專題16 二次函數(shù)與最短路徑問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（解析版）

專題16二次函數(shù)與最短路徑問題考向1利用軸對稱求線段之和的最小值【母題來源】2021年中考山東省東營卷【母題題文】如圖，拋物線y=?12x2（1）求拋物線的解析式；（2）求證：△AOC∽△ACB；（3）點(diǎn)M（3，2）是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PD+PM的最小值．【答案】（1）∵直線y=?當(dāng)x＝0時(shí)，代入y=?當(dāng)y＝0時(shí)，代入y=?把B（4，0），C（0，2）分別代入y=?12得?8+4b+c=0解得b=3∴拋物線的解析式為y=?12x（2）∵拋物線y=?12x∴?12x2解得x1＝﹣1，x2＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴AO＝1，AB＝5，在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC=5∴AOAC∵ACAB∴AOAC又∵∠OAC＝∠CAB，∴△AOC∽△ACB；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，?12x2則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，?1∴DE=?12x2+=?12x2+=?12=?12∵?1∴當(dāng)x＝2時(shí)，線段DE的長度最大，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），∵C（0，2），M（3，2），∴點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對稱軸對稱，連接CD交對稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PM最小，連接CM交直線DE于點(diǎn)F，則∠DFC＝90°，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），∴CD=C∵PD+PM＝PC+PD＝CD，∴PD+PM的最小值為5．【試題解析】（1）直線y=?12x+2過B、C兩點(diǎn)，可求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，把B（4，0），C（0，2）分別代入y=（2）拋物線y=?12x（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，?12x2+32x+2），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，?12x+2），由坐標(biāo)得DE【命題意圖】函數(shù)思想；應(yīng)用意識(shí)．【命題方向】主要為解答題，一般為壓軸題，具有很強(qiáng)的甄別性.【得分要點(diǎn)】已知：在直線l同惻有A．B兩點(diǎn)，在l上找一點(diǎn)P，使得AP＋PB最小．AABl作法：如圖．作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A’，連結(jié)A'B，與直線，的交點(diǎn)就是點(diǎn)PBBAPlA'考向2利用三點(diǎn)共線求線段之和的最小值【母題來源】2021年中考湖北省恩施卷【母題題文】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，D（﹣4，5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）F為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）由點(diǎn)D的縱坐標(biāo)知，正方形ABCD的邊長為5，則OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），則1+b+c=016（2）存在，理由：∵點(diǎn)D、E關(guān)于拋物線對稱軸對稱，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，5），由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線x＝﹣1，故設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，m），由點(diǎn)B、E的坐標(biāo)得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（s，t），∵以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形，故點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)E，則Q（F）向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），則s+1=?1解得m=5±17故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，5+17）或（﹣1，5?17）或（﹣1，22）或（﹣1，（3）存在，理由：由題意拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)B′（﹣1，0），將點(diǎn)B′向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B″（﹣2，0），連接B″E，交函數(shù)的對稱軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MP⊥y軸，則點(diǎn)P、M為所求點(diǎn)，此時(shí)EM+MP+PB為最小，理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四邊形B″B′PM為平行四邊形，則B″M＝B′P＝BP，則EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1為最小，由點(diǎn)B″、E的坐標(biāo)得，直線B″E的表達(dá)式為y=5當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y=54（x+2）=5則EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+(【試題解析】（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），再用待定系數(shù)法即可求解；（2）以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形，故點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)E，則Q（F）向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）由題意拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)B′（﹣1，0），將點(diǎn)B′向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B″（﹣2，0），連接B″E，交函數(shù)的對稱軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MP⊥y軸，則點(diǎn)P、M為所求點(diǎn)，此時(shí)EM+MP+PB為最小，進(jìn)而求解．【命題意圖】考查代數(shù)幾何綜合題；分類討論；矩形菱形正方形；數(shù)據(jù)分析觀念．【命題方向】解答題，一般設(shè)定為試卷壓軸題.【得分要點(diǎn)】利用轉(zhuǎn)化思想得三點(diǎn)共線，進(jìn)而利用三點(diǎn)共線求線段的最小值.1．（2021?湖北南漳縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（0，3），（2，0），頂點(diǎn)為M的拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，且與x軸交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是（1）中拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△PAD的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）平移拋物線y＝﹣x2+bx+c，使拋物線的頂點(diǎn)始終在直線AM上移動(dòng)，在平移的過程中，當(dāng)拋物線與線段BM有公共點(diǎn)時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a的取值范圍．解：（1）∵A，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，3），（2，0），并且四邊形ABCD是矩形，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），把A、B代入拋物線解析式，則c=3解得c=3∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，∴y＝﹣（x﹣1）2+4，即頂點(diǎn)M為（1，4）；（2）在對稱軸上取一點(diǎn)P，連接PA，PB，PD，由拋物線及矩形的軸對稱性可知點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴PA＝PB，∴當(dāng)點(diǎn)P，B，D在一條直線上時(shí)△PAD的周長最小，當(dāng)﹣x2+2x+3＝0時(shí)，解得x1＝﹣1，x3＝3，∴點(diǎn)D（﹣1，0），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+q，代入B點(diǎn)、D點(diǎn)坐標(biāo)得（2k解得k=1∴直線BD的解析式為y＝x+1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）；（3）設(shè)直線AM的解析式為：yAM＝mx+n，代入點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)得n=3解得m=1∴直線AM的解析式為yAM＝x+3，同理得直線BM的解析式為yBM＝﹣x+5，∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線yAM＝x+3上，∴設(shè)平移中的拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣a）2+a+3，當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線y＝﹣（x﹣a）2+a+3即y＝﹣x2+2x+3，此時(shí)拋物線y＝﹣（x﹣a）2+a+3與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a＞1時(shí)，①拋物線y＝﹣（x﹣a）2+a+3經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，有﹣（1﹣a）2+a+3＝4，解得：a1＝1（舍去），a2＝2，②當(dāng)拋物線y＝﹣（x﹣a）2+a+3經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，有﹣（2﹣a）2+a+3＝3，解得：a1＝1（舍去），a2＝4，綜上可得2≤a≤4，當(dāng)a＜1，拋物線y＝﹣（x﹣a）2+a+3與直線yBA＝﹣x+5有公共點(diǎn)時(shí)，則方程﹣（x﹣a）2+a+3＝﹣x+5即x2﹣（2a+1）x+a2﹣a+2＝0有實(shí)數(shù)根，∴（2a+1）2﹣4（a2﹣a+2）≥0，即a≥78，∴1＞a綜上可得1＞a≥72.（2021?江蘇省江陰市模擬）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝4．BD＝5．點(diǎn)P是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，O重合）．點(diǎn)E與點(diǎn)P在AD所在直線的兩側(cè)．AE⊥AB．AE＝BD．點(diǎn)F在AD邊上，DF＝AP．連接PE，BF．（1）補(bǔ)全圖形，求PE：BF的值；（2）連接BP，點(diǎn)P在何處時(shí)BP+BF取得最小值？并求出這個(gè)最小值．解：（1）圖形如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD