6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)形式求數(shù)量積、模、夾角.2.掌握向量垂直條件的坐標(biāo)形式,并能靈活運(yùn)用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標(biāo)表示1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=

,即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于

.

2.兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示

與向量共線的坐標(biāo)表示熟練區(qū)分設(shè)a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b

?

.

名師點(diǎn)睛已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),a∥b?a1b2-a2b1=0;a⊥b?a1b1+a2b2=0.這兩個(gè)結(jié)論容易混淆,可分別簡(jiǎn)記為“縱橫交錯(cuò)積的差為零,橫橫縱縱積的和為零”.x1x2+y1y2

它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和

x1x2+y1y2=0過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1y2+x2y1.(

)(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1x2+y1y2=0.(

)×√2.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)i,j分別是與x軸和y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量,你能計(jì)算出i·i,j·j,i·j的值嗎?若設(shè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能給出a·b的值嗎?提示

i·i=1,j·j=1,i·j=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2.又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=x1x2+y1y2.3.[蘇教版教材例題]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b).解

因?yàn)閍·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15.知識(shí)點(diǎn)2

平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示1.若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=

.

如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=

.

2.設(shè)a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得過關(guān)自診1.如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),如何表示向量a?怎樣表示|a|?2.[2023河南鄭州月考]已知向量a=(-4,3),b=(2,-7),則a·b+|a|=(

)

A.29 B.-29 C.24 D.-24D解析

向量a=(-4,3),b=(2,-7),∴a·b+|a|=(-4,3)·(2,-7)+5=-24.故選D.3.[北師大版教材例題]已知a=(3,2),b=(1,-1),求向量a與b的夾角的余弦值.解

設(shè)向量a與b的夾角為θ,重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算角度1

數(shù)量積的基礎(chǔ)坐標(biāo)運(yùn)算【例1】

已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).解

(1)(方法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0).∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.(方法二)a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).角度2

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算在幾何圖形中的應(yīng)用【例2】

在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,點(diǎn)M,N分別在DC,BC上,且5規(guī)律方法

數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算,前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì).解題時(shí)通常有兩條途徑:一是先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;二是先將向量用基底表示,再利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開,再依據(jù)已知計(jì)算.(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目,只需把握?qǐng)D形的特征,建立平面直角坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.變式訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則

等于(

)A.-1 B.0 C.1 D.2B(2)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),則

=(

)A.2 B.-2 C.4 D.無法確定C探究點(diǎn)二利用坐標(biāo)運(yùn)算解決模的問題【例3】

已知向量a=(1,2),b=(3,-1).(1)求|a-2b|;(2)求與a垂直的單位向量;(3)求與b平行的單位向量.規(guī)律方法

1.求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算:利用|a|2=a2,將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題.(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算:若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有2.與已知向量垂直或平行的單位向量變式訓(xùn)練2[2023浙江余姚期中]已知a=(1,),b=(cosθ,sinθ),則|a+2b|的取值范圍是

.

[0,4]探究點(diǎn)三利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角與垂直問題【例4】

已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b與c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夾角的大小.解

(1)因?yàn)閍∥b,所以3x=4×9,即x=12.因?yàn)閍⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).設(shè)m,n的夾角為θ,變式探究本例中,其他條件不變,若向量d=(2,1),且c+td與d的夾角為45°,求實(shí)數(shù)t的值.規(guī)律方法

解決向量夾角問題的方法

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.(2)若向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),且a,b為非零向量,則a⊥b?x1x2+y1y2=0(a,b為非零向量).2.方法歸納:化歸與轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū):兩向量夾角的余弦公式易記錯(cuò).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314151617181920A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練A.4 B.-4 C.2 D.-2A12345678910111213141516171819202.[探究點(diǎn)一(角度1)·2023遼寧丹東模擬]已知向量a=(2,1),b=(3,2),則a·(a-b)=(

)A.-5 B.-3 C.3 D.5B解析

∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),則a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故選B.1234567891011121314151617181920A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8]A12345678910111213141516171819204.[探究點(diǎn)三]設(shè)向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-).若b⊥c,則a-b與c的夾角為(

)A.0° B.30° C.60° D.90°D12345678910111213141516171819205.[探究點(diǎn)二]設(shè)向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,則|a|=

.

12345678910111213141516171819206.[探究點(diǎn)二]設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=

.

-2解析

(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.12345678910111213141516171819207.[探究點(diǎn)二、三]設(shè)向量a與b的夾角為θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),則|b|=

,cosθ=

.

112345678910111213141516171819208.[探究點(diǎn)二、三]已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a與b的夾角為銳角,求x的取值范圍.解

(1)因?yàn)閍∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.當(dāng)x=0時(shí),a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),則|a-b|=2.當(dāng)x=-2時(shí),a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),則|a-b|=2.綜上,|a-b|=2或2.(2)因?yàn)閍與b的夾角為銳角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又當(dāng)x=0時(shí)a∥b,故x的取值范圍是(-1,0)∪(0,3).123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819209.[探究點(diǎn)三]已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求證:AB⊥AD;(2)若四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及矩形ABCD兩對(duì)角線所夾的銳角的余弦值.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920B級(jí)關(guān)鍵能力提升練ABC123456789101112131415161718192011.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),則下列說法不正確的是(

)A.若a∥b,則t的值為-B.若|a+b|=|a-b|,則t的值為2C.|a+b|的最小值為1D.若a與b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是(-∞,2)D1234567891011121314151617181920B123456789101112131415161718192013.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則

的最小值為(

)A.3 B.5 C.7 D.8B解析

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=a,則A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),設(shè)P(0,x)(0≤x≤a),123456789101112131415161718192014.(多選題)如圖,4×6的方格紙中有一個(gè)向量(以圖中的格點(diǎn)O為起點(diǎn),格點(diǎn)A為終點(diǎn)),則下列說法正確的有(

)BCD123456789101112131415161718192015.已知向量a=(,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=,則b=

.

123456789101112131415161718192016.設(shè)向量m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定兩向量m,n之間的一個(gè)運(yùn)算“?”為m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),則q的坐標(biāo)為

.

(-2,1)123456789101112131415161718192017.已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中a=(1,2).