基本不等式及其應(yīng)用【21類題型全歸納】（老師版）

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)基本不等式及其應(yīng)用近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2020年天津卷：第14題，5分本號(hào)資料*全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)#學(xué)第六感基本不等式及其應(yīng)用是是高考的熱點(diǎn)，主要考查利用基本不等式求最值、求參數(shù)的取值范圍等，常與函數(shù)結(jié)合命題，題型以選擇題、填空題為主，也可作為工具出現(xiàn)在解答題中，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時(shí)要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運(yùn)用.(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程

(2)會(huì)用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用2021年乙卷：第8題，5分2022年I卷：第12題，5分2023年I卷：第22題，12分題型總覽題型總覽總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）模塊一模塊一 ：核心題型·舉一反三【題型1】基本不等式的直接使用 2【題型2】常規(guī)湊配法求最值 3【題型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 5【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換 7【題型5】二次比一次型 9【題型6】分離常數(shù)型 10【題型7】與指數(shù)對(duì)數(shù)結(jié)合的基本不等式問題 12【題型8】利用對(duì)勾函數(shù) 14【題型9】判斷不等式是否能成立 16【題型10】換元法（整體思想） 19【題型11】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題 22【題型12】與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化） 26【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題 29模塊二模塊二 ：學(xué)有余力·拓展提升【題型14】消元法 31【題型15】因式分解型 33【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式） 35【題型17】萬能“k”法 37【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)） 38【題型19】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題 40【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型） 43【題型21】多次運(yùn)用基本不等式 43模塊一模塊一核心題型·舉一反三【題型1】基本不等式的直接使用如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．常用不等式：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；基本不等式：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．若，，且，則的最小值是________【答案】【詳解】，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值若，，則的最小值為______．【答案】2【簡(jiǎn)析】【鞏固練習(xí)1】若，，則的最小值為______．【答案】【簡(jiǎn)析】【鞏固練習(xí)2】已知，，且，則的最小值是________【答案】【詳解】由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立【題型2】常規(guī)湊配法求最值配湊法：加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和(積)為定值，然后利用基本不等式求解．1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗(yàn)證取得條件．常見的配湊法求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立若，則的最小值為.【答案】0【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.【解答過程】因?yàn)閍>2，所以a?2>0所以2a+8當(dāng)且僅當(dāng)2a?2=8所以2a+8a?2的最小值為【鞏固練習(xí)1】函數(shù)（）的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】2【分析】利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求最值即可．【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2．【鞏固練習(xí)3】已知，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.【題型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法方法總結(jié)：乘“1”法就是指湊出1，利用乘“1”后值不變這個(gè)性質(zhì)，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值．主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值#本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)*第六感注意：驗(yàn)證取得條件．（2023·廣東廣雅中學(xué)校考）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________【答案】9【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.【鞏固練習(xí)1】已知且，則的最小值是．【答案】8【分析】運(yùn)用“1”的代換及基本不等式即可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為8【鞏固練習(xí)2】若，且，則的最小值為．本號(hào)*資料全部來源于微信公#眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【答案】5【解析】因?yàn)?，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5．故答案為：5．【鞏固練習(xí)3】已知，，且，則的最小值為．【答案】16【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，取得最小值為16.【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換方法總結(jié)：通過常數(shù)“1”的代換，把求解目標(biāo)化為可以使用基本不等式求最值的式子，達(dá)到解題的目的．已知，，，則的最小值為．【答案】【分析】利用基本不等式求得的最小值．【詳解】依題意．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．已知實(shí)數(shù)x，滿足，則的最小值為（

）本號(hào)資料全#部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第*六感A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)“1”的變形技巧化簡(jiǎn)，再運(yùn)用均值不等式求解即可．【詳解】由條件可得．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立【鞏固練習(xí)1】若，，且，則有最小是________【答案】5【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值5【鞏固練習(xí)2】正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】中的“1”用“”代替，分離常數(shù)后利用基本不等式即可求解．本號(hào)資料全部來源于微信公眾*號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故的最小值是．【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽·三模）已知，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，再利用基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.【題型5】二次比一次型基本模型：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立本號(hào)資料全部來源#于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感已知x>0，則x2?x+4xA．5 B．3 C．?5 D．?5或3【解題思路】由已知可得x2【解答過程】由x>0，得x2?x+4當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原函數(shù)的最小值為.【鞏固練習(xí)1】已知，則函數(shù)的最小值是．【答案】【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)，分離常數(shù)，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值是【鞏固練習(xí)2】已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．【答案】【解析】∵正數(shù)x，y滿足，∴．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，其最大值為．【鞏固練習(xí)3】已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（

A．24 B．25 C．6+42 D．【解題思路】把x+6y+3xy變?yōu)?【解答過程】因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，所以x+6y+3=9當(dāng)且僅當(dāng)9yx=4xyx+y=1【題型6】分離常數(shù)型方法總結(jié)：對(duì)于分子分母中含有相同單一字母時(shí)，可以考慮分離常數(shù)例1：（x>0）例2：若，則函數(shù)的最小值為（）A．4B．5C．7D．9【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為；故選：C【鞏固練習(xí)1】已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】將已知條件等式化為，整體代入結(jié)合基本不等式即可得解．本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)#學(xué)第六感【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為6，故選：B．【鞏固練習(xí)2】函數(shù)在上的值域是．【答案】【分析】將函數(shù)變形為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可解．【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以，綜上所述，函數(shù)在上的值域是．【題型7】與指數(shù)對(duì)數(shù)結(jié)合的基本不等式問題方法總結(jié)：結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的計(jì)算公式變形得出積為定值或和為定值的形式，再利用基本不等式求解（多選）已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由題意可知，，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知D錯(cuò)誤；，可知A正確；利用基本不等式可知，化簡(jiǎn)整理可知B正確；在根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)，即可判斷C正確．【詳解】由題可知，，又，所以，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，有．所以A正確；由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；又因?yàn)?，，所以，故，B正確；由于，，所以，C正確（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確【鞏固練習(xí)1】（2023廣東廣雅中學(xué)校考）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________【答案】【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是________．【答案】7【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為【鞏固練習(xí)3】（多選）已知，則實(shí)數(shù)，滿足（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對(duì)于A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于C，由已知可得，從而可得，對(duì)于D，利用基本不等式判斷，對(duì)于B，由，得分析判斷．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以A正確；對(duì)于C，由，得，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，得，所以D正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤．【題型8】利用對(duì)勾函數(shù)當(dāng)無法取等時(shí)需要結(jié)合對(duì)勾函數(shù)圖像，利用單調(diào)性來得出最值當(dāng)時(shí)，的最小值為.【答案】3【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.【詳解】設(shè)，則，又由得，而函數(shù)在上是增函數(shù)，因此時(shí)，取得最小值已知函數(shù)．若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得，則，令，利用對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出其范圍．【詳解】由得．根據(jù)函數(shù)的圖象及，則，即，可得，，令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，則．所以的取值范圍是【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時(shí)的x值為．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝3時(shí)，即可求解.【詳解】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設(shè)x＋1＝t(t≥3)．因?yàn)閒(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝3，即x＝2時(shí)，y＝x＋(x≥2)取得最小值．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】易知，注意這里取不到等號(hào)，所以，【鞏固練習(xí)3】若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍法一：對(duì)勾函數(shù)參變分離后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，由題可得對(duì)任意恒成立，令，則有，，，令，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；法二：分類討論令，①當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，恒成立；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，若對(duì)任意，恒成立，只需，解得，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，恒成立；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【題型9】判斷不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．（多選）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)基本不等式求解最值判斷ABC，根據(jù)復(fù)合函數(shù)最值求法求解判斷D．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，不符合要求，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由得顯然不成立，所以等號(hào)取不到，即的最小值不是2，錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值是2，正確；對(duì)于D，，易知，，則，當(dāng)即或時(shí)，有最小值4，即有最小值2，故D正確．本號(hào)資料全部來源于微*信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【鞏固練習(xí)1】下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【答案】D【解析】∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴A錯(cuò)誤；∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴B錯(cuò)誤；∵，如時(shí)，，∴C錯(cuò)誤；∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，∴D正確．【鞏固練習(xí)2】（多選）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零實(shí)數(shù)，都有D．若，則的最小值為4【答案】AB【分析】利用不等式的性質(zhì)和均值不等式，以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值，并根據(jù)全稱命題與特稱命題的真假判斷，即可選出真命題．【詳解】解：對(duì)于A，恒成立，則，都有，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，使得，B選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，令，在上單調(diào)遞增，，則的最小值不是4，D選項(xiàng)錯(cuò)誤【鞏固練習(xí)3】（多選）下面結(jié)論正確的是（

）本號(hào)*資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．若，則的最大值是B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)（）的值域是D．，且，則的最小值是3【答案】ACD【分析】利用基本不等式求最值判斷ABD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C．【詳解】時(shí)，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，從而的最大值是，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但無實(shí)數(shù)解，因此等號(hào)不能取得，2不是最小值，B錯(cuò)；時(shí)，，，因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，．所以值域是，C正確；，且，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．【題型10】換元法（整體思想）對(duì)于兩個(gè)分式的最值問題可以考慮整體法或換元法配湊整體配湊法原理是把目標(biāo)當(dāng)作一個(gè)整體，然后利用基本不等式求最值.單分母換元：當(dāng)2個(gè)分母的和為定值，可以把其中一個(gè)分母進(jìn)行換元雙分母換元：當(dāng)2個(gè)分母均為字母加減常數(shù)時(shí)，可以把2個(gè)分母都換元（單分母換元）已知，則的最小值是________A．6B．8C．4D．9【解題思路】可以設(shè)，則有，求的最小值，用乘“1”法即可【答案】9【解答過程】解：設(shè)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)1?2a2a=8a（雙分母換元）已知正數(shù)滿足，則的最大值是（）A．B．C．D．【解題思路】設(shè)，則有，求最小值，結(jié)合乘1法即可【解答過程】解：aa+1+4∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，1a+1+4b+1=14（1a+1+4b+b+1a+1+4(a+1)b+1故14（1+4+b+1a+故aa+1+已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】x，y為正實(shí)數(shù)，利用基本不等式求的最小值．【詳解】x，y為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．最小值為6【鞏固練習(xí)1】已知，其中，，，則的最小值為．【答案】16【解析】因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．【答案】24【解析】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立【鞏固練習(xí)3】若，，，，則的最小值為．本號(hào)資#料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)#學(xué)第六感【答案】【分析】令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案。【詳解】由題意，，，，得：，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故的最小值為【鞏固練習(xí)4】若正實(shí)數(shù)滿足，則最小值為________【答案】【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值【鞏固練習(xí)5】已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，將看作一個(gè)整體，變形后結(jié)合基本不等式的計(jì)算，即可得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，即，設(shè)，則，且，原式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．【題型11】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題不等式的應(yīng)用題常以函數(shù)為背景，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，在中，，所以，即小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)從甲地到乙地的的路程為s，從甲地到乙地的時(shí)間為t1，從乙地到甲地的時(shí)間為t2，則，，，∴，【鞏固練習(xí)1】原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì)．小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是（

）A．第一種方案更劃算B．第二種方案更劃算C．兩種方案一樣D．無法確定【答案】B【解析】分別求出兩種方案的平均油價(jià)，結(jié)合基本不等式作出比較即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)小李這兩次加油的油價(jià)分別為元升?元升，則：方案一：兩次加油平均價(jià)格為，方案二：兩次加油平均價(jià)格為，故無論油價(jià)如何起伏，方案二比方案一更劃算．【鞏固練習(xí)2】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，因此這種方法也被稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)(不同于A，B，O)，點(diǎn)D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于點(diǎn)E，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為()A．a(chǎn)b≤a＋b2(a＞0，bB．a(chǎn)＋b2＜2aba＋b(a＞0，b＞0，C．2aba＋b≤ab(a＞0，bD．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞【答案】D由AC＝a，BC＝b，可得半圓O的半徑DO＝a＋b2易得DC＝AC·BC＝ab，DE＝∵DE＜DC＜DO，∴2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞0【鞏固練習(xí)3】（多選）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中不正確的是（）A．兩次購(gòu)買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定．則若n次(n≥2)購(gòu)買同一物品，用第一種策略比較經(jīng)濟(jì)B．若二次函數(shù)f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在區(qū)間(－1，1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則由零點(diǎn)存在定理知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是C．已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，則3b＋2a的取值范圍是D．設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長(zhǎng)為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)P，設(shè)AB＝x，則△ADP的面積是關(guān)于x的函數(shù)且最大值為【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)：設(shè)n＝2，兩次購(gòu)買的價(jià)格分別為，，數(shù)量關(guān)系為：?jiǎn)蝺r(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量設(shè)第一種策略每次花x元購(gòu)買物品，則單價(jià)為（調(diào)和平均數(shù)），設(shè)第二種策略每次買y件物品，則單價(jià)為，易證，所以第一種策略比較經(jīng)濟(jì)，A正確；B選項(xiàng)：①當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理②當(dāng)，代入計(jì)算可得時(shí)，f(x)＝0的根為1和，滿足條件；時(shí)，f(x)＝0的根為－1和，也滿足條件，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得f(x)的對(duì)稱軸為，也滿足條件綜上，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：顯然0＜a＜1＜b，且ab=1，，然而，所以取不到，則C錯(cuò)誤；補(bǔ)充：，取值范圍是D選項(xiàng)：設(shè)，則，，則D錯(cuò)誤【題型12】與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值（和，積，平方和互相轉(zhuǎn)化）利用基本不等式變形求解常用不等式鏈：（主要用于和積轉(zhuǎn)換）（2024·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．【答案】C【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由已知條件，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)，基本不等式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，故B正確；C：由，得，即，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；D：由，得，即，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.【鞏固練習(xí)1】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為________【答案】對(duì)于選項(xiàng)AB，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知，且，則（

）A． B．或C． D．或【答案】BD【解析】對(duì)于A，，因?yàn)?，，令，得，解得或，即或，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，解得或，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由選項(xiàng)B知，或，所以或，則或，故D正確.【鞏固練習(xí)3】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以不恒成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榍?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；對(duì)于D：由C可知錯(cuò)誤【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】或【分析】要使有解，則大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋源藭r(shí)，所以的最小值為，由題可得，解得或．【鞏固練習(xí)1】已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)楹愠闪?，所以，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)2】已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范圍是【鞏固練習(xí)3】若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得滿足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可．【詳解】由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則使不等式有解，只需滿足即可，解得．【鞏固練習(xí)4】若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為.【答案】【詳解】由，因?yàn)?，所以，令，由，則有，且模塊二模塊二學(xué)有余力·拓展提升【題型14】消元法消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為42?1【解題思路】依題意可得x=y+10【解答過程】因?yàn)閤>0，y>0且xy+2x?y=10，所以x=y+10所以x+y=y+10當(dāng)且僅當(dāng)8y+2=y+2，即y=22故x+y的最小值為42【鞏固練習(xí)1】若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b2+1【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.【解答過程】由a>0,b>0,ab=2?a=2故a+4b+2=2b+1b故最小值為4【鞏固練習(xí)2】（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是（A．6 B．62 C．22【解題思路】根據(jù)題意可得y=x【解答過程】由x2?2xy+2=0可得∴x+y=x+x2當(dāng)且僅當(dāng)3x2=1x，即所以x+y的最小值為6.【鞏固練習(xí)3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是E．【答案】BDE【分析】對(duì)于A項(xiàng)，運(yùn)用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式求解即得；對(duì)于B項(xiàng)，直接運(yùn)用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式，再結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得；對(duì)于CDE項(xiàng)，通過題設(shè)求出，代入所求式消元，湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，由可得，因，故得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由可得，因，故得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以的取值范圍是，正確；對(duì)于C和E項(xiàng)，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，E正確；對(duì)于D項(xiàng)，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，正確.【題型15】因式分解型含有這類結(jié)構(gòu)的式子，可以考慮因式分解配湊成的結(jié)構(gòu)，再結(jié)合整體思想來求最值（重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎?，，且，則的最小值是________【答案】7【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結(jié)合不等式即可求解．【詳解】方法一：因?yàn)?，故，解得，故，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．方法二：因?yàn)?，則，且，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故選：C．【鞏固練習(xí)1】設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由，令，，即可得到，則，利用基本不等式計(jì)算可得．【詳解】解：因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，且，令，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)【鞏固練習(xí)2】若，且，則的最小值為________【答案】【解析】，且，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故選：D．【鞏固練習(xí)3】（2024·江蘇南京·三模）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【分析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.本號(hào)資料全#部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感模塊二模塊二學(xué)有余力·拓展提升【題型16】同除型（構(gòu)造齊次式）齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為________A．B．C．D．【答案】1【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六#感則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故的最大值為．【鞏固練習(xí)1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，12x2＋8xy－y2的最小值為________．【答案】【解析】則原式等價(jià)于【鞏固練習(xí)2】已知，，，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，即有且，將代入得，令，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值，即的最小值是.【題型17】萬能“k”法求啥設(shè)啥，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí).（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，方程可化為，整理得，則滿足，解得，所以，即，所以的最大值為.【鞏固練習(xí)1】若正數(shù)，，滿足，則的最大值是.【答案】【解析】把式子看作是關(guān)于的方程，則問題等價(jià)于關(guān)于的方程有解，則，即，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式有解，則，化簡(jiǎn)得，所以，此時(shí)，，符合條件.【鞏固練習(xí)2】（重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________【答案】【詳解】令，代入，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，即的最小值為【鞏固練習(xí)3】已知正實(shí)數(shù)x、y滿足則xy的取值范圍是________【答案】【解析】設(shè)，，整理得是正實(shí)數(shù)，∴△≥0，即，整理得，解得或m≤0(舍去)【題型18】三角換元法（利用三角函數(shù)）出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)（）形式，引入三角函數(shù)表示和若x，y滿足，則的最大值為________【答案】3【解析】設(shè)，因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值3（多選題）若x，y滿足，則（

）.A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故A正確，B錯(cuò)誤；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，取到最大值2，故C錯(cuò)誤.【鞏固練習(xí)1】若x，y滿足，則的最大值為________【答案】【解析】設(shè)，因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值3【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【解析】由條件知令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值【鞏固練習(xí)3】【題型19】基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題利用基本不等式求最值往往交匯考查，多涉及數(shù)列、三角、向量、解析幾何、立體幾何等問題中有關(guān)最值的求法．（2024·寧夏銀川·二模）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】由已知可得為橢圓的焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用特殊值“1”將化成積為定值的形式，再用基本不等式即可求解.【詳解】解：由題意可知，圓心在直線上，則，又因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)且即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值．【鞏固練習(xí)1】（2024