7篇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

第七篇不等式因

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第七篇

不等式

第1講不等關(guān)系與不等式

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.考查不等式的基本性質(zhì)常與求函數(shù)的定義域、判斷不等關(guān)系、不等式的恒

成立和同解變形等問(wèn)題結(jié)合在一-起.

2.考查充分、必要條件的判斷，含參不等式成立的條件，命題的真假判斷，

大小比較等問(wèn)題.

二抓住土上考點(diǎn)必考必記夯基固本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

~93~

考點(diǎn)梳理

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的比較

兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的，有a-b>0^a>b；a-b=0

0a=b；a—b<0妗a<b.

另外，若b>0,則有彳>ioa>b；稱=ioa=b；去VIS.

2.不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性:如果a>b,那么處a

(2)傳遞性：如果a>b,b>c,那么a^c.

(3)可加性：如果a沙,那么a+c>6+c.

(4)可乘性：如果c>0,那么ac"?c；如果a>6,c<0,那么ac劭c.

(5)同向可加性：如果a>b,c>d,那么a+c"+d.

(6)同向同正可乘性：如果a>b>0,c>d>0,那么

(7)可乘方性:如果a>6>0,那么，次"(〃WN,〃22).

(8)可開(kāi)方性：如果。>6>0,那么缶三船(〃GN,〃22).

3.不等式的一些常用性質(zhì)

(1)倒數(shù)性質(zhì):

①a>b,ab>0^-<-7.

a-b

(2)0<0</)=?~<7.

a-b

③a>b>O,O〈cVd今曲

@0<a<x<b或a<x<b<0

（2）有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若a>b>0,w>0,則

①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

bb+mbb-m

,；->----(Z>—w>0)；

aa+maa-m

②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

a。+相aa-m

b>b+m;Lb-*m>Q）.

【助學(xué)微博】

一種方法

待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時(shí)，先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式，再利用多項(xiàng)

式相等的法則求出參數(shù)，最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍.

兩點(diǎn)提醒

⑴不等式的性質(zhì)分為“雙向性”與“單向性”兩個(gè)方面,單向性主要用來(lái)證明

不等式；雙向性是解不等式的基礎(chǔ)，因?yàn)榻獠坏仁揭蟮氖峭庾冃?

⑵運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)，不要忽視不等式性質(zhì)滿足的條件.

考點(diǎn)自測(cè)

1.已知c>d,c,d不為0,那么下列不等式成立的是（）.

A.ad>bcB.ac>hd

C.a-c>b~dD.a+c>6+d

解析由不等式性質(zhì)知：a>b,c>d=^a+c>b+d.

答案D

2.已知a<6,則下列不等式正確的是（）.

11,

A.->7B.a2>b~2

ab

C.2-a>2~bD.2a>2b

解析,:a<b,：.—d>—b,.1.2-a>2—b.

答案C

3.已知a,b,c@R,則“a>b"是“過(guò)》時(shí)”的().

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

122222

解析a>b/=^ac>bc,二,當(dāng)，=o時(shí)，ac=f)c-反之，ac>bc=^a>b.

答案B

4.(2011?全國(guó))下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是().

A.a>/>+1B.a>b-\C.a1>b2D.a>b'"

解析A項(xiàng)：若a>6+l,則必有反之，當(dāng)a=2,6=1時(shí)，滿足a>b,

但不能推出故。>6+1是成立的充分而不必要條件；B項(xiàng)：當(dāng)

a=6=l時(shí)，滿足反之，由。>6-1不能推出C項(xiàng)：當(dāng)。=

一2,6=1時(shí)，滿足J>%但。>/,不成立；D項(xiàng)：。>力是廿>"的充要條

件，綜上知選A.

答案A

5.若0<a<6,c>0,則空￡與小的大小關(guān)系為

a+cb+c--------------

&」h~\~cQ+C(6+C)2—(a+c)2(b—Q)(Q+6+2C)

解析"Z"——=c>0,??.。

a+cb+c」(a,+c)(b+c)(a+c)(b+c)

+c>0,h+c>0,b—a>0ya+b+2c>0,

b+ca+c

,------>-------

'a+cb+c

6+ca+c

答案

a+cb+c

。2?突破我考向研逝案例考向突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生一

~94~

考向一比較大小

【例1】?已知a,b,c是實(shí)數(shù)，試比較與ab+6c+ca的大小.

［審題視點(diǎn)］作差比較，再構(gòu)造完全平方式.

解,.,/+/+。2—(ab+6c+ca)=；［(a—6)2+(6—c)2+(c—a)?］2。，當(dāng)且僅當(dāng)

a=b=c時(shí)取等號(hào).

?*.a2+/>2+c2^a/>+/>c+c<7.

血包比較大小的方法常采用作差法與作商法，若是選擇題、填空題可以

用特值法.

【訓(xùn)練1】已知內(nèi),。2金(0,1)，記N=ax+a2~\,則M與N的大小

關(guān)系是().

A.M<NB.M>NC.M=ND.不確定

解析法一(作差法)A1—N=sa2-的一s+1

=0(。2—1)一(。2—1)=3-1)(?1—1),

.Cl\,(72€(0,1),.二。2一1<°,—1<°,

「?(42—1)3—1)>0,..M-NX),即

法二(特值法)取6=3,。2=；,

則N=0,故。N.

答案B

考向二不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例2］>(1)(2012?上海十三校聯(lián)考)若:<*0,有下面四個(gè)不等式：①間>瓦

②a<b,?a+b<ab,?a3>b\則不正確的不等式的個(gè)數(shù)是().

A.0B.1C.2D.3

(2)設(shè)a,6是實(shí)數(shù)，則是“6<!”的().

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

［審題視點(diǎn)］(1)先將條件轉(zhuǎn)化為生。之間的關(guān)系再一一判斷；(2)結(jié)合充

分、必要條件的概念.

解析⑴由可得從而同〈血，①、②不正確；a+b<0,ab>0,

則成立，③正確；a3>b3,④正確.故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2.

⑵若0<仍<1,當(dāng)K0時(shí)，尾；當(dāng)〃>0時(shí)，心反之，若得，當(dāng)a<0時(shí)，

ab>\;當(dāng)a>0時(shí)，而<1.故選C.

答案(1)C(2)C

在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把要判斷的命題和不等式

性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假.

【訓(xùn)練2】已知三個(gè)不等式：①/>0；②bc>ad；0>條以其中兩個(gè)作為條

件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個(gè)數(shù)是().

A.0B.1C.2D.3

解析命題①：若ab>0,，,，則be>ad;

命題②：若ab>0,bc>ad,則

命題③：若5》,，bc>ad,則出>>0.

答案D

考向三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【例3】》已知函數(shù)")=辦2+區(qū),且1?人一1)忘2,20(1)忘4.求人一2)的取值

范圍.

［審題視點(diǎn)］思路1:用人一1),<1)整體表示負(fù)一2);

思路2:把a(bǔ),6用人一1),火1)表示；

思路3:用線性規(guī)劃知識(shí)求解.

解法一設(shè)/(—2)="/(—〃為待定系數(shù))，貝II4Q—26=/%(Q—6)

+n(a+b),

即4Q-2b=(加+〃)〃+(〃一機(jī))6.

fm+/?=4,[m=3,

于是得c解得|

\n—m=—2,〔〃=1,

??式-2)=訓(xùn)-1)+火1).

又???1逝一1)W2,2逝1)W4,

???5W3/(—l)+/(l)W10,故5Wy(—2)W10.

由人D=i

法二IXD=a+6,得

.-./-2)=4?-2/>=3/(-l)+Xl).

又?.?lW/(-l)<2,2《/(l)W4,.*.5^3/(-1)+/(1)^10,故5毛/(—2)W10.

[1W。一6<2,

法三由L,一,，確定的平面區(qū)域如圖陰影部分，

當(dāng)/(—2)=4。-26過(guò)點(diǎn)/區(qū)3時(shí),

31

取得最小值4X]-2X/=5,

當(dāng)_/(-2)=44—26過(guò)點(diǎn)8(3,1)時(shí),取得最大值4乂3—2*1=10,，5?人一2戶10.

效鰻》由aV/(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范圍，可利用待

定系數(shù)法解決，即設(shè)R(x,y)=mf{x,y)+ng(x,y),用恒等變形求得加，〃，再

利用不等式的性質(zhì)求得“%力的取值范圍.

—1Wa+夕<1,

【訓(xùn)練3】若處￡滿足~「試求a+3￡的取值范圍.

、1+2/W3,

解設(shè)。+3戒=式6(+6)+歹(。+26)=(x+y)a+(x+2y)//.

由口=1'x=-i,

\x+2y=3,解得/

lr=2.

；一1W—(a+份W1,2W2(a+2份W6,

.??兩式相加，得lWa+3夕W7.

03?揭秘3年高考權(quán)威解讀真題展示

對(duì)應(yīng)學(xué)生

-95-

方法優(yōu)化9——靈活掌握不等關(guān)系與比較大小的方法

【命題研究】通過(guò)近三年的高考試題分析，對(duì)不等式的性質(zhì)考查主要是比較

大小問(wèn)題，以及與命題、充要條件等結(jié)合在一起.題型多以選擇題、填空題為

主，難度不大，屬低中檔題.

【真題探究】》(2012?遼寧)若xe［O,+8),則下列不等式恒成立的是().

“、111,

A.e'Wl+x+x,By［+=W1一/+卒

11

C.cosx>l—2^?D.ln(l+x)Nx—尹2

［教你審題］思路1構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和最值求解.

思路2舉反例排除.

［一般解法］設(shè)/(x)=cosx+52—1,則/(x)=—sinx+x20(x20),所以/(x)

=cosx+gx2—1是增函數(shù)，所以./(X)=cosx+Tx2-12<0)=0,即cosx'l—g

x2.

［優(yōu)美解法］對(duì)于A,因?yàn)閑3>l+3+32,故A不恒成立；同理，當(dāng)x=g時(shí)，去了1

一$+，?，故B不恒成立；當(dāng)x=4時(shí)，ln(l+x)<x—/2,故D不恒成立.所

以選C.

［答案］C

［反思］解決與不等式有關(guān)的推理與判斷題，除了根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還

經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.

【試一試】已知4?>0,給出下列四個(gè)不等式：

①/>/；②2">2”I-b>\[a—y[h；@a3+b^>2a2b.

其中一定成立的不等式為（）.

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

解析由。>6>0可得。2>/，①成立；由此6>0可得">6—1,而函數(shù)段）=2、

在R上是增函數(shù)，..?義。）>/（力-1）,即2。>2旌、②成立；?:a>b>0,:兀鵬

.1.（yja—b）1—（y[a-y[b）2=2-\[ab-2b=2-\[b（y[a--\[b）>0,：.y]a-b>\[a—y[b,③

成立；若。=3,b=2,貝！J。3+/=35,2/6=36,則1+④不成立，

故選A.

答案A

限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練階梯訓(xùn)練能力提升

對(duì)應(yīng)學(xué)生

283

A級(jí)基礎(chǔ)演練（時(shí)間：30分鐘滿分：55分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2011?浙江）若a,6為實(shí)數(shù)，則是或6弓"的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析當(dāng)0<ah<\時(shí)，若6>0,則有號(hào);若b<0,則a<0,從而有忌.故

是或尾”的充分條件.反之，取6=1,a=—2,則有號(hào)或吟但

.故選A.

答案A

2.（2013?保定模擬）已知心兒則下列不等式成立的是（）.

A.cP-b2^QB.ac>bc

C.|a|>|6|D.2a>2b

解析A中，若a=—1,b=-2,則J—不成立；當(dāng)。=0時(shí)，B不成

立；當(dāng)0>。>6時(shí)，C不成立；由。乂知2。>2〃成立，故選D.

答案D

3.（2012?晉城模擬）已知下列四個(gè)條件：①6>0>a,②0>a?,③a>0>/>,@a>b>0,

能推出另成立的有（）?

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)，由心生而>0可得②、④正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù),

①正確，③錯(cuò)誤，故選C.

答案C

4.如果a,b,c滿足c<6<a,且ac<0,那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）.

A.ab>acB.c（6一。）>0

C.cb2<ab2D.ac（a—c）<0

解析由題意知c<0,a>0,則A一定正確；B一定正確；D一定正確；當(dāng)b

=0時(shí)C不正確.

答案C

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.若一梟<夕與則a一夕的取值范圍是.

"）1

解析由得一7i〈a—￡<0.

答案（一兀，0）

6.（2013?南昌一模）現(xiàn)給出三個(gè)不等式：①d+l>2a；②/+/>2&-6—|）；③由

+，歷他+小.其中恒成立的不等式共有個(gè).

解析因?yàn)?—2a+l=（a—1）220,所以①不恒成立；對(duì)于②，a2+b2-2a+

2/>+3=（?-l）2+（Z>+l）2+l>0,所以②恒成立；對(duì)于③，因?yàn)椋ㄓ?標(biāo)）2-（仍

+V14）2=2770-2^42>0,且由+迎>0,小+丑>0,所以由+也>仍+

V14,即③恒成立.

答案2

三、解答題(共25分)

7.(12分)設(shè)0<x<l,心0且“W1,比較110go(1一到與110go(1+只的大小.

解法一當(dāng)。>1時(shí)，由0<x<l知，

lo&(1—x)<0,logfl(1+x)>0,

/.|10^(1—x)|—|logfl(l+x)|

2

=-10&(1-x)-loga(l+x)=—loga(l-X)?

V0<l—x2<l,log?(l—x2)<0,從而一log“(l—d)>。，

故110go(1—X)|>|10ga(l+x)].

當(dāng)時(shí),同樣可得|loga(l-0go(l+x)].

法二平方作差

-x)『一1+x)產(chǎn)

222]—X

=[loga(l-x)]-[log?(l+x)]=loga(1-x)-logaj^

=10go(i一0嚏(一點(diǎn)+).

/.110^(1—x)|2>|loga(l+x)「,

故110go(1—X)|>|10ga(l+x)].

法三作商比較

.|lo&(l+x)|-lo&(l+x)二1網(wǎng)+/1x)l,

0<x<1,/.log(i+x)(l—x)<0,

.,|102^(1—X)|1

故|1。&(l+x)|=—X)=10g(…)T二；

=1+1*)(111；J=1+log(f)占.

由0<x<l矢口，1+x>l及,

1—X

1,,|log^(l-x)|

/,log(i+x)rz7>0,故|10.(1+初>1'

/.110^(1—x)|>|loga(l+x)\.

8.(13分)已知次x)=o?-c且一4勺⑴w-l,-10(2)W5,求負(fù)3)的取值范圍.

。二§區(qū)2)-/(1)],

解得

解由題意，得《J41

、c=_/l)+/2).

58

所以,/(3)=9q_c=_§/U)+式(2).

因?yàn)橐?W/(1)W—1,所以|/(1)W與，

QQ40

因?yàn)橐?(/(2)<5,所以一1笈］/(2)<了.

兩式相加，得一1</(3)<20,故/(3)的取值范圍是［—1,20］.

B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.(2011?上海)若。、6GR,且而>0,則下列不等式中，恒成立的是().

A.a2-\~b2>2abB.a+6N2y［ab

C.-+T>-^7D.-+T^2

ab7abab

解析對(duì)A:當(dāng)。=6=1時(shí)滿足必>0,但/+b2=2",所以A錯(cuò)；對(duì)B、C:

]?__2

當(dāng)“=6=-1時(shí)滿足必>0,但”+6<0,-+^<0,而詬^>0,

顯然B、C不對(duì)；對(duì)D:當(dāng)曲>0時(shí)，由均值定理《+彳=2'穩(wěn)￡=2.

答案D

2.(2013?漢中一模)若“、6均為不等于零的實(shí)數(shù)，給出下列兩個(gè)條件.條件甲：

對(duì)于區(qū)間［—1,0］上的一切x值，ax+b>0恒成立；條件乙：2b-a>0,則甲是

乙的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析當(dāng)x€［-1,0］時(shí)，恒有方+6X)成立，

.".當(dāng)a>0時(shí)，ax+b^b—a>Q,

當(dāng)a<0時(shí),ax+b^b>0,：.b—a>0,b>0,：.2b—a>0,

3

二甲=乙，乙推不出甲，例如：a=手,力>0時(shí)，

則2b—a=^b>0,

但是，當(dāng)x=-1時(shí)，a-（—1）+6=—■|b+6=—；6<0,

???甲是乙的充分不必要條件.

答案A

二、填空題（每小題5分，共10分）

3.（2012?泉州一模）已知奇函數(shù)段）在區(qū)間（-8,+8）上是單調(diào)減函數(shù),%P，y

ER,且a+/>0,￡+y>0,y+a>Q,則/（a）+/（0+義/與0的關(guān)系是.

解析,??.詹）在R上是奇函數(shù)，x）=-/（x）,

'.'a+/3>0,p+y>0,y+a>0,

'.a>—p,P>~y,戶—a,而./（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，

.?./（a）</（一份=—/（份，.歡）勺（一>）=—/（>）,/（y）勺（一。）=一/（㈤，

以上三式相加得：2[/（團(tuán)+9）+人刈<0,

即加）+加）+用）<0.

答案y（a）+/（y?）+X7）<o

4.（2013?南京一模）給出下列四個(gè)命題：

①若a>6>0,則：>:；

②若a>b>0,則a—^>Z>—p

③若a*。，則筌

④設(shè)a,b是互不相等的正數(shù)，則|“一。十六》2.

其中正確命題的序號(hào)是（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）.

解析①作差可得十一5=黑，而。泌>0,則黑<0,此式錯(cuò)誤.②?！?gt;0,

則！<1,進(jìn)而可得一卜一"所以可得“一!》—《正確.③養(yǎng)記一'

6(2a+/?)—々(々+26)b~—a"[h—。)(6+。)左讓、口

(a+26)6=(a+2b)b=(a+2加用味④當(dāng)。一*0時(shí)此式不

成立，錯(cuò)誤.

答案②

三、解答題(共25分)

5.(12分)(2011?安徽)(1)設(shè)xNl,證明

,11,1,

肛；

x+7y+x-yWx—y/

(2)設(shè)IVaWbWc,證明

log/+log/,c+log<a&10眄+log(A+log^c.

證明(1)由于x?l,y^l,所以

111,

x+y+-^~+-+xy^(x+y)+1Wy+x+(盯)二

將上式中的右式減左式，得

[y+x+(xy)2]—[xy(x+y)+1]=[(xy)2—1]—㈤(x+y)_(x+y)]=(肛+l)(xy—1)

—(x+y)(xy—\)=(xy—\\xy—x—y+\)=(xy—l)(x—l)(y—1).

既然x?l，所以(孫一l)(x—l)(y—1)20,

從而所要證明的不等式成立.

(2)設(shè)log"6=x,log/>c=y,由對(duì)數(shù)的換底公式得

10&。=白，log必=：,logc/>=-,\ogac=xy.

-\z人y

于是，所要證明的不等式即為

x+y+~^~+~+xy

Jxyxy,

其中x=log“6Nl,y=log/(c21.故由(1)可知所要證明的不等式成立.

6.(13分)已知/(X)是定義在(一8,4]上的減函數(shù)，

是否存在實(shí)數(shù)m,使得j{m—sin

x)W《V?不茄一t+cos%)對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立？若存在，求出實(shí)數(shù)

加的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思維啟迪：不等式和函數(shù)的結(jié)合，往往要利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域.

解假設(shè)實(shí)數(shù)相存在，依題意，

相—sinxW4,

可得2

rWn-sbininxx>A(T+乙^m--+crcoossx>

加一4Wsinx,

即彳/-----1(1\

\m—y]1+2加+]2—Isin1一彳?

因?yàn)閟inx的最小值為一1,且一(sinx—；)?的最大值為0,要滿足題意，必須有

加一4<一1,

<_____[

[1+2機(jī)+凌力0,

解得加=-]或

所以實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是[|，

探究提高不等式恒成立問(wèn)題一般要利用函數(shù)的值域，mW/(x)恒成立，只需

特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)

計(jì)?高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.

第2講~一元二次不等一及其解法

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.考查簡(jiǎn)單不等式的解法，特別是一元二次不等式和一元一次不等式的解法，

主要是函數(shù)的定義域與值域、簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)相結(jié)合的題目.

2.考查簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的求解，可以利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的不等

式求解.

。1二抓住2個(gè)考點(diǎn)必考必記夯基固本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

~96~

考點(diǎn)梳理

1.一元二次不等式的解法

(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2+hx+c

>0(a>0)或av2+Z>x+c<0(tz>0).

(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式.

(3)當(dāng)時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

(4)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式

/>0J=0zf<0

/l=b2—4ac

二次函數(shù)

y=ox2+/>x+c

1UX立

（a>0）的圖象14義

續(xù)表

一元二次方程

有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=有兩相異實(shí)根沒(méi)有實(shí)

b

0X\,X2（X1<%2）修一五數(shù)根

（a>0）的根

ax1bx-\-c>

0R

或xVx1}卻

(“>o)的解集m-

ax2+hx+c<

0\x\x\<x<X2}00

(4>0)的解集

【助學(xué)?微博】

一^N支巧

一元二次不等式+區(qū)+c<O（aWO）的解集的確定受a的符號(hào)、b2-4ac的符

號(hào)的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系，可結(jié)合相應(yīng)的函

數(shù)歹=o?+&+c（“WO）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集.若一元二次不等

式經(jīng)過(guò)不等式的同解變形后，化為a，+6x+c>0（或<0）（其中。>0）的形式，

其對(duì)應(yīng)的方程辦2+6x+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根X1,M,（為<切）（此時(shí)/=/-4"C

>0）,則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”求解集.

兩點(diǎn)提醒

(1)解含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮因式分解，再

對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不易因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分

類要不重不漏；

(2)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)

系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式.

考點(diǎn)自測(cè)

1.不等式2x2—x—l>0的解集是().

A.(-J1JB.(1,+00)

C.(-8,1)U(2,+°°)D.(-8,一加(1,+°0)

解析/2x2—x—1=(x—1)(2x+1)>0,

或XV—；.解集為(一8,一+°°).

答案D

Y-1

2.(2012?重慶)不等式云耳jWO的解集為().

A(-g,

B.[-1

C.(-8,一‘U[1,+0°)

D.1-8,—|U[l,+°o)

解析由數(shù)軸標(biāo)根法可知原不等式的解集為(一；，1],選A.

答案A

3.若不等式。x2+bx—2V0的解集為則"=().

A.-28B.-26C.28D.26

解析.??一2,(是方程以2+/-2=0的兩根，

1n

-_

4=2-4

-

7

答案c

4.(2011?山東)不等式,一5|+歸+3|210的解集是().

A.[-5,7]B.[-4,6]

C.(-8,-5]U[7,+°°)D.(-8,-4]U[6,+8)

解析將x=6代入可知適合，排除C,將x=0代入可知不適合，排除A、B.

故選D.

答案D

5.不等式ax2+2ax+1^0對(duì)一切x￡R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析當(dāng)。=0時(shí)，不等式為120恒成立；

[?>05[a>0,

當(dāng)aWO時(shí)，需即“，,仆

[』W0,[4。'-4aW0.

」.OVaWl,綜上OWaWl.

答案[0,1]

。2?突破女個(gè)考向研折案例差也突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生一

~97~

考向一一元二次不等式的解法

【例1】》解下列關(guān)于x的不等式：

(1)—x2+8x-3>0；

(2)x2—(3+<7)x+3a>0.

[審題視點(diǎn)]利用求一元二次不等式的解法求解，注意對(duì)參數(shù)的討論.

解(1)原不等式化為8x+3<0,

?.?方程f—8x+3=0有兩個(gè)不等實(shí)根的=4—仃，X2=4+V13.

又二次函數(shù)歹=f—8x+3的圖象開(kāi)口向上，

所以原不等式的解集為{x|4-V13<x<4+V13}.

(2)".,x2-(3+a)x+3a>0,(x—3)(x-<?)>0.

①當(dāng)a<3時(shí)，或x>3,不等式解集為｛x\x<a或x>3｝；

②當(dāng)a=3時(shí)，不等式為(X—3)2>0,不等式解集為｛X|X￡R且X73｝；

③當(dāng)a>3時(shí)，x<3或x>a,不等式解集為｛》歸<3或x>a｝.

.^1>>(1)解一元二次不等式時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)要先化為正，再根據(jù)

判別式符號(hào)判斷對(duì)應(yīng)方程根的情況，然后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫(xiě)出不等式

的解集.

(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)

行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即」的

符號(hào)進(jìn)行分類，最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類.

【訓(xùn)練1】求不等式IZf—axA/geR)的解集.

解V\2x1—ax>a2,?*.\2x2—ax—a2>0,

即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x~a)=0,

得：修=一*x2=f.

①a>0時(shí),解集為卜xV一氨x>9；

②a=0時(shí)，x2>0,解集為｛x|xGR月一xWO｝；

③aVO時(shí)，_￡>?，解集為曲〉-g

綜上所述：當(dāng)。>0時(shí)，不等式的解集為卜》<一T或x>3；

當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為｛x|xGR且x70｝；

當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為卜或x>—皆.

考向二一元二次不等式恒成立問(wèn)題

【例2】》已知函數(shù)<x)=/n/一見(jiàn)一1.

⑴若對(duì)于xWR,/(x)V0恒成立，求實(shí)數(shù)利的取值范圍；

⑵若對(duì)于x￡[l,3],y(x)V5—唐恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

[審題視點(diǎn)](1)分m=0與加W0,再結(jié)合判別式可求解；

(2)將其轉(zhuǎn)化m<g(x),xC[1,3]上恒成立，再求g(x)的最小值.

|/77<O,

解（1）由題意可得m=0或j2IO加=0或一4VmV0O—4V

1+4m<0

mWO.

故m的取值范圍是(一4,0］.

(2)二\/(x)V—m+5o加(f—%+1)V6,

Vx2—x+1>0,

：.m<2_6_1_］對(duì)于x￡［l,3］恒成立,

XXI1

只需求〃只26上［的最小值,

X-X+1

記g(x)=、_：+］，xG［l,3］,

2

記//(x)=^x-￡+1f%(x)在x￡［l,3］上為增函數(shù).

則g(x)在［1,3］上為減函數(shù)，

.6.6

??［g(x)］min_g(3)—7,??m〈T

所以機(jī)的取值范圍是(一8,2.

氈胤82對(duì)于含參不等式的恒成立問(wèn)題，我們不是直接去解它，而是通過(guò)變

量分離，將其轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題后，得到所求變量的不等式(組)，再解得范圍，

或者轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，用函數(shù)知識(shí)得到所求變量的不等式(組)，求出范圍.

【訓(xùn)練2】已知負(fù)%)=7-2ax+2(aCR),當(dāng)xC［—1,+8)時(shí)，人工)》。恒成

立，求。的取值范圍.

解法一_Ax)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a

①當(dāng)。仁(一8,一1)時(shí)，/(乃在［-1,+8)上單調(diào)遞增，

Xx)min=/(—1)=2。+3.要使兀r)Na恒成立，

只需?(x)min，a，

即2a+32a,解得一3Wa<-1；

②當(dāng)。正［-1,+8)時(shí)，火x)min=/(a)=2-a2,

由2—a?2。，解得一IWaWl.

綜上所述，所求。的取值范圍是［—3,1］.

法二令g(x)=x2—2辦+2—4,由已知，

得f—2ax+2—〃20在［—1,+8)上恒成立，

pl>0,

即/=4/—4(2—a)WO或{a<—\,

〔以-1)20.

解得一3WaWL所求。的取值范圍是

考向三三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用

【例3］》已知二次函數(shù)九x)=a?+6x+c(aW0)的圖象過(guò)4(陽(yáng)，川)、B(x2,yi)

兩點(diǎn)，且滿足a,+S+y2)a+_yLy2=0.

(1)證明：力=一口或H=_。；

(2)證明：函數(shù)./(X)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

(3)若關(guān)于x的不等式/(x)>0的解集為{x|x>/?或x<n,n<m<0},解關(guān)于x的不

等式cx2-bx-\~a>0.

［審題視點(diǎn)］(1)因式分解可證；⑵分。>0與a<0討論；(3)先判別a,再用根與

系數(shù)的關(guān)系求解.

(1)證明*.*o'+(y\+y2)a+yiy2=0,

.,.(a+yi)(a+y2)=0,得巾=-a或以=一。.

(2)證明當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)外)的圖象開(kāi)口向上，圖象上的點(diǎn)/、8的縱坐

標(biāo)至少有一個(gè)為一a且小于零，

圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)“<0時(shí)，二次函數(shù)7U)的圖象開(kāi)口向下，圖象上的點(diǎn)/、8的縱坐標(biāo)至少有

一個(gè)為一a且大于零，

二圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

故二次函數(shù)/x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

⑶解,.,必2+以+。>0的解集為或x<〃，n<m<0},根據(jù)一元二次不等

式的解集大于0取根兩邊，從而可判定心0,并且可得辦2+bx+c=0的兩根

為m,n,

bb

相+〃=——,.—

am+nah

Va>0,c>0,----=一—=一一

C八nrncc

〃72=一>0,

aa

......o,.八Oh,U.w+tt*+上1>0=%+%+加，

_

而ex—hx+a>0c+c>04-mnmn

又.?.〃<加<6.—XT

mn

—hx+a>0的解集為，xx>一'或x<一:

故不等式cf

方法錦索》一元二次不等式解集的兩個(gè)端點(diǎn)值(不是±8)是對(duì)應(yīng)一元二次方程的

兩個(gè)根，故當(dāng)已知一元二次不等式的解集確定不等式中參數(shù)值時(shí)可借助根與系

數(shù)的關(guān)系給出含參數(shù)的方程組的解.

【訓(xùn)練3】已知二次函數(shù)/(X)的二次項(xiàng)系數(shù)為4,且不等式/(X)>—2x的解集為

(1,3).

(1)若方程/(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根，求/(x)的解析式;

(2)若7(x)的最大值為正數(shù)，求”的取值范圍.

解(l),.7(x)+2x>0的解集為(1,3),

./(x)+2x=a(x—l)(x—3),且a<0,

因而7(x)=a(x—l)(x—3)—2》=辦2—(2+4a)x+3a①

由方程,/(x)+6a=0,得ax2—(2+4a)x+9a=0.②

因?yàn)榉匠挞谟袃蓚€(gè)相等的根，

所以/=［一(2+4。)］2—4)9。=0,即5/一4。-1=0,

解得a=l或<7=—1.

由于a<0,舍去4=1,將a=—［代入①，得

加)=一呈一會(huì)一|.

1+2A/+4a+1

(2)由y(x)=ax2—2(l+2a)x+3a=4z|

a.及a<0,可得寅x)的

?2+4?+1

最大值為

-a2+4a+\

由，a解得—2一小或一2+也<61<0.

a<0,

故當(dāng)/(x)的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(—8,—2—S)U(—2+正，0).

03二揭秘*高考婺威解堂真題展主

對(duì)應(yīng)學(xué)生

~98~

熱點(diǎn)突破14——不等式恒成立問(wèn)題的化解

【命題研究】通過(guò)近三年的高考試題分析，含參不等式的恒成立問(wèn)題越來(lái)越

受到高考命題者的青睞，由于新課標(biāo)高考對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強(qiáng)，這些不等式的恒

成立問(wèn)題往往與導(dǎo)數(shù)交織在一起，題型多以解答題出現(xiàn)，難度較大.

【真題探究】》(2012?湖南節(jié)選)已知函數(shù)/(》)=產(chǎn)一》，其中aWO.若對(duì)一切x

WR,<x)Nl恒成立，求。的取值集合.

［教你審題］第1步由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)推斷。>0；

第2步/(x)21恒成立O/(X)min?1；

第3步求導(dǎo)數(shù)得大X)的單調(diào)區(qū)間，從而求火X)min；

第4步解不等式；

第5步構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最大值為1.

［解法］若a<0,則對(duì)一切x>0,./(x)=e"x—x<l,這與題設(shè)矛盾.

又aWO,故a>0.而/(x)=aeax—1,

令/(x)=O得x='ln：

當(dāng)x<：ln｝時(shí)，/，(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>：ln小寸，/(x)>0,_Ax)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=：ln十時(shí)，./(X)取最小值心1十一

于是對(duì)一切xdR,段)21恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)！—In%,①

令g(7)=/-"n/,則g'(/)=—Int.

當(dāng)OV<1時(shí)，g'(Z)>0,g⑺單調(diào)遞增；

當(dāng)t>l時(shí)，g'(/)<0,g⑺單調(diào)遞減，

故當(dāng)/=1時(shí)，g⑺取最大值g(l)=L

因此，當(dāng)且僅當(dāng)^=1,即。=1時(shí)，①式成立.

綜上所述，。的取值集合為{1}.

［反思］在解決不等式的恒成立問(wèn)題時(shí)，易出現(xiàn)的問(wèn)題主要有兩個(gè)方面：一是不

等式的變形不是同解變形，尤其是利用分離參數(shù)法求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不

等式兩邊同除以某個(gè)代數(shù)式時(shí)忽視其符號(hào)的討論；二是構(gòu)造與不等式相對(duì)應(yīng)的

含參函數(shù)時(shí)，忽視函數(shù)圖象的特征.

Q-1

【試一試】已知函數(shù)兀r)=ax+—二+l—2〃3>0),若/(x)21nx在［1,+°°)

上恒成立，求。的取值范圍.

Q—1

解令g(x)=/(%)—Inx=ax+—-+1—2。一Inx，

a-11

+oo),則g(i)=o,gf(x)=a-^r--=

――7―(弓一1)g1)"q)

?一x2，

①當(dāng)時(shí)，0<a<1,貝U

故g'(x)<0,g(x)是減函數(shù),

所以g(x)<g(1)=0，B［J/(x)<lnx,

故./(x)21nx在［1,+8)上不恒成立.

1—a1

②當(dāng)一1W1時(shí)，a汽,則A1,故g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)，g(x)>g(l)=O,

即MO>lnX，

故當(dāng)時(shí)，/(x)21nx恒成立.

綜上所述，所求。的取值范圍為|｝，+8).

041限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練階梯訓(xùn)練能力提升

對(duì)應(yīng)學(xué)生

~285~

A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

x、

1.(2012?南通二模)已知於)=『，則不等式/(])勺(4)的解集為

2

X+3X,X〈O,

().

A.{小24}B.{x|x<4}

C.{x|-3<x<0}D.{x\x<-3}

4

解析A4)=2=2,不等式即為作)<2.

當(dāng)時(shí)，由紅2,得0Wx<4;

當(dāng)x<0時(shí)，由-f+3x<2,得x<l或x>2,因此x<0.

綜上，x<4.故人x)</(4)的解集為{小<4}.

答案B

2.不等式f+辦+4V0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().

A.[-4,4]B.(-4,4)

C.(一8,-4]U[4,+°°)D.(-8,-4)U(4,+8)

解析不等式d+辦+4<0的解集不是空集，只需/=/-16>0,.?.a<—4

或a>4,故選D.

答案D

3.設(shè)。>0,不等式一c<or+b<c的解集是{x|-2<x<l},則a：6：c=().

A.1：2：3B.2：1：3

C.3：1：2D.3：2：1

b-J-cc—b

解析—c<ax+b<cy又Q>0,<x<.

.?.不等式的解集為3—2力<1},

b+c

答案B

4.(2013?莆田二模)不等式(x2—2)log2X>0的解集是

A.(0,l)U(^j2,+8(一啦，1)U(啦，+°°

C.(VL+8)(一啦，啦)

x-2>0,-2<0,

解析原不等式等價(jià)于

Jog2%>0

?,/他或0<x<l,即不等式的解集為(0,1)U(啦，+8).

答案A

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.(2013?煙臺(tái)模擬)已知關(guān)于x的不等式辦2+2x+c>0的解集為(一；，；)，則不等

式-6?+2%一4>0的解集為.

解析由雙2+2x+c>0的解集為(一3，知4<0,且一g,；為方程Q/+2X+C

=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得一；+T=-1解得a=-12,

c=2,：.-c^+2x-a>0,gp2X2-2X-12<0,其解集為(一2,3).

答案(-2,3)

6.在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算?:x效=x(l—y),若不等式(x—a)?(x+a)<l對(duì)任意實(shí)數(shù)x

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

解析由題意知(x—a)?(x+a)=(x—<?)(1—x—a)——x2+x+<72-a故一x2+x+

a2-a<\對(duì)任意x€R都成立.

即一￥+》<―/+。+1對(duì)任意R都成立.

而"+'=-［丫-；)2+9(，只需一d+a+i〉；即可，即4a2-4a-3<0,解

13

得一尹仁

答案(41)

三、解答題(共25分)

7.(12分)已知不等式辦2—3X+6>4的解集為｛小<1或x>6｝,

(1)求a,b；

(2)解不等式ax?—(ac+b)ir+6c<0.

解(1)因?yàn)椴坏仁揭?—3x+6>4的解集為｛小<1或x>6｝,所以修=1與必=8

是方程辦2—3》+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且6>1.

[1+Z)=-,r_]

由根與系數(shù)的關(guān)系，得〈,解得L\

[，i、"xy26=2.

(2)由(1)知不等式ax1—(<JC+b)x+bc<Q為x2-(2+c)x+2c<0,即(x—2)(x—c)<0.

①當(dāng)c>2時(shí)，不等式(x—2)(x—c)<0的解集為｛x[2<x<c｝；②當(dāng)c<2時(shí)，不等式

(x—2)(x—c)<0的解集為｛x[c<x<2｝；③當(dāng)c=2時(shí)，不等式(x—2)(x—c)<0的解

集為0.

綜上所述：當(dāng)02時(shí)，不等式的解集為｛x[2<x<c｝；

當(dāng)c<2時(shí)，不等式的解集為｛x[c<x<2｝；

當(dāng)c=2時(shí)，不等式的解集為。.

8.(13分)(2013,淮南質(zhì)檢)已知拋物線y=(/?—l)x2+(w-2)x—1(%