高一數(shù)學分層訓練AB卷(人教A版2019必修第二冊)第八章立體幾何初步知識詳解-(原卷版+解析)

第八章立體幾何初步知識詳解一．基本立體圖形多面體一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.旋轉體一條平面曲線，包括直線，繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉所成的曲面叫做旋轉面.封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.這條定直線叫做旋轉體的軸.棱柱一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.在棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，其余各面叫做棱柱的側面，它們都是平行四邊形，相鄰兩邊的公共邊叫做棱柱的側棱，側面和底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形，我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.一般地，我們把側面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多邊形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱，也叫做平行六面體.棱錐一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面，相鄰兩邊的公共邊叫做棱錐的側棱，這側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.棱錐，用表示頂點和各面各頂點的字母來表示，其中三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.棱臺用一個平行于圓錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.在棱臺中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面面，類似于棱柱、棱錐，棱臺也有側面、側棱和頂點.圓柱與矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面，叫做圓柱的底面，平行的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊叫做圓柱側面的母線.圓錐與圓柱一樣，圓錐也可以看作是由平面圖形旋轉而成的.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐.圓錐也有底面、側面和母線.圓錐也用表示它的軸的字母表示.8.圓臺與棱臺相似，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側面、母線.9.球半圓與它的直徑所在直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑，連接球面上兩點，并且經(jīng)過圓心的線段叫做球的直徑.球常用表示全新的字母來表示，記作球O.棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球是常見的簡單幾何體，其中棱柱與圓柱統(tǒng)稱為主體，圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺，統(tǒng)稱為臺體.簡單組合體除原柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體稱作簡單組合體.簡單組合體的構成有兩種基本形式，一種是由簡單幾何體拼接而成，一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.題型一：旋轉體的有關概念例1.1.用一個平面去截一個圓臺，得到的圖形不可能是（

）A．矩形 B．圓形 C．梯形 D．三角形2.下列說法中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行

B．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一條側棱就是棱柱的高

D．棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形3.．已有OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．(1)若，求圓M的面積；(2)若圓M的面積為，求OA．舉一反三1．將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括（

）A．一個圓臺、兩個圓錐 B．一個圓臺、一個圓柱C．兩個圓臺、一個圓柱 D．一個圓柱、兩個圓錐2．下面多面體中，是棱柱的有()A．1個

B．2個

C．3個

D．4個3．已知一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1cm，2cm，高為3cm，求該圓臺的母線長.4.已知正四棱錐的底面面積為，一條側棱長為，求它的高與斜高.二.空間幾何體的直觀圖斜二測畫法的基本步驟：①建立適當直角坐標系（盡可能使更多的點在坐標軸上）②建立斜坐標系，使=450（或1350）③畫對應圖形在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y‘軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄恢庇^圖與原圖形的面積關系：例2．某水平放置的用斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，若，則中（）A． B．C． D．舉一反三1．如圖，正方形的邊長為1，它是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．2．關于斜二測畫法畫直觀圖說法不正確的是（）A．在實物圖中取坐標系不同，所得的直觀圖有可能不同B．平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸C．平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變D．斜二測坐標系取的角可能是三．簡單幾何體的表面積與體積1．柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側＝ChV＝Sh正棱錐S側＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側面積與底面面積之和．[難點正本疑點清源]1．幾何體的側面積和全面積幾何體的側面積是指(各個)側面面積之和，而全面積是側面積與所有底面積之和．對側面積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行．要特別留意根據(jù)幾何體側面展開圖的平面圖形的特點來求解相關問題．如直棱柱(圓柱)側面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側面展開圖為扇形，此扇形的特點是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點可以求出展開圖扇形的圓心角的大小．2．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．題型一：棱柱、棱錐、棱臺的側面積與表面積例3（1）．如圖，設計一個正四棱錐形冷水塔塔頂，高是0.85m，底的邊長是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板（保留兩位有效數(shù)字）？（2）．如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺的側面面積之比；(2)若大棱錐PO的側棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側面面積和表面積.舉一反三1．已知四面體S-ABC的棱長為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．2．底面是菱形的直四棱柱中，體對角線長分別為9和15，高是5，求該直四樓柱的側面積.(本題需自己作圖并指明長度，無圖不得分)題型二：棱柱、棱錐、棱臺的體積例.4.如圖為正四棱錐P-ABCD，PO⊥平面ABCD，BC=3，PO=2.(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；(2)求正四棱錐P-ABCD的表面積.舉一反三1．如圖，在幾何體中，，，，側棱，，均垂直于底面，，，，求該幾何體的體積.2．某人買了一罐容積為VL，高為am的直三棱柱形罐裝進口液體車油，由于不小心摔落地上，結果有兩處破損并發(fā)生滲漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為bm，cm的地方（如圖）．為了減少罐內(nèi)液體車油的損失，該人采用破口朝上，傾斜罐口的方式拿回家．試問罐內(nèi)液體車油最多還能剩多少？題型三：圓柱、圓錐、圓臺臺的側面積與表面積例5.已知某圓柱底面半徑和母線長都是.(1)求出該圓柱的表面積和體積；(2)若圓錐與該圓柱底面半徑?高都相等，求圓錐的側面積.舉一反三1．在底面半徑為2高為的圓錐中內(nèi)接一個圓柱，且圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1∶4，求圓柱的表面積．2．圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm，它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是多少？(結果中保留π)題型四：圓柱、圓錐、圓臺臺的體積例6：1．如圖，已知圓錐的軸截面是腰長為的等腰直角三角形．試求：（1）圓錐的側面積；（2）圓錐的體積．13．設圓臺的高為3，在軸截面中母線與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，求圓臺的側面積及體積.舉一反三1．某部門建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m，該部門擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是底面直徑比原來增加4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經(jīng)濟些？為什么？題型五：球的體積與表面積例7：1．如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積（其中）及其體積．舉一反三1．有一種空心鋼球，質(zhì)量為，測得外徑為，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為，結果精確到）．2．如圖，古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)：圖中圓柱的體積是球體積的，圓柱的表面積也是球表面積的．他的發(fā)現(xiàn)是否正確？試說明理由．四．空間點、直線、平面之間的位置關系一.平面基本性質(zhì)即三條公理公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.符號語言作用判斷線在面內(nèi)確定一個平面證明多點共線公理2的三條推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.二．直線與直線的位置關系共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.（既不平行，也不相交）1異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交.3.空間兩條異面直線的畫法.4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個，兩對對頂角，這時根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學生自己猜想應該是那一個角）.如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說兩條直線垂直三．直線與平面的位置關系有三種情況：在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點．符號aα相交——有且只有一個公共點符號a∩α=A平行——沒有公共點符號a∥α說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示平面與平面的位置關系有二種情況：平面相交：平面平行：等角定理如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，這兩個角相等或互補題型一：平面例8：（2007·重慶·高考真題（理））若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分題型二：點、線確定平面數(shù)量問題例9：（2021·上海市大同中學三模）下列命題正確的是（

）A．三點確定一個平面B．三條相交直線確定一個平面C．對于直線、、，若，，則D．對于直線、、，若，，則舉一反三（2021·浙江·模擬預測）在空間，已知直線及不在上兩個不重合的點?，過直線做平面，使得點?到平面的距離相等，則這樣的平面的個數(shù)不可能是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個題型三：空間中點、線共面問題例10：（2009·湖南·高考真題（文））平行六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為

A．3 B．4 C．5 D．6舉一反三（2022·北京東城·三模）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為CC1，D1C1的中點，則下列直線中與直線相交的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線題型四：空間中點共線問題例11：（2019·上海奉賢·一模）空間四個點中，三點共線是這四個點共面的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件； C．充要條件；D．既非充分又非必要條件．舉一反三（2022·河南·三模（文））如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．(1)證明：E，F(xiàn)，D，B四點共面．．．題型五：空間中線共點問題例12：（2022·河南·三模（文））如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．舉一反三（2021·江西南昌·一模（理））如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點一定在直線上D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上題型六：空間中平面性質(zhì)例13：（2022·上海靜安·模擬預測）正方體的棱長為1，、分別為、的中點，則平面截正方體所得的截面面積為____________．舉一反三（2022·江西·南昌市八一中學三模（理））在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．題型七：等角定理例14：（2022·四川·成都七中三模（理））過正方形的頂點作直線，使得與直線，所成的角均為，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4舉一反三（多選）（2022·河北廊坊·模擬預測）我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補題型八：異面直線例15：1.（2015·湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件2．（2021·全國·高考真題（理））在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．舉一反三1.（2016·上?！じ呖颊骖}（文））如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是（）.A．直線AA1 B．直線A1B1C．直線A1D1 D．直線B1C12．（2022·河南安陽·模擬預測（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．五．空間直線、平面的平行直線與直線平行平行與同一直線的兩直線平行例16：1．已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行，則線面平行.符號：例17.如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點是的中點.求證：平面.注：證明線面垂直1，找中位線2，找平行四邊形3，正兩個面平行舉一反三如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點.求證：平面直線和平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行，則線線平行.符號:例18.如圖，在三棱錐中，分別是中點，平面平面.求證：.舉一反三1．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．2．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC=l.求證:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．平面與平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡記為：線面平行，則面面平行.符號：例19.如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.舉一反三1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點．(1)求證：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中點，求證：平面B1DF∥平面ACE．平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.簡記為：面面平行，則線線平行.符號：補充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行例20.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點．M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接FN，求證：FN∥CM．舉一反三1．如圖，已知平面平面，點P是平面，外一點，且直線PB，PD分別與，相交于點A，B和點C，D．如果，，，求PD的長．2．如圖，是邊長為2的等邊三角形，在平面四邊形ACDE中，，，，，求證：平面ABC．六．空間直線、平面的垂直直線與直線垂直1異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交.3.空間兩條異面直線的畫法.4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個，兩對對頂角，這時根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學生自己猜想應該是那一個角）.如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說兩條直線垂直例21.如圖所示，正方體中，E，F(xiàn)分別為平面與的中心，則與所成角的度數(shù)是_____________．舉一反三1．判斷正誤．（1）異面直線所成的角的大小與O點的位置有關．即O點位置不同時，這一角的大小也不同．()（2）異面直線a與b所成角可以是．()（3）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．()直線與平面垂直的判定⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直.⑵判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.簡記為：線線垂直，則線面垂直.符號：例22：（2012·廣東·高考真題（理））如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.（1）證明：BD⊥平面PAC；舉一反三（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；直線與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號：性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行符號：推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．符號語言：a∥b,a⊥α，?b⊥α例23：（2022·全國·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；舉一反三（2012·廣東·高考真題（理））如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.（1）證明：BD⊥平面PAC；2.（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；

平面與平面垂直的判定⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.⑵判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直.簡記為：線面面垂直，則面面垂直.符號：推論：如果一個平面平行于另一個平面的一條垂線，則這個平面與另一個平面垂直.例24：（2022·全國·高考真題（文））如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；．舉一反三（2022·全國·高考真題（理））如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.簡記為：面面垂直，則線面垂直.證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）；②線面垂直的性質(zhì)③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；例25：（2015·山東·高考真題）如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．舉一反三（2014·江西·高考真題（理））如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：2.（2022·全國·模擬預測（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.(1)證明：平面；證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）；②線面垂直的性質(zhì)③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；微專題：三種成角1.異面直線成角步驟：1、平移，轉化為相交直線所成角；2、找銳角（或直角）作為夾角；3、求解注意：取值范圍：（0.,90.].例1．如圖，是圓的直徑，點是弧的中點，分別是的中點，求異面直線與所成的角.2.線面成角：斜線與它在平面上的射影成的角，取值范圍：（0.,90.].如圖：PA是平面的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，為線面角.例2．如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為4和3，側棱的長為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設是中點，求直線與平面所成角的正切值大小3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形取值范圍：（0.,180.）例3.如圖，三棱柱側棱垂直于底面,,,為的中點.（1）求證：平面（2）若,求二面角的余弦值.微專題2：定義法和等體積法例1．已知四面體中面，，垂足為，，為中點，,（1）求證：面；（2）求點到面的距離．例2．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離．例3．如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是和的中點.(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.微專題3：走進高考1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．4．（2021·全國·高考真題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐P?ABC的體積.6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．7．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；（2）點在平面內(nèi)．8．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．9．（2018·全國·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．10．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側面積．第八章立體幾何初步知識詳解一．基本立體圖形多面體一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.旋轉體一條平面曲線，包括直線，繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉所成的曲面叫做旋轉面.封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.這條定直線叫做旋轉體的軸.棱柱一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.在棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，其余各面叫做棱柱的側面，它們都是平行四邊形，相鄰兩邊的公共邊叫做棱柱的側棱，側面和底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形，我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.一般地，我們把側面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多邊形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱，也叫做平行六面體.棱錐一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面，相鄰兩邊的公共邊叫做棱錐的側棱，這側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.棱錐，用表示頂點和各面各頂點的字母來表示，其中三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.棱臺用一個平行于圓錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.在棱臺中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面面，類似于棱柱、棱錐，棱臺也有側面、側棱和頂點.圓柱與矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面，叫做圓柱的底面，平行的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊叫做圓柱側面的母線.圓錐與圓柱一樣，圓錐也可以看作是由平面圖形旋轉而成的.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐.圓錐也有底面、側面和母線.圓錐也用表示它的軸的字母表示.8.圓臺與棱臺相似，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側面、母線.9.球半圓與它的直徑所在直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑，連接球面上兩點，并且經(jīng)過圓心的線段叫做球的直徑.球常用表示全新的字母來表示，記作球O.棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球是常見的簡單幾何體，其中棱柱與圓柱統(tǒng)稱為主體，圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺，統(tǒng)稱為臺體.簡單組合體除原柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成的，這些幾何體稱作簡單組合體.簡單組合體的構成有兩種基本形式，一種是由簡單幾何體拼接而成，一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.題型一：旋轉體的有關概念例1.1.用一個平面去截一個圓臺，得到的圖形不可能是（

）A．矩形 B．圓形 C．梯形 D．三角形【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)圓臺的結構特征結合空間想象可得結果.【詳解】根據(jù)圓柱的結構特征，用一個平行底面的平面截圓臺可得圓形，當平面與圓柱軸所在直線線平行或經(jīng)過軸所在直線時，可得梯形，不論平面與圓臺如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故選：AD2.下列說法中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行

B．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一條側棱就是棱柱的高

D．棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形【答案】A【解析】【詳解】對A，棱柱的兩個底面是平行，故正確對B，不一定，比如正方體，故錯誤對C，不一定，比如平行六面體對D，不一定，比如平行六面體故選：A3.．已有OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．(1)若，求圓M的面積；(2)若圓M的面積為，求OA．解：(1)過球心作截面，如圖，因為，所以,即圓M的半徑為，圓M的面積為，(2)因為圓M的面積為，所以圓M的半徑.設球的半徑為R,則，解得，所以.舉一反三1．將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括（

）A．一個圓臺、兩個圓錐 B．一個圓臺、一個圓柱C．兩個圓臺、一個圓柱 D．一個圓柱、兩個圓錐【答案】D【解析】【分析】畫出等腰梯形，考慮較長的底邊，旋轉可得形狀．【詳解】設等腰梯形，較長的底邊為，則繞著底邊旋轉一周可得一個圓柱和兩個圓錐，軸截面如圖，故選：D2．下面多面體中，是棱柱的有()A．1個

B．2個

C．3個

D．4個【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)棱柱的定義可知依次為：四棱柱，三棱柱，五棱柱，六棱柱故選：D3．已知一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1cm，2cm，高為3cm，求該圓臺的母線長.【答案】cm【解析】【分析】畫出圓臺的軸截面，再利用已知條件計算即可得解.【詳解】如圖，等腰梯形ABCD是圓臺的軸截面，其中O1，O2是圓臺上下底面圓圓心，過D作于E，則線段DE長為圓臺的高，AD長是母線長，即DE=3cm，而O1D=1cm，O2A=2cm，于是得(cm)，所以該圓臺的母線長為cm.4.已知正四棱錐的底面面積為，一條側棱長為，求它的高與斜高.【答案】高為，斜高為.【解析】【分析】在正四棱椎中，作底面于點，取中點，連接、、，計算出底面的邊長，結合勾股定理可計算出該正四棱錐的高和斜高.【詳解】如圖，在正四棱椎中，作底面于點，取中點，連接、、，由正四棱錐的底面面積為可得，所以，.因為，都是直角三角形，側棱，所以高為，斜高.二.空間幾何體的直觀圖斜二測畫法的基本步驟：①建立適當直角坐標系（盡可能使更多的點在坐標軸上）②建立斜坐標系，使=450（或1350）③畫對應圖形在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y‘軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；直觀圖與原圖形的面積關系：例2．某水平放置的用斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，若，則中（）A． B．C． D．【答案】D【分析】，所以選項A錯誤；，所以選項B錯誤；，所以選項C錯誤，選項D正確.【詳解】設，所以，所以，所以在中，，所以選項A錯誤；由題得，，所以，所以選項B錯誤；因為，所以，所以選項C錯誤，選項D正確.故選：D舉一反三1．如圖，正方形的邊長為1，它是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法求解.【詳解】直觀圖如圖所示：由圖知：原圖形的周長為,故選：C2．關于斜二測畫法畫直觀圖說法不正確的是（）A．在實物圖中取坐標系不同，所得的直觀圖有可能不同B．平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸C．平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變D．斜二測坐標系取的角可能是【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，平行關系不變，平行于、軸的線段長度不變，平行于軸的線段長度減半，直角變?yōu)榛蜻M行判斷，即可得出結論.【詳解】對于A選項，在實物圖中取坐標系不同，所得的直觀圖有可能不同，A選項正確；對于B、C選項，由平行于軸或軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變，平行于軸的線段長度在直觀圖中是原來的一半，則B選項正確，C選項錯誤；對于D選項，在平面直角坐標系中，，在斜二測畫法中，或，D選項正確.故選：C.三．簡單幾何體的表面積與體積1．柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側＝ChV＝Sh正棱錐S側＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側面積與底面面積之和．[難點正本疑點清源]1．幾何體的側面積和全面積幾何體的側面積是指(各個)側面面積之和，而全面積是側面積與所有底面積之和．對側面積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行．要特別留意根據(jù)幾何體側面展開圖的平面圖形的特點來求解相關問題．如直棱柱(圓柱)側面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側面展開圖為扇形，此扇形的特點是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點可以求出展開圖扇形的圓心角的大小．2．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．題型一：棱柱、棱錐、棱臺的側面積與表面積例3（1）．如圖，設計一個正四棱錐形冷水塔塔頂，高是0.85m，底的邊長是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板（保留兩位有效數(shù)字）？【答案】3.4【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐的斜高，再利用正棱錐的側面積公式即可求出結果．【詳解】如圖，連接SE：表示塔的頂點，表示底面的中心，則是高，設是斜高，在中，根據(jù)勾股定理得，所以，答：制造這種塔頂需要鐵板約．（2）．如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺的側面面積之比；(2)若大棱錐PO的側棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側面面積和表面積.【答案】(1)；(2)側面積；表面積.【解析】【分析】（1）設小棱錐的底面邊長為，斜高為，從而可得出大棱錐的底面邊長和斜高，然后可分別求出大棱錐，小棱錐，棱臺的側面積，從而可求出大棱錐，小棱錐，棱臺的側面積之比；（2）根據(jù)條件可求出大棱錐的底面邊長和斜高，從而可求出大棱錐的側面積；根據(jù)（1）的結論可求出棱臺的側面積；再求出棱臺的上下底面的面積，從而可求出棱臺的表面積.(1)設小棱錐的底面邊長為，斜高為，則大棱錐的底面邊長為，斜高為，所以大棱錐的側面積為，小棱錐的側面積為，棱臺的側面積為，所以大棱錐，小棱錐，棱臺的側面積之比.(2)因為小棱錐的底面邊長為4cm，所以大棱錐的底面邊長為8cm，因為大棱錐的側棱長為12cm，所以大棱錐的斜高為cm，所以大棱錐的側面積為，所以棱臺的側面積為，棱臺的上，下底面的面積和為，所以棱臺的表面積為.舉一反三1．已知四面體S-ABC的棱長為a，各面均為等邊三角形，求它的表面積．【答案】.【解析】【分析】由等邊三角形的面積計算公式可得：的面積．即可得出四面體的表面積．【詳解】如圖所示，由等邊三角形的面積計算公式可得：的面積．四面體的表面積為．2．底面是菱形的直四棱柱中，體對角線長分別為9和15，高是5，求該直四樓柱的側面積.(本題需自己作圖并指明長度，無圖不得分)【答案】【解析】【分析】設題中直四棱柱為，作出圖形，設底面對角線，其交點為，由題意知，根據(jù)題意求出底面菱形的邊長，進而可以求出側面積.【詳解】設題中直四棱柱為，如圖所示，設底面對角線，其交點為，由題意知,所以，所以.因為底面是菱形，所以,所以，即,所以該直四棱柱的側面積為.題型二：棱柱、棱錐、棱臺的體積例.4.如圖為正四棱錐P-ABCD，PO⊥平面ABCD，BC=3，PO=2.(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；(2)求正四棱錐P-ABCD的表面積.【答案】(1)6；(2)24.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結合錐體體積公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，結合棱錐表面積求法，即可求解.(1)根據(jù)題意，得.(2)如圖所示，作的中點，連接，，則，故正四棱錐P-ABCD的表面積.舉一反三1．如圖，在幾何體中，，，，側棱，，均垂直于底面，，，，求該幾何體的體積.【答案】96【解析】【分析】在上取點，在上取點，使得，連接，則幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，分別求出三棱柱和四棱錐的體積，即可得出答案.【詳解】解：在上取點，在上取點，使得，連接，則幾何體為直三棱柱，因為，，，所以，所以是以為直角的直角三角形，，，則多面體是四棱錐，高為8，所以幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，，，所以該幾何體的體積為.2．某人買了一罐容積為VL，高為am的直三棱柱形罐裝進口液體車油，由于不小心摔落地上，結果有兩處破損并發(fā)生滲漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為bm，cm的地方（如圖）．為了減少罐內(nèi)液體車油的損失，該人采用破口朝上，傾斜罐口的方式拿回家．試問罐內(nèi)液體車油最多還能剩多少？【答案】L.【解析】【分析】由題可知當平面與水平面平行時，容器內(nèi)的油是最理想的剩余量，然后利用椎體體積公式及條件即求.【詳解】如圖所示，設直三棱柱的底面面積為S，則V=aS,當平面與水平面平行時，容器內(nèi)的油是最理想的剩余量，連接，則，∵，又，∴，∴，∴罐內(nèi)液體車油最多還能剩L.題型三：圓柱、圓錐、圓臺臺的側面積與表面積例5.已知某圓柱底面半徑和母線長都是.(1)求出該圓柱的表面積和體積；(2)若圓錐與該圓柱底面半徑?高都相等，求圓錐的側面積.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）、根據(jù)圓柱的表面積和體積公式計算即可；（2）、先求出圓錐母線長，再根據(jù)圓錐側面積公式計算即可.(1)圓柱底面半徑和母線長都是,；；(2)由題意可知圓錐底面半徑?高為，圓錐母線長為.舉一反三1．在底面半徑為2高為的圓錐中內(nèi)接一個圓柱，且圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1∶4，求圓柱的表面積．【答案】【解析】【分析】根據(jù)底面積之比可得半徑之比，進一步得到母線長與圓錐的高之比，最后根據(jù)圓柱表面積公式計算即可.【詳解】因為圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1∶4，所以圓柱的底面半徑與圓錐的底面半徑之比為1∶2，所以圓柱的母線長與圓錐的高之比為1∶2，所以圓柱的底面半徑為1，母線長為．所以圓柱的表面積2．圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm，它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是多少？(結果中保留π)【答案】表面積為1100πcm2.【解析】【分析】計算得到，，，再利用圓臺的表面積公式計算得到答案.【詳解】如圖，設圓臺的上底面周長為c.因為扇環(huán)的圓心角是180°，所以c＝π·SA＝2π×10，故SA＝20.同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，因此S表面積＝S側＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋＋＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2).故圓臺的表面積為1100πcm2.題型四：圓柱、圓錐、圓臺臺的體積例6：1．如圖，已知圓錐的軸截面是腰長為的等腰直角三角形．試求：（1）圓錐的側面積；（2）圓錐的體積．【答案】（1）圓錐的側面積；（2）圓錐的體積．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的母線長和結構特征求出圓錐的高和底面半徑，即可求出側面積；（2）根據(jù)圓錐體積公式可求.【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，，∴，即圓錐的高h=1，圓錐的底面半徑r=1．（1）圓錐的側面積；（2）圓錐的體積．13．設圓臺的高為3，在軸截面中母線與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，求圓臺的側面積及體積.【答案】側面積為，體積為.【解析】【分析】根據(jù)條件求出圓臺的上下底面半徑和母線長，然后用公式求面積和體積.【詳解】如圖：作出軸截面，設上下底面半徑，母線長分別為，作與，則，，所以圓臺的側面積圓臺的體積圓臺的側面積為，體積為.舉一反三1．某部門建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m，該部門擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是底面直徑比原來增加4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經(jīng)濟些？為什么？【答案】(1)方案一：(m3)；方案二：96π(m3).(2)方案一：S1=32π(m2)；方案二：S2=60π(m2).(3)方案二比方案一更加經(jīng)濟，理由見詳解.【解析】【分析】（1）按照圓錐體積公式S·h求得兩種方案的倉庫體積即可；（2）分別求得兩種方案的母線長，從而根據(jù)半徑等求得表面積；（3）比較兩種方案的體積大小及表面積大小，判斷經(jīng)濟性.(1)若按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積為V1=S·h=×π××4=(m3).若按方案二，倉庫的高變成8m，則倉庫的體積為V2=S·h=×π××8=96π(m3).(2)若按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，半徑為8m.圓錐的母線長為l1==4(m)，則倉庫的表面積為S1=π×8×4=32π(m2).若按方案二，倉庫的高變成8m.圓錐的母線長為l2==10(m)，則倉庫的表面積為S2=π×6×10=60π(m2).(3)由（1）、（2）知，V1<V2，S2<S1，故方案二體積更大，表面積更小，所需耗材更少，即方案二比方案一更加經(jīng)濟.題型五：球的體積與表面積例7：1．如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積（其中）及其體積．【答案】，【解析】【分析】陰影部分旋轉后，可看作是球體中間去掉兩個同底的圓錐體，其表面積為外側球體的表面積加上兩個圓錐的側面積，其體積為球體體積減掉兩個圓錐的體積，計算求解即可.【詳解】過O作幾何體的截面如圖所示，過C作于點，由題意得，，，，，.，，，.又，，，.舉一反三1．有一種空心鋼球，質(zhì)量為，測得外徑為，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為，結果精確到）．【答案】【解析】【分析】設球的內(nèi)徑為，由題意可得，解方程即可求解.【詳解】設球的內(nèi)徑為，因為鋼的密度為，空心鋼球質(zhì)量為，所以空心鋼球體積為，因為空心鋼球體積為，所以，解得，所以空心鋼球的內(nèi)徑約為.2．如圖，古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)：圖中圓柱的體積是球體積的，圓柱的表面積也是球表面積的．他的發(fā)現(xiàn)是否正確？試說明理由．【答案】正確，理由見解析【解析】【分析】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球與圓柱的體積與表面積，作比即可得出結論．【詳解】解：設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，，，，，，．所以他的發(fā)現(xiàn)正確.四．空間點、直線、平面之間的位置關系一.平面基本性質(zhì)即三條公理公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.符號語言作用判斷線在面內(nèi)確定一個平面證明多點共線公理2的三條推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.二．直線與直線的位置關系共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.（既不平行，也不相交）1異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.2．兩條異面直線的性質(zhì)：既不平行，也不相交.3.空間兩條異面直線的畫法.4．異面直線所成的角：將兩條異面直線平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4個，兩對對頂角，這時根據(jù)平面內(nèi)的兩條直線所成角的范圍讓學生自己猜想應該是那一個角）.如果兩條異面直線夾角等于90°，我們說兩條直線垂直三．直線與平面的位置關系有三種情況：在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點．符號aα相交——有且只有一個公共點符號a∩α=A平行——沒有公共點符號a∥α說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示平面與平面的位置關系有二種情況：平面相交：平面平行：等角定理如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，這兩個角相等或互補題型一：平面例8：（2007·重慶·高考真題（理））若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分【答案】C【解析】【詳解】試題分析：畫出圖形，用三線表示三個平面，結合圖形進行分析．解：可用三線a，b，c表示三個平面，其截面如圖，將空間分成7個部分，故選C．題型二：點、線確定平面數(shù)量問題例9：（2021·上海市大同中學三模）下列命題正確的是（

）A．三點確定一個平面B．三條相交直線確定一個平面C．對于直線、、，若，，則D．對于直線、、，若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)可判定AB，根據(jù)平行線間的傳遞性可判定C，根據(jù)空間直線的垂直關系可判定D.【詳解】對A，不在一條直線上的三點確定一個平面，故A錯誤；對B，如正方體一個頂點出發(fā)的三條棱所在直線確定三個平面，故B錯誤；對C，根據(jù)空間中平行線間的傳遞性可得若，，則，故C正確；對D，若，，則相交、平行或異面，故D錯誤.故選：C.舉一反三（2021·浙江·模擬預測）在空間，已知直線及不在上兩個不重合的點?，過直線做平面，使得點?到平面的距離相等，則這樣的平面的個數(shù)不可能是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【答案】C【解析】分情況討論可得出.【詳解】（1）如圖，當直線與異面時，則只有一種情況；（2）當直線與平行時，則有無數(shù)種情況，平面可以繞著轉動；（3）如圖，當過線段的中垂面時，有兩種情況.故選：C.題型三：空間中點、線共面問題例10：（2009·湖南·高考真題（文））平行六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【詳解】如圖，用列舉法知合要求的棱為：、、、、故選C．舉一反三（2022·北京東城·三模）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為CC1，D1C1的中點，則下列直線中與直線相交的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】A【解析】【分析】利用正方體的性質(zhì)可得，進而可判斷A，根據(jù)經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線可判斷BCD.【詳解】連接，則，由，可得四邊形為平行四邊形，∴，，所以，即四邊形為梯形，故直線與直線相交，直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線.故選：A.題型四：空間中點共線問題例11：（2019·上海奉賢·一模）空間四個點中，三點共線是這四個點共面的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件； C．充要條件；D．既非充分又非必要條件．【答案】A【解析】【分析】空間四個點中，有三個點共線，根據(jù)一條直線與直線外一點可以確定一個平面得到這四個點共面，前者可以推出后者，當四個點共面時，不一定有三點共線，后者不一定推出前者．【詳解】解：空間四個點中，有三個點共線，根據(jù)一條直線與直線外一點可以確定一個平面得到這四個點共面，前者可以推出后者，當四個點共面時，不一定有三點共線，后者不一定推出前者，空間四個點中，有三個點共線是這四個點共面的充分不必要條件，故選：A．舉一反三（2022·河南·三模（文））如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．(1)證明：E，F(xiàn)，D，B四點共面．．【解析】(1)如圖，連接EF，BD，．∵EF是的中位線，∴．∵與平行且相等，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴E，F(xiàn)，D，B四點共面．題型五：空間中線共點問題例12：（2022·河南·三模（文））如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點．證明：BE，DF，三線共點．證明：∵，且，∴直線BE和DF相交．延長BE，DF，設它們相交于點P，∵直線BE，直線平面，∴平面，∵直線DF，直線平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴BE，DF，三線共點．舉一反三（2021·江西南昌·一模（理））如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點一定在直線上D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上【答案】C【解析】【分析】由已知可得四邊形為平面四邊形，且，，然后逐一分析四個選項得答案．【詳解】解：，，，則，且，又，，，則，且，，且，四邊形為平面四邊形，故直線，一定共面，故錯誤；若直線與平行，則四邊形為平行四邊形，可得，與矛盾，故錯誤；由，且，，，可得直線，一定相交，設交點為，則，又平面，可得平面，同理，平面，而平面平面，，即直線，一定相交，且交點一定在直線上，故正確，錯誤．故選：．題型六：空間中平面性質(zhì)例13：（2022·上海靜安·模擬預測）正方體的棱長為1，、分別為、的中點，則平面截正方體所得的截面面積為____________．【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，可得平面截正方體所得的截面為等腰梯形，由已知結合梯形面積公式求解.【詳解】如圖，連接則，可得等腰梯形為平面截正方體所得的截面圖形，由正方體的棱長為1，得，，，則到的距離為，∴，故答案為：.舉一反三（2022·江西·南昌市八一中學三模（理））在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】延長交的延長線于，利用平面的基本性質(zhì)可得直線即為直線，然后利用正方體的性質(zhì)可得，即得.【詳解】延長交的延長線于，連接交于，∵平面，平面，平面平面，∴，故直線即為直線，取的中點，連接，又點，分別是棱，的中點，∴，∴，，∴，即.故選：B.題型七：等角定理例14：（2022·四川·成都七中三模（理））過正方形的頂點作直線，使得與直線，所成的角均為，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由將問題轉化為過點A在空間作直線l，使得與直線，所成的角均為，1條在平面內(nèi)，2條在平面外.【詳解】因為，所以作直線，使得與直線，所成的角均為，即過點A在空間作直線l，使得與直線，所成的角均為.因為，的外角平分線與所成的角相等，均為，所以在平面內(nèi)有一條滿足要求.因為的角平分線與所成的角相等均為，將角平分線繞點D向上轉動到與面垂直的過程中，存在兩條直線與直線所成的角都等于.故符合條件的直線有3條.故選：C【點睛】本題考查直線與直線所成的角，屬于基礎題.舉一反三（多選）（2022·河北廊坊·模擬預測）我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關系不確定，可判斷B，通過舉反例可判斷D.【詳解】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；根據(jù)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補可知C正確；如圖，且，則但和的關系不確定，故D錯誤.故選：AC題型八：異面直線例15：1.（2015·湖北·高考真題（文））表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【解析】【詳解】若p：是異面直線，由異面直線的定義知，不相交，所以命題q：不相交成立，即p是q的充分條件；反過來，若q：不相交，則可能平行，也可能異面，所以不能推出是異面直線，即p不是q的必要條件，故應選．考點：本題考查充分條件與必要條件、異面直線，屬基礎題．2．（2021·全國·高考真題（理））在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D舉一反三1.（2016·上?！じ呖颊骖}（文））如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是（）.A．直線AA1 B．直線A1B1C．直線A1D1 D．直線B1C1【答案】D【解析】【詳解】試題分析：只有與在同一平面內(nèi)，是相交的，其他A，B，C中的直線與都是異面直線，故選D．【考點】異面直線【名師點睛】本題以正方體為載體，研究直線與直線的位置關系，突出體現(xiàn)了高考試題的基礎性，題目不難，能較好地考查考生分析問題與解決問題的能力、空間想象能力等.2．（2022·河南安陽·模擬預測（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面即可推理計算作答.【詳解】在四面體ABCD中，平面，平面，則，而，即，又，平面，則有平面，而平面，于是得，因P為AC的中點，即，而，平面，則平面，又平面，從而得，所以直線BP與AD所成的角為.故選：D五．空間直線、平面的平行直線與直線平行平行與同一直線的兩直線平行例16：1．已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．【答案】證明見解析【解析】【分析】連接AC，利用正方體的性質(zhì)，得到四邊形AA′C′C為平行四邊形，再結合M，N分別是CD，AD的中點，得到MN∥A′C′且MN=A′C′證明.【詳解】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分別是CD，AD的中點，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行，則線面平行.符號：例17.如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點是的中點.求證：平面.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)圖像，連接，與相交與，連接，是平行四邊形，是的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得證.【詳解】如圖，連接，與相交與，連接，∵是平行四邊形，∴是的中點，又是的中點，∴，又平面，平面，∴平面.注：證明線面垂直1，找中位線2，找平行四邊形3，正兩個面平行舉一反三如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點.求證：平面【答案】證明見解析.【分析】取的中點，連接，由三角形的中位線定理可得∥,，而已知∥，，從而得∥，，所以四邊形為平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證明【詳解】證明：取的中點，連接因為為的中點，所以∥,，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.直線和平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行，則線線平行.符號:例18.如圖，在三棱錐中，分別是中點，平面平面.求證：.【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)線面平行證明，結合平行的傳遞性可得.【詳解】因為分別是的中點，所以，所以.又平面，平面，所以平面.因為平面，平面平面，所以.又，所以.【點睛】本題主要考查空間中的直線與直線平行，線線平行可以通過線面平行轉化，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).舉一反三1．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理、性質(zhì)定理即可得證【詳解】因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以，因為平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，又因為平面ACD，且平面平面BCD，所以，又因為平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH2．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC=l.求證:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先由BC∥AD證明BC∥平面PAD，再結合平面PBC∩平面PAD=l，由線面平行推出線線平行，即得證；（2）取PD的中點E，連接AE，NE，可證明四邊形AMNE是平行四邊形，即MN∥AE，由線線平行推線面平行，即得證【詳解】（1）∵?ABCD∴BC∥AD，又BC平面PAD，平面PAD∴BC∥平面PAD.又∵平面PBC∩平面PAD=l，平面PBC∴l(xiāng)∥BC.（2）如圖，取PD的中點E，連接AE，NE，則NE∥CD，且NE=CD，又AM∥CD，且AM=CD，∴NE∥AM，且NE=AM.∴四邊形AMNE是平行四邊形.∴MN∥AE.又∵AE?平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.平面與平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡記為：線面平行，則面面平行.符號：例19.如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.【答案】見解析【分析】由正方形的性質(zhì)得出，可得出平面，由線面垂直的性質(zhì)定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可證得結論.【詳解】由于四邊形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.【點睛】本題考查面面平行的證明，考查推理能力，屬于基礎題.舉一反三1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點．(1)求證：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中點，求證：平面B1DF∥平面ACE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）連BD，使BD∩AC＝G，連EG，由中位線定理以及線面平行判定定理證明即可；（2）證明B1F∥平面ACE，結合B1D∥平面ACE，利用面面平行判定定理證明即可.(1)連BD，使BD∩AC＝G，連EG．∵ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．又∵E是BB1中點，∴B1E＝BE，∴DB1∥GE，又平面ACE，平面ACE，∴B1D∥平面ACE．(2)∵E是棱BB1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點．∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四邊形B1ECF是平行四邊形，∴B1F∥CE，又∴平面ACE，平面ACE，∴B1F∥平面ACE，由（1）B1D∥平面ACE，又∵DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.簡記為：面面平行，則線線平行.符號：補充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行例20.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點．M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接FN，求證：FN∥CM．【答案】見解析．【分析】先通過中位線，通過線線平行，證得平面平面，在根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證得.【詳解】因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【點睛】本小題主要考查線線平行的證明、線面平行的證明和面面平行的證明，其中涉及到了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，還有面面平行的性質(zhì)定理.在平行轉化的過程中，已知和求之間，用判定定理還是性質(zhì)定理，要看清楚題目所給的條件來判斷.舉一反三1．如圖，已知平面平面，點P是平面，外一點，且直線PB，PD分別與，相交于點A，B和點C，D．如果，，，求PD的長．【答案】【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結合平行線的性質(zhì)進行求解即可【詳解】由題意可知：平面，平面，因為平面平面，所以，因此有.2．如圖，是邊長為2的等邊三角形，在平面四邊形ACDE中，，，，，求證：平面ABC．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)給定條件證明平面平面即可推理作答.【詳解】因為，則四邊形ACDE是菱形，有，而平面ABC，平面ABC，于是得平面ABC，又，平面ABC