專題18 共頂點模型的破解問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（原卷版）

專題18共頂點模型的破解問題考向1等邊三角形共頂點【母題來源】2021年中考貴州省黔西南州卷【母題題文】如圖1，D為等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE，BD的延長線與AC交于點G，與CE交于點F．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，連接FA，小穎對該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小穎的結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．【答案】（1）證明：如圖1，∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）解：結(jié)論正確，理由如下：如圖2，過A作BD，CF的垂線段分別交于點M，N，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，∴12×AM×BD∴AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，AF=∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．【試題解析】（1）通過SAS證明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE；（2）作AM⊥BF，AN⊥CE，由全等知AG＝AH，從而得到AF平分∠BFE，證出∠AFM＝∠AFN＝60°，從而證出結(jié)論．【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【命題方向】一般為解答題，放置于壓軸位置，以類比探究為解決問題的基本思想方法.【得分要點】等邊△ABC與等邊△DCE，B、C、E三點共線．連結(jié)BD、AE交于點F，BD交AC于點G，AE交DC于點H，連結(jié)CF、GH，則：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH為等邊三角形．考向2等腰直角三角形共頂點【母題來源】2021年中考貴州省畢節(jié)卷【母題題文】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接CE，BD的延長線與CE交于點F．（1）求證：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如圖2，連接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判斷AF與DC的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】證明：（1）如圖1，∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，又∵∠AOB＝∠COF，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE；（2）AF∥CD，理由如下：如圖2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，∴AG＝AH，又∵AG⊥BF，AH⊥CE，∴AF平分∠BFE，又∵∠BFE＝90°，∴∠AFD＝45°，∵∠BDC＝135°，∴∠FDC＝45°，∴∠AFD＝∠FDC，∴AF∥CD．【試題解析】（1）通過SAS證明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形內(nèi)角和定理可證BD⊥CE；（2）作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，從而得到AF平分∠BFE，證出∠AFD＝∠FDC＝45°，從而證出平行．【命題意圖】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【命題方向】一般設(shè)為解答題，具有很強(qiáng)的甄別性，為壓軸題【得分要點】等腰直角三角形共頂點：等腰Rt△ABC與等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．如圖1，連結(jié)BD、AE交于點F，連結(jié)FC、AD、BE，則：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如圖2，若G、I分別為BE、AD的中點，則GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE.1．（2021?山東膠州市模擬）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是邊AC上任意一點（點E與點A，C不重合），以CE為一直角邊作Rt△ECD，∠ECD＝90°，連接BE，AD．若AC＝BC，CE＝CD．①猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；②現(xiàn)將圖1中的Rt△ECD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角α，得到圖2，請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．2.（2021?河南南陽一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，過A作AD⊥BC于點D，點E為直線AD上一動點，把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α，得到線段EF，連接FC、FB，直線AD與BF相交于點G．（1）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，當(dāng)α＝60°時，填空：①AEBF的值為1②∠AGB的度數(shù)為60°；（2）[探究]如圖2，當(dāng)α＝120°時，請寫出AEBF（3）[應(yīng)用]如圖3，當(dāng)α＝90°時，若AB＝23，∠ACE＝15°，請直接寫出△DFG的面積．3.（2021?浙江麗水模擬）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點D，E分別在AB，AC上．現(xiàn)將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角度（0°＜α＜180°），連接BD，CE．（1）求證：△ADB≌△AEC；（2）已知AB＝4，AD＝3，求解以下問題：①若0°＜α＜90°，且cosα＞3②若0°＜α＜180°，則點B，C，D，E中是否存在三點共線的情況？若存在，求出線段BD的長度；若不存在，請說明理由．4.（2021?河南濮陽模擬）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D為△ABC內(nèi)一點，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△CBE，點A，D的對應(yīng)點分別為點B，E．（1）如圖1，若A，D，E三點在同一直線上，則∠CDE＝180°?α2（用含（2）如圖2，若A，D，E三點在同一直線上，α＝60°，過點C作CF⊥AE于點F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）圖3中，若CA＝23，CD＝2，將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD⊥AC時，△CAD的面積最大，最大面積是23．5．（2021?福州模擬）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點E為邊AC上一點，以AE為斜邊，在△ABC外，作△ADE，使得∠ADE＝90°，且DE＝DA．現(xiàn)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BE．（1）如圖2，當(dāng)α＝15°且BE∥AD時，求BE的長；（2）連接CE，設(shè)CE的中點為點F，AE的中點為點H，連接DF，直線DF與線段BE交于點G，連接GH．①求證：DF⊥BE；②探索線段GH，GD，GE之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2021?山東臨沂模擬）問題情境：如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，F(xiàn)是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF連接BF、AD．探究展示：（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；②將圖1中的正方形CDEF繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α，得到如圖2的情形．圖2中BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．拓展延伸：（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB＝90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖3，且AC＝4，BC＝3，CD=43，CF＝1，BF交AC于點H，交AD于點O，連接BD、AF，求BD2+AF7．（2021?湖北宜昌模擬）已知正方形ABCD與正方形BEFG，正方形BEFG繞點B