北京市朝陽區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

北京市朝陽區(qū)2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分第一部分（選擇題共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合交集的概念，即可求解.【詳解】由集合，集合B由，所有偶數(shù)構(gòu)成，集合A中只有-2,2兩個偶數(shù)，故.故選：B.2.命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，都有 D.，都有【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定知識即可求解.【詳解】由“，使得”的否定為“，使得”，故A正確.故選：A.3.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，以及特例法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，例如，此時滿足，但，所以A錯誤；對于B中，當(dāng)時，，所以B不正確；對于C中，由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，可得，所以C正確；對于D中，例如，此時滿足，但，所以D不正確.故選：C.4.設(shè)R，則“＞1”是“＞1”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件考點(diǎn)：充分條件與必要條件5.已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷出單調(diào)性，根據(jù)是函數(shù)的一個零點(diǎn)求出的值域可得答案.【詳解】因?yàn)闉樯系膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個零點(diǎn)，所以時，時，若，則.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，所以，即，因?yàn)閷?shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，，所以，即，所以，故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的周期性求，利用特殊點(diǎn)的相位求的值.【詳解】由圖可知：，由.由.故選：B8.函數(shù)是（）A.奇函數(shù)，且最小值為 B.奇函數(shù)，且最大值為C.偶函數(shù)，且最小值為 D.偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，判定A、B不正確；再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值和最小值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得其定義域，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以為的一個周期，不妨設(shè)，若時，可得，因?yàn)椋傻茫?dāng)時，即時，可得；當(dāng)時，即時，可得；若，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)時，即時，可得；當(dāng)時，即時，可得，綜上可得，函數(shù)的最大值為，最小值為.故選：D.9.已知函數(shù)的圖象是在上連續(xù)不斷的曲線，在區(qū)間項(xiàng)上單調(diào)遞增，且滿足，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過條件分析函數(shù)具有的性質(zhì)，再把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解.【詳解】由得：的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；；又在上連續(xù)不斷，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增..故選：B10.在一定通風(fēng)條件下，某會議室內(nèi)的二氧化碳濃度c隨時間t（單位：）的變化規(guī)律可以用函數(shù)模型近似表達(dá)．在該通風(fēng)條件下測得當(dāng)時此會議室內(nèi)的二氧化碳濃度，如下表所示，用該模型推算當(dāng)時c的值約為（）t0510cA. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意知建立方程組分別求出，，從而可求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由得，由得，由得，所以，由得，解得，所以當(dāng)時，，故C正確.故選：C.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.函數(shù)的定義域?yàn)開________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，列出不等式解出即可.【詳解】由得，則函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:12.若，則的最小值是_____．【答案】3【解析】【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴時取得最小值3.故答案為：3．13.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則__________，__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)角終邊經(jīng)過點(diǎn)，從而可求出，，再根據(jù)角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而可求解.【詳解】對空：由點(diǎn)在角的終邊上，所以，.對空：由角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以.故答案為：；.14.已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則__________；若對，都有，則m的最大值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)過原點(diǎn)，從而求出的值；對于，只需求出，從而可求解.【詳解】對空：由函數(shù)過原點(diǎn)，即，得；對空：由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且恒成立，所以的最大值為.故答案為：；.15.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則的一個取值為__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)圖象平移變換得到的解析式，結(jié)合圖象關(guān)于y軸對稱，令，求出的值.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則，即，所以，即，，所以的一個取值為,故答案為：（答案不唯一）.16.已知函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，記函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，是偶函數(shù)；③當(dāng)時，有3個零點(diǎn)；④當(dāng)時，對任意，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的新定義，結(jié)合函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點(diǎn)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，可得，所以，對于①中，當(dāng)時，，令，解得，如圖所示，，結(jié)合圖象，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以①正確；對于②中，當(dāng)時，可得，令，即，解得或，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，即，其中，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)不是偶函數(shù)，所以②不正確；對于③中，當(dāng)時，令，即，解得，當(dāng)時，令，即，解得，當(dāng)時，令，即，解得或，若時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，分別為，和；若時，即時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，分別為，和；若時，即時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，分別為，和；綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，所以③正確；對于④中，當(dāng)時，令，即，解得，將點(diǎn)代入函數(shù)，可得，解得，如圖所示，當(dāng)時，函數(shù)，所以④不正確.故答案為：①③.三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17.已知集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡集合，直接利用并集運(yùn)算求解即可；（2）化簡集合，根據(jù)交集運(yùn)算結(jié)果求解參數(shù).【小問1詳解】由題知，，，因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】因?yàn)?，且，，所?18.已知為銳角，．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系和兩角和正切公式化簡得結(jié)果；（2）根據(jù)二倍角公式得，，再根據(jù)兩角和余弦公式得，最后根據(jù)范圍求結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)闉殇J角，，所以，所以，又因?yàn)椋?，【小?詳解】因?yàn)闉殇J角，，所以，解得，所以，，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，所以.19.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)時，的最小值為3，求m的值．【答案】（1）2（2）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明見解析（3）7【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性；（3）由（2）的單調(diào)性，可得，求出的值.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以.【小問2詳解】在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，且，則，因，，所以，所以，即，所以，即，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問3詳解】時，由（2）可得在上單調(diào)遞增，所以，所以.20.設(shè)函數(shù)，且．（1）求的值；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值及的零點(diǎn)．條件①：是奇函數(shù)；條件②：圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）選擇①，不存在；選擇②，，；選擇③，，【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)圖象的性質(zhì)以及三角函數(shù)的單調(diào)性，即可逐個條件進(jìn)行判斷和求解.【小問1詳解】，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，選擇①：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以與已知矛盾，所以不存在.選擇②：因?yàn)閳D象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是，所以，，，則，令，解得.即零點(diǎn)為.選擇③：對于，，令，，解得，，即增區(qū)間為，減區(qū)間為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以時符合，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且，解得，則，所以令，解得，即零點(diǎn)為.21.已知集合，其中且，非空集合，記為集合B中所有元素之和，并規(guī)定當(dāng)中只有一個元素時，．（1）若，寫出所有可能的集合B；（2）若，且是12的倍數(shù)，求集合B的個數(shù)；（3）若，證明：存在非空集合，使得是的倍數(shù)．【答案】21.，，，22.423.證明見詳解【解析】【分析】根據(jù)條件，可列出（1）（2）中所有滿足條件的；對（3），分情況討論，尋找使是倍數(shù)的集合.小問1詳解】所有可能的集合為：，，，.【小問2詳解】不妨設(shè)：，由于，且，所以.由題意，是12的倍數(shù)時，或.當(dāng)時，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時，成立，故符合題意.當(dāng)時，若，則，故或符合題意；若，則，故符合題意；若，則，無解.綜上，所有可能的集合為，，，.故滿足條件的集合的個數(shù)為.【小問3詳解】（1）當(dāng)時，設(shè)，則，這個數(shù)取個值，故其中有兩個數(shù)相等.又因?yàn)?，于是，從而互不相等，互不相等，所以存在，使?又因，故.則，則，結(jié)論成立（2）當(dāng)時，不妨設(shè)，則（），在這個數(shù)中任取3個數(shù)，.若與都是的倍數(shù)，，這與矛盾