北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試卷 含解析

東城區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高一數(shù)學(xué)2024.1本試卷共4頁，滿分100分.考試時長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共30分）一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合,，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，所以，故選：B.2.下列函數(shù)中，與是同一函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ贏，函數(shù)的定義域?yàn)?，且對?yīng)關(guān)系與函數(shù)相同，故A正確；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，但是，對?yīng)關(guān)系與函數(shù)不相同，故B錯誤；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，則不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)不相同，故D錯誤.故選：A.3.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性即可求解.【詳解】對于A，為奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增的冪函數(shù)，故A正確，對于B，為非奇非偶函數(shù)，故不符合，對于C，為反比例函數(shù)，在和均為單調(diào)遞增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，故不符合，對于D，在單調(diào)遞增，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，故不符合，故選：A4.下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】取特殊值結(jié)合不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A,若取，則，即，故A錯誤；對于B，令，則有，故B錯誤；對于C，令，則有，故C錯誤；對于D，根據(jù)不等式性質(zhì)可知D正確，故選:D.5.若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，故選：C6.下列函數(shù)中，滿足對任意的，，都有的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)各項(xiàng)函數(shù)解析式，結(jié)合指對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)或特例判斷是否滿足題設(shè)，即可得答案.【詳解】對于A：若，則，，，成立；對于B：若，由，得，取，得不成立；對于C：若，由，得，取，得不成立；對于D：若，由，得，取，得不成立.故選：A7.已知，，，則（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過化簡，并比較與1大小即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，，，所以.故選：D.8.“角與的終邊關(guān)于直線對稱”是“”的（）A.充分必要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)終邊關(guān)于對稱，得兩角的關(guān)系，再由，得兩角滿足的關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義即可求解.【詳解】角與的終邊關(guān)于直線對稱,則,,則，“角與的終邊關(guān)于直線對稱”是“”的充分必要條件.故選:A9.某品牌可降解塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量y與時間t（單位：年）之間的關(guān)系為．其中為初始量，k為降解系數(shù)．已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的．若該品牌塑料袋需要經(jīng)過n年，使其殘留量為初始量的，則n的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.20 B.16 C.12 D.7【答案】B【解析】【分析】由可得，再代入，求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，則，，則經(jīng)過n年時，有，即，則，所以，則.故選：B.10.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可確定時函數(shù)性質(zhì)，然后結(jié)合分式不等式的求法可求．【詳解】因?yàn)槭嵌x在,上的偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，所以時，函數(shù)單調(diào)遞增，,所以的解集,,，的解集，當(dāng)時，的解集,,，時的解集,,，則不等式可轉(zhuǎn)化為或，解得或或．故選：C．第二部分（非選擇題共70分）二、填空題：共6小題，每小題4分，共24分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，則應(yīng)有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.設(shè)，則的最小值為__________.【答案】5【解析】【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.13.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】先由指數(shù)式化為對數(shù)式可得，，再利用即可求的值.【詳解】由，可得：，，所以，則，故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊不在坐標(biāo)軸上，則使得成立的一個值為____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】不妨考慮第四象限角，由，取，此時，故答案為：（答案不唯一）15.已知函數(shù)，則______2（用“”“”“”填空）；的零點(diǎn)為______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)的單調(diào)性比較大小，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算及指對互化求解函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】，由得，所以，所以，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.故答案為：，16.已知符號表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)（），給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，；②為偶函數(shù)；③在單調(diào)遞減；④若方程有且僅有3個根，則a的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是______.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)新定義分析得到的圖象，即可判斷①②③；將方程有且僅有3個根轉(zhuǎn)化為與的圖象有3個交點(diǎn)，然后結(jié)合圖象即可判斷④.【詳解】因?yàn)榉柋硎静怀^x的最大整數(shù)，若函數(shù)，所以當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；所以函數(shù)的圖象如圖所示：

對于①，由上面的圖象可知，①是正確的，對于②，由上面的圖象可知，②是錯誤的，對于③，由上面的圖象可知，③是正確的，對于④，由上面的圖象可知，，，，因?yàn)榉匠逃星覂H有3個根，等價于與的圖象有個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)或.故答案為：①③④.三、解答題：共5小題，共46分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.設(shè)全集，集合，．（1）求；（2）當(dāng)時，求；（3）若，都有，直接寫出一個滿足條件的m值．【答案】（1）或（2）（3）3（答案不唯一）【解析】【分析】（1）解出集合,直接求解即可；（2）根據(jù)集合的并運(yùn)算直接求解即可；（3）根據(jù)條件可知，列出條件，可解得m的范圍，在范圍內(nèi)寫出一個值即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以?【小問2詳解】當(dāng)時，，則.【小問3詳解】，若，都有，則,所以，則，故的值可以為3（答案不唯一）.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，①求的值；②求的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令分別求出x，即可求解；（2）分別求出兩段函數(shù)的值域，然后并集為R即可求解.【小問1詳解】①當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以；②當(dāng)時，，得，解得；當(dāng)時，，即，解得或-1（舍去），所以函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】當(dāng)時，，所以，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，由，得，即當(dāng)時，，所以，得，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.19.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，求最小值及此時x的值．【答案】（1）；（2）0；【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象，根據(jù)最小值可求得,根據(jù)周期可求得，利于圖象上點(diǎn)可求得，繼而求得解析式，整體代換可求得單調(diào)減區(qū)間；（2）根據(jù)變量范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間可直接求得的最小值及此時x的值.【小問1詳解】根據(jù)函數(shù)的最小值可知,又,所以，此時，又過點(diǎn)，所以，所以，結(jié)合，所以，故.令,得，所以的遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時,，所以當(dāng)時，取最小值0，此時.20.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時．（1）求的解析式；（2）根據(jù)定義證明在上單調(diào)遞減，并指出在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見詳解；在上的單調(diào)遞減（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，利于奇函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義證明即可，利于奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)奇函數(shù)的定義及函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式為恒成立，利于，解不等式即可.【小問1詳解】依題是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，，則，所以.小問2詳解】當(dāng)時，，任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，故，即，所以在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上的單調(diào)遞減.【小問3詳解】因?yàn)?，化為，即，根?jù)在上的單調(diào)遞減，則，在時恒成立，即恒成立，故，解得，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為.21.某地要建設(shè)一座購物中心，為了減少能源損耗，計(jì)劃對其外墻建造可使用30年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層的建造成本為9萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用P（單位：萬元）與隔熱層厚度工（單位：cm）滿足關(guān)系：（）．若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為6萬元．設(shè)S為隔熱層建造費(fèi)用與30年的能源消耗費(fèi)用之和．（1）求出S關(guān)于的函數(shù)解析式；