

1.等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，

那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示此

a

0),即：———q(qW0)

an-l

nnm

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=ax-q~\ax-0),an=am-q~(am-0)

3.｛?！埃傻缺葦?shù)歹！Jo0=q(〃eN+,qW0)"WO”是數(shù)歹U｛。力｝成等比數(shù)

an

列的必要非充分條件

4.既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)引入新課。

n.講授新課

1.等比中項(xiàng)：如果在。與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)

G為〃與Z?的等比中項(xiàng).即6=±八萬(wàn)同號(hào))

如果在〃與人中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，則

「1_

一二—=>G2=ab=G=±J~ab，

aG

Gh0

反之，若G0?二血?jiǎng)t一=一，即a,G,Z?成等比數(shù)列。成等比數(shù)列oG?二次?(q?/?

aG

WO)

［范例講解］

課本P58例4證明：設(shè)數(shù)列｛??｝的首項(xiàng)是由,公比為由;也,｝的首項(xiàng)為“，公比為q2,

那么數(shù)列｛%?2｝的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為：

4.q/T0q"T與4?"?如"即為闖2)"T與4”(4應(yīng)2)"

..。"+1(%%)_

.7-7―/\n-l-

?—⑷必)

它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以｛4?2｝是一個(gè)以qiq?為公比的等比數(shù)列

拓展探究:

對(duì)于例4中的等比數(shù)列｛4｝與｛么｝,數(shù)列｛2｝也一定是等比數(shù)列嗎？

b”

探究：設(shè)數(shù)列｛4｝與｛4｝的公比分別為5和%,令%="，則c“+i=曝

b”均

，4紅=，^旦=(—).(4旦)=更，所以，數(shù)列｛4｝也一定是等比數(shù)列。

b

CnVa“bn%n

課本P59的練習(xí)4

已知數(shù)歹！J｛4｝是等比數(shù)列，(1)是否成立？尺=。囚9成立嗎？為什么？

(2)個(gè)