專題24 相似三角形存在性問(wèn)題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（解析版）

專題24相似三角形存在性問(wèn)題考向1相似三角形的存在性問(wèn)題【母題來(lái)源】2021年中考黑龍江大慶卷【母題題文】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線ED上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），∴a+解得a=∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，∴拋物線對(duì)稱軸為：x＝﹣1，∵EN∥y軸，∴△BEN∽△BCO，∴BNBO∴23∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥ED垂足為H，∴∠PEH＝45°，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，﹣x﹣1+2），∴代入關(guān)系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，3），②若△PEQ∽△OCB，如圖所示，設(shè)P（x，2），代入關(guān)系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，解得，x1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1?2綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1?2【試題解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得關(guān)系式（2）首先可得△OBC是等腰直角三角形，然后求出對(duì)稱軸和EN，分情況討論：①先得出PH＝HE，根據(jù)關(guān)系設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)關(guān)系式即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，②如圖所示，可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)代入關(guān)系式即可求出結(jié)果．【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；二次函數(shù)的應(yīng)用；三角形；符號(hào)意識(shí)；幾何直觀；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點(diǎn)】探究?jī)蓚€(gè)三角形相似時(shí)，一般情況下首先尋找一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例分兩種情況列方程．掌握一些相似的基本模型有助于快速解決問(wèn)題，相似三角形的基本模型有：1．“A”字形已知：在△ABC中．點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上．DE∥BC．結(jié)論：△ABC∽△ADE．2．反“A”字形（1）已知：在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，∠AED＝∠ABC．結(jié)論：△ABC∽△AED．（2）已知：在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，∠ACD＝∠ABC．結(jié)論：△ABC∽△ACD．3．“8”字形已知：在△ABC中，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，DE∥BC．結(jié)論：△ABC∽△AED．4．反“8”字形已知：在△ABC中，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∠ADE＝∠ABC．結(jié)論：△ABC∽△ADE．5．雙垂直已知：△ABC中，∠BAC＝，AD為斜邊BC上的高．結(jié)論：△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD．6．一線三等角（1）已知Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三點(diǎn)共線，．結(jié)論：△ABC∽△CED．（2）已知△ABC和△CDE，B，C，E三點(diǎn)共線，．結(jié)論：△ABC∽△CED．（3）已知△ABC和△CED，B，C，E三點(diǎn)共線，．結(jié)論：△ABC∽△CED．1．（2021?湖北荊州模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A，B，其中點(diǎn)A（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，2），對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M（32（1）求拋物線的解析式；（2）作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A，C，B，D，判斷四邊形ACBD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△BMP與△BAD相似？若存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M（32∴B（4，0），又∵C（0，2），∴0=a?b∴拋物線的解析式為：y=?12x（2）四邊形ABCD為矩形，理由如下：∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，也為CD的中點(diǎn)，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=12+∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（3）由題知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∵點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，∴DE＝OC＝2，AO＝BE＝1，OM＝ME=3∴D（3，﹣2），又∵BD=(4?3)2+22=∴∠BMP＝90°，即∠BDA＝∠BMP＝90°，當(dāng)PMBM即52解得PM=54，則P（32，54）或（當(dāng)BMPM即52則P'（32，5）或（3綜上，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（32，54）或（32，?542.（2021?湖南張家界模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，已知A（1，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)為P．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；（2）對(duì)稱軸與線段BC的交點(diǎn)為Q，將線段PQ繞點(diǎn)Q，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，請(qǐng)判斷旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′是否還在拋物線上，并說(shuō)明理由；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MOC與△BCP相似？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)（不必書(shū)寫(xiě)求解過(guò)程）．解：（1）∵A、B是關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），∴B（﹣3，0）；將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入y＝ax2+bx+3，可得：0=a解得a∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3．（2）點(diǎn)P′在拋物線上，理由如下：∵點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，直線x＝﹣1為拋物線的對(duì)稱軸，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣1，縱坐標(biāo)為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將B、C的值代入可得3=0+b0=?3k∵BC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q，∴當(dāng)x＝﹣1，y＝x+3＝﹣1+3＝2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴PQ＝4﹣2＝2，∵P'是點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到的，∴P'Q＝PQ＝2，過(guò)P'作P'H平行于x軸，P'H交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H，如圖：∵在Rt△QHP'中，∠P'QH＝180°﹣120°＝60°，P'Q＝2，∴QH＝1，HP′=3∴點(diǎn)P'橫坐標(biāo)為點(diǎn)H橫坐標(biāo)加HP'，即：?1+點(diǎn)P'縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)減HQ，即：2﹣1＝1，即P'（?1+將P'的橫坐標(biāo)值代入y＝﹣x2﹣2x+3，y＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝1，∴P'的坐標(biāo)符合拋物線表達(dá)式，∴P'在拋物線上．（3）存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．理由如下：∵BP2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣4）2＝20，PC2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2＝2，BC2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣3）2＝18，20＝18+2，∴BP2＝PC2+BC2，∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，BC=32，∵M(jìn)是x軸上一點(diǎn)，∠COM＝90°，若∠OCM＝∠CBP，則△OCM∽△CBP，∴OCOM若∠OCM＝∠CPB，則△OCM∽△CPB，∴OCOM∴綜上，點(diǎn)M存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．3.（2021?山東濟(jì)寧二模）如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣2），頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)M為該拋物線上直線BC下方一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使四邊形CMBE面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接CE（如圖2），設(shè)點(diǎn)P是位于對(duì)稱軸右側(cè)該拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q．連接PE，請(qǐng)求出當(dāng)△PQE與△COE相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)C（0，﹣2）代入，得：﹣3a＝﹣2，解得a=2∴拋物線解析式為y=23x2（2）存在點(diǎn)M使四邊形CMBE面積最大，理由如下：∵y=23x2?43x﹣2=∴E（1，0），設(shè)BC的直線解析式為y＝kx+b，∴3k+b∴y=2過(guò)M點(diǎn)作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N，設(shè)M（m，23m2?43∴MN=?23∵S四邊形CMBE＝S△BCE+S△BMC=12×2×2+12＝2+（﹣m2+3m）＝﹣（m?32）2∴當(dāng)m=32時(shí)，S∴M（32，?（3）∵C（0，﹣2），E（1，0），∴OC＝2，OE＝1，設(shè)P（m，23m2?43m﹣2）（m＞1），則PQ＝|23①若△COE∽△PQE，則OCOE=QP解得m＝0（舍）或m＝5或m＝2或m＝﹣3（舍），此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，8）或（2，﹣2）；②若△COE∽△EQP，則OCOE=QE解得m＝3或﹣1（舍）或94或?∵m＞1，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（94，?綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，8）或（2，﹣2）或（3，0），或（94，?3．（2021?陜西省寶雞模擬）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求此拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，連接CD、DB、CB、AC．①求證：△AOC∽△DCB；②在坐標(biāo)軸上是否存在與原點(diǎn)O不重合的點(diǎn)P，使以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△DCB相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得?1?b∴此拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，則﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0）．（2）①如圖1，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），∵B（3，0），C（0，3），∴CD2＝12+（4﹣3）2＝2，CB2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，∴CD2+CB2＝BD2＝20，∴△DCB是直角三角形