第66講、拋物線及其性質(zhì)（教師版）

第66講拋物線及其性質(zhì)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對(duì)稱軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑【解題方法總結(jié)】1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開(kāi)口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為．焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長(zhǎng)公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點(diǎn)弦方程拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上必考題型全歸納題型一：拋物線的定義與方程例1．（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則P到C的準(zhǔn)線的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，將代入得，故P到準(zhǔn)線的距離為2，故選：C．例2．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽(yáng)富樂(lè)大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國(guó)慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€(gè)位置，它到拋物線焦點(diǎn)的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)鴿子所在位置為點(diǎn)，因?yàn)樗綊佄锞€焦點(diǎn)的距離為10米，所以，解得，則，所以鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為，故選：B例3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線交于，兩點(diǎn)，的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可設(shè)拋物線的方程為，則準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時(shí)，可得，可得，又，，所以，即，解得，所以的方程為.故選：C變式1．（2024·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B變式2．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線過(guò)點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為.由得，.設(shè)，則.因?yàn)?，整理得，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選：D.變式3．（2024·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，為的垂心，為焦點(diǎn)，，垂直平分線段，直線垂直于軸．設(shè)，，其中，為垂心，，，即，解得，直線的方程為，即．故選：D．變式4．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)上的一點(diǎn)作的垂線，垂足為，點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若，且的面積為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由得：，解得，不妨令點(diǎn)A在第一象限，則，，如圖，因?yàn)?，則，即有點(diǎn)D到x軸距離，，解得，所以的方程為.故選：C【解題方法總結(jié)】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：（2）根據(jù)題目條件列出P的方程（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：拋物線的軌跡方程例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是.【答案】【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，所以，，拋物線方程為.故答案為：.例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意，由得，化簡(jiǎn)得．故答案為：．例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的方程為，可知，解得，所以該拋物線方程是，故答案為：變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)直線，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．故答案為：變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】，（注：也算對(duì)）【解析】由題意，若時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于，則，化簡(jiǎn)得，若，也滿足題意.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，.或者根據(jù)題意有，則，化簡(jiǎn)整理得：.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：，（注：也算對(duì)）變式7．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在軸上，且垂直，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，即，又，若，則，即，若，則，重合，直線不存在．所以軌跡方程是．故答案為：．變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是．【答案】y2＝﹣8x【解析】設(shè)圓心P到直線x＝1的距離等于r，P（x，y），由題意可得PC＝1+r，即＝1+1﹣x，化簡(jiǎn)可得y2＝﹣8x.故答案為：y2＝﹣8x．變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，由于動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大，所以，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，則，可得，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.變式10．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知點(diǎn)，直線：，兩個(gè)動(dòng)圓均過(guò)點(diǎn)且與相切，其圓心分別為、，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡方程為.【答案】【解析】由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡方程，設(shè)，，，根據(jù)可得，，利用可求得結(jié)果.由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，設(shè)，，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以，即，，所以，，因?yàn)椋?，所以，即的軌跡方程為.故答案為：變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)、，直線與相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之差為，點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的軌跡方程為【答案】【解析】設(shè)，由題意可得：，化簡(jiǎn)可得曲線的軌跡方程．設(shè)，由題意可得：，化為．曲線的軌跡方程為且．故答案為：．【解題方法總結(jié)】常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題例7．（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.【答案】3【解析】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，于是，因此，表示拋物線上的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)的距離的和，而點(diǎn)在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過(guò)點(diǎn)垂直于y軸的直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.例8．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題可知，過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，由，得，所以，如圖所示則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即(此時(shí)為點(diǎn)到直線的距離)，所以到直線的距離為，所以，所以.所以的最小值為.故答案為：例9．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為．【答案】【解析】將給定的函數(shù)表達(dá)式變形為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)與距離之差的最大值，而點(diǎn)的軌跡為拋物線，如圖所示，由A、B的位置知直線必交拋物線于第二象限的一點(diǎn)C，由三角形兩邊之差小于第三邊可知P位于C時(shí)，才能取得最大值..故答案為：.變式12．（2024·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題可知直線的方程為，設(shè)，則由,消去，整理得，，所以，所以，解得，所以，而圓的圓心,因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上取等號(hào)，且點(diǎn)位于點(diǎn)之間，如圖所示：又，所以的最小值為.故答案為：.變式13．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，PQ是過(guò)點(diǎn)F的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，如圖，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，解得或，當(dāng)時(shí)，，即，所以.故答案為：.變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為..【答案】【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和，根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為.故答案為：.變式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)線段的中點(diǎn)為則的最小值為.【答案】【解析】由題意拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，易知四邊形為直角梯形，則由拋物線的定義可得.即（當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)）即的最小值為.故答案為：變式16．（2024·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎菕佄锞€上一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題可知，過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn).由，得，所以，如圖所示則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為所以,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即,(為點(diǎn)到直線的距離).所以到直線的距離為所以，所以.所以的最小值為.故答案為：.變式17．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值是．【答案】9【解析】依題意，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，①當(dāng)斜率存在時(shí)：因?yàn)橹本€交拋物線于，兩點(diǎn)，所以，設(shè)過(guò)的直線的直線方程為：，，由拋物線定義得：，由消整理得：，所以，即，所以；②當(dāng)不存在時(shí)，直線為，此時(shí)，所以；綜上可知，的最小值為：9.故答案為：9.變式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎c(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.【答案】/【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，圓的圓心為，半徑，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線的定義可知，設(shè)，則，，所以，令，則，所以，所以當(dāng)即時(shí)，取到最大值，所以的最大值為，因此，，所以的最大值是.故答案為：.變式19．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上兩點(diǎn)，且，為焦點(diǎn)，則最大值為.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)，由題得，，即，故，即，因?yàn)椋矣嘞液瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故答案為：.變式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為，則的最小值為．【答案】2【解析】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，因?yàn)槭菕佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，且點(diǎn)在線段上，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2，故答案為：2變式21．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的最小值為．【答案】【解析】易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線，C的焦點(diǎn)為，設(shè)P到C的準(zhǔn)線的距離為d，，則，故的最小值為．故答案為：.變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.【答案】/【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，顯然，當(dāng)平行于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)，此時(shí)故答案為:.變式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是.【答案】/【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，故，所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，此時(shí).故答案為：.【解題方法總結(jié)】拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長(zhǎng)度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題或點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問(wèn)題用參數(shù)法或切線法求解．題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題例10．（2024·四川樂(lè)山·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，于H，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積之比為（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】依題意，由于H，得，即是正三角形，，而，則直線的方程為，由，消去y并整理，得，令，解得，又準(zhǔn)線，因此，所以與的面積之比.故選：C.例11．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若，,則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，如圖，則，，在中，，所以，所以，在中，，所以，所以.又軸，，所以.又拋物線，則,所以，所以拋物線，點(diǎn).因?yàn)椋灾本€的斜率，則直線，與拋物線方程聯(lián)立,消并化簡(jiǎn)得,設(shè)點(diǎn)，則，則.又直線可化為，則點(diǎn)到直線的距離,所以.故選:B.例12．（2024·北京·101中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線，定點(diǎn)，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，P的圓與l相切，則這個(gè)圓的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則圓心到的距離等于到直線的距離，故的軌跡為拋物線，拋物線方程為，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，半徑最小為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，直線與圓有交點(diǎn)，滿足，圓的面積的最小值為.故選：B變式24．（2024·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：設(shè)，，連接，圓為：，則，則，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，的最小值為，所以，故選：C變式25．（2024·貴州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，若，則(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由題可得，因?yàn)?，所以，，所以為坐?biāo)原點(diǎn))的面積是.故選：A.變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，圓：，該圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，半徑為1，則．又，所以當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，最?。^(guò)點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，最小，此時(shí)．故．故選：C變式27．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：由拋物線：，得，設(shè)直線：，，，由得，所以，，由已知和拋物線定義知：，則有，即，所以解得，，.故選：D變式28．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，，又，，故是等邊三角形，又的面積是，故可得，故.故選：B.【解題方法總結(jié)】解決此類問(wèn)題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比．題型五：焦半徑問(wèn)題例13．（2024·江西·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，為上的三點(diǎn)，若，則.【答案】【解析】由題意知，設(shè)，，的橫坐標(biāo)分別為，，，由，得，所以，由拋物線的定義得.故答案為：例14．（2024·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】由拋物線可得：，由拋物線的定義可得：，則，又因?yàn)辄c(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：例15．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則．【答案】8【解析】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立，可得，易得，設(shè)，則，則，則，，由正弦定理得，，因?yàn)?，，所以，，即，又由焦半徑公式可知，則，即，即，解得，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，同理可得到.故答案為：8變式29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則．【答案】/【解析】由題意可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)不在拋物線上，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，∵，即，則，可得，所以拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為，則，又∵切線過(guò)點(diǎn)可，則，得，同理可得，即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足方程，所以直線AB的方程為，即，聯(lián)立方程，消去y并整得，則，，，∵，則，且，所以．故答案為：.變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作的垂線，垂足為，設(shè)，若與相交于點(diǎn)的面積為，則拋物線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，,所以，解得：.故答案為：變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線與圓于四點(diǎn)，則.【答案】1【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，可設(shè)直線方程為，直線，與聯(lián)立得：，可得,,,答案為1.變式32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．【答案】【解析】由題意可知：，結(jié)合焦半徑公式有：，解得：，故直線AB的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，則，故的面積.變式33．（2024·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線:的焦點(diǎn)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且,則.【答案】4【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且由焦半徑公式得，當(dāng)時(shí)，，的方程為，則，化簡(jiǎn)可得，，且，所以，所以，同理，時(shí)，.故答案為.變式34．（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若.則的面積是.【答案】/【解析】過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，如圖，則，在中，，所以，所以，故在中，，所以，則.又軸，，所以，又拋物線，則，所以，所以拋物線，點(diǎn).因?yàn)?，所以直線的斜率，則直線，與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)得，易得，設(shè)點(diǎn)，則，則，又直線，可化為，則點(diǎn)到直線的距離，所以.故選：B.變式35．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)C，直線m過(guò)C且交E于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段上，點(diǎn)P為A在l上的射影．下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若P，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則C．若，則 D．對(duì)于任意直線m，都有【答案】BCD【解析】解法一：由已知條件可得由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的方程為依題意，由整理，得當(dāng)，即時(shí)，由韋達(dá)定理，得.對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，即又，所以，解得，所以所以，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，易得，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以由和，解得，所以故正確對(duì)于選項(xiàng)，過(guò)作，垂足為由已知可得，所以.又，所以.由拋物線的定義，得因此故正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，故成?故正確.故選：BCD.解法二：對(duì)于選項(xiàng)，假設(shè)成立，則為等腰直角三角形，，所以為等腰直角三角形，則點(diǎn)在軸上，這與已知條件顯然矛盾，故故錯(cuò)誤，其他選項(xiàng)同解法一進(jìn)行判斷.故選：BCD.變式36．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B．C．時(shí)， D．【答案】BD【解析】由題意，可得，，準(zhǔn)線，故A錯(cuò)誤；設(shè)根據(jù)拋物線的定義可得，則，，根據(jù)拋物線的定義可得，當(dāng)時(shí)，，故，故C錯(cuò)誤；，故D正確；取AB的中點(diǎn)M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，設(shè)，過(guò)M作MN⊥準(zhǔn)線a于N，過(guò)A作⊥準(zhǔn)線a于，過(guò)B作⊥準(zhǔn)線a于，根據(jù)梯形的性質(zhì)和拋物線的定義可得，即以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，故，故B正確.故選：BD變式37．（多選題）（2024·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是拋物線：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，最小值為4B．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為時(shí)，C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5D．【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線的傾斜角為，畫(huà)圖為：根據(jù)拋物線的定義：，從圖可知，，，在中，，所以，同理，則，故當(dāng)時(shí)，故最小值為，此時(shí)垂直于軸，所以A不正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為5，故C正確；當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線不過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，不是定值，舉例當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，即，，，故D錯(cuò)誤；故選：BC.變式38．（多選題）（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎c(diǎn)是拋物線上過(guò)焦點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則（

）A．焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0） B．C． D．【答案】BD【解析】由拋物線，可得焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；由焦半徑公式可得，故B正確；設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，則，，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：BD變式39．（多選題）（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).直線與該拋物線交于、兩點(diǎn).則以下描述正確的是（

）A．線段的長(zhǎng)為4 B．的面積為C． D．拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)【答案】BC【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以，由，消去整理得，解得，，此時(shí)，，則，，，即，，或，，所以或，故A錯(cuò)誤；因此，因此原點(diǎn)到直線的距離等于，所以，故B正確；，故C正確；對(duì)于D：不妨取，，由，，則，則過(guò)的切線方程為，即，顯然曲線在點(diǎn)處的切線不過(guò)，故D錯(cuò)誤；故選：BC變式40．（多選題）（2024·山東德州·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．若，則 B．C． D．面積的最小值為16【答案】ACD【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，，設(shè)直線為，則，即，，故，，故，對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；故選：ACD.變式41．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，面積分別為，若F為的重心，且，則該拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，，，拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,，，，、、在拋物線上，，，，由此可得：，點(diǎn)是的重心，，可得,因此，,解得（負(fù)值舍去），故該拋物線的方程為，故選：．變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l交拋物線于另一點(diǎn)P，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若O為線段PQ中點(diǎn)，則PF＝1 B．若PF＝4，則OP＝2C．存在直線l，使得PF⊥QF D．△PFQ面積的最小值為2【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)F(1,0).對(duì)于A：若O為PQ中點(diǎn),所以xp=1,所以,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若,則,所以.故B錯(cuò)誤;對(duì)于C：設(shè),由O、P、Q三點(diǎn)共線，可得，所以,,所以,所以FP與FQ不垂直,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D：,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，所以△PFQ面積的最小值為2.故D正確.故選：D.變式43．（2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線與拋物線相切于點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，則，解得（舍去）或.設(shè)，則，故，則.故選：D.變式44．（2024·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】令，則，故，所以，所以，故準(zhǔn)線為，則.故選：B變式45．（2024·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2【答案】D【解析】由，得，則，根據(jù)拋物線的定義知2，解得，代入，得，所以的面積為.故選：D.變式46．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)焦點(diǎn)的直線與交于，兩不同點(diǎn)，拋物線在，兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)（

）A．16 B．26 C．14 D．24【答案】A【解析】由題意可得，，則，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程．由題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，其中，由，得．在點(diǎn)A處的切線方程為，化簡(jiǎn)得，①同理可得在點(diǎn)B處的切線為，②聯(lián)立①②得，由M的橫坐標(biāo)為4，得，將AB的方程代入拋物線方程，可得，，得，，則．故選：A．【解題方法總結(jié)】（1）．（2）．（3）． 題型六：拋物線的性質(zhì)例16．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開(kāi)口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸【答案】AD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，開(kāi)口向左，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，對(duì)稱軸為軸，故D正確.故選：AD例17．（多選題）（2024·山東日照·高三校聯(lián)考期末）（多選）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為【答案】AC【解析】由拋物線，即，可知拋物線的開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為．故選：AC例18．（多選題）（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（

）A．線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為B．直線BC的方程為C．D．【答案】ABD【解析】設(shè)，因?yàn)镕為重心，所以，設(shè)BC中點(diǎn)，則，，由重心分中線得，即，又因?yàn)锳在拋物線上，所以，所以，即，故A正確；，直線，故B正確；因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；，同理，所以，故D正確．故選：ABD變式47．（多選題）（2024·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．若，則周長(zhǎng)的最小值為C．若，則的最小值為D．在軸上不存在點(diǎn)，使得為鈍角【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A，拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，焦點(diǎn)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，，，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，則的周長(zhǎng)為，正確；選項(xiàng)C，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為，正確；選項(xiàng)D，設(shè)，，，，，，不可能為鈍角，正確；故選：BCD變式48．（多選題）（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn)，，且三點(diǎn)順時(shí)針排列，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為C．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，D．若，則點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱【答案】ABC【解析】因?yàn)椋詾榈冗吶切?，?duì)于A，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，所以大致圖像如圖，此時(shí)所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，所以此時(shí)A點(diǎn)在