2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測31平面與平面平行的性質(zhì)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE6平面與平面平行的性質(zhì)[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．兩個(gè)平行平面與另兩個(gè)平行平面相交得四條直線的位置關(guān)系是()A．兩兩相互平行B．兩兩相交于同一點(diǎn)C．兩兩相交但不肯定交于同一點(diǎn)D．兩兩相互平行或交于同一點(diǎn)解析：選A依據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可知，所得四條直線兩兩相互平行．故選A.2．已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，那么a與b的位置關(guān)系可能是()A．平行或相交 B．相交或異面C．平行或異面 D．平行、相交或異面解析：選D當(dāng)a與b共面，即a與b平行或相交時(shí)，如圖所示，明顯滿意題目條件；在a與b相交的條件下，分別把a(bǔ)，b平行移動(dòng)到平面β、平面α上，此時(shí)a與b異面，亦滿意題目條件．故選D.3．平面α∥平面β，點(diǎn)A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB與CD相交 D．A，B，C，D四點(diǎn)共面解析：選D充分性：A，B，C，D四點(diǎn)共面，由平面與平面平行的性質(zhì)知AC∥BD.必要性明顯成立．故選D.4．(多選)α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，a，b，c為三條不重合的直線，則下列命題中正確的是()A.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))?a∥b B.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))?a∥bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))?α∥β D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∩γ＝a,β∩γ＝b,α∥β))?a∥b解析：選AD對(duì)于A，由平行線的傳遞性可知，A正確；對(duì)于B，兩條直線都與同一個(gè)平面平行，則這兩條直線可能相交，也可能異面，故B不正確；對(duì)于C，兩個(gè)平面都與同一條直線平行，則這兩個(gè)平面可以平行，也可以相交，故C不正確；對(duì)于D，由面面平行的性質(zhì)定理可知，D正確．5.如圖，在多面體ABC-DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF解析：選A如圖所示，取DG的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四邊形ABFM是平行四邊形，∴BF∥AM.又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故選A.6．已知平面α∥β，直線a?α，有下列命題：①a與β內(nèi)的全部直線平行；②a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行．其中真命題的序號(hào)是________．解析：由面面平行的性質(zhì)可知，過a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯(cuò)誤；②正確．答案：②7．六棱柱的兩底面為α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，則AB與CD的位置關(guān)系是______．解析：因?yàn)锳D∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.答案：平行8.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點(diǎn)E作一個(gè)與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC與N，則MN＝______AC.解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC.∴MN綉eq\f(1,2)AC.答案：eq\f(1,2)9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.證明：如圖，過E作EG∥AB交BB1于點(diǎn)G，連接GF，則eq\f(B1E,B1A)＝eq\f(B1G,B1B).∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴eq\f(C1F,C1B)＝eq\f(B1G,B1B).∴FG∥B1C1∥BC，易得EG∥平面ABCD，F(xiàn)G∥平面ABCD，又∵EG∩FG＝G，EG，F(xiàn)G?平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.10.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.過A1，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與α的交點(diǎn)為Q.證明：Q為BB1的中點(diǎn)．證明：因?yàn)锽Q∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD.從而平面α與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即QC∥A1D.故△QBC與△A1AD的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是△QBC∽△A1AD.所以eq\f(BQ,BB1)＝eq\f(BQ,AA1)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(1,2)，即Q為BB1的中點(diǎn)．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.則以下四個(gè)說法，其中說法正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APC解析：選BCA項(xiàng)，MN∥AC，連接AM，CN(圖略)，得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面PAC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的；B項(xiàng)，將平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正確的；C項(xiàng)，由BP＝eq\f(2,3)BD1，以及B項(xiàng)知△APB∽△MPD1，所以A，P，M三點(diǎn)共線，是正確的；D項(xiàng)，將直線AP延長到M，則M既在平面MNQ內(nèi)，又在平面APC內(nèi)，所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的．12.如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，則eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝________．解析：∵平面α∥平面ABC，∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′.由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.∵△PAB∽△PA′B′，PA′∶AA′＝2∶3，∴eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(PA′,PA)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA′,PA)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,25).答案：eq\f(4,25)13．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點(diǎn)，過C1，B，M作正方體的截面，則這個(gè)截面的形態(tài)是________，截面的面積是________．解析：如圖，取AA1的中點(diǎn)N，連接MN，NB，MC1，BC1，AD1，因?yàn)镸N∥AD1，AD1∥BC1，故MN∥BC1，且MN＝eq\f(1,2)BC1＝eq\r(2).則截面MNBC1為梯形，且為等腰梯形，MC1＝BN＝eq\r(5)，可得梯形的高為eq\f(3,\r(2))，所以梯形的面積為eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2).答案：等腰梯形eq\f(9,2)14.如圖，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解：如圖，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．因?yàn)槠矫鍮C1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O，所以D1為線段A1C1的中點(diǎn)，所以D1C1＝eq\f(1,2)A1C1.因?yàn)槠矫鍮C1D∥平面AB1D1，且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.又因?yàn)锳D∥D1C1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝C1D1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)AC，所以eq\f(AD,DC)＝1.[C級(jí)拓展探究]15．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.(1)證明：l∥CD；(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AB∥CD.又AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.所以AB∥l，所以l∥CD.(2)存在．當(dāng)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC.證明：如圖，取PC的中點(diǎn)F，PE的中點(diǎn)M，連接FM.由于M