22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)第2課時(shí)商品利潤最大問題課件人教版數(shù)學(xué)九年級上冊

22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)第二十二章二次函數(shù)第2課時(shí)商品利潤最大問題在日常生活中存在著許許多多的與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的實(shí)際問題.商品買賣過程中，作為商家追求利潤最大化是永恒的追求.如果你是商場經(jīng)理，如何定價(jià)才能使商場獲得最大利潤呢？情景引入某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤

元.180006000（1）銷售額＝售價(jià)×銷售量；（2）利潤＝銷售額－總成本＝單件利潤×銷售量；（3）單件利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià).利用二次函數(shù)解決商品利潤最大問題探索求知數(shù)量關(guān)系例1某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？①每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：

單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售

漲價(jià)銷售

20300(20＋x)(300－10x)(20＋x)(300－10x)建立函數(shù)關(guān)系式：y＝(20＋x)(300－10x)即：y＝－10x2＋100x＋6000.6000典例精析【分析】漲價(jià)銷售②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0，因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少？即漲價(jià)5元時(shí)，最大利潤是6250元.典例精析把y＝－10x2＋100x＋6000化為頂點(diǎn)式得∴當(dāng)x＝5時(shí)，y最大值＝6250

單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售

降價(jià)銷售

①每件降價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：20300(20－x)(300＋20x)(20－x)(300＋20x)建立函數(shù)關(guān)系式：y＝(20－x)(300＋20x)即：y＝－20x2＋100x＋60006000典例精析降價(jià)銷售綜上可知，定價(jià)65元時(shí)，最大利潤是6250元.②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價(jià)格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③降價(jià)多少元時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少？即降價(jià)2.5元時(shí)，最大利潤是6125元.典例精析把y＝－20x2＋100x＋6000化為頂點(diǎn)式得由以上的討論及現(xiàn)在的銷售情況，你知道應(yīng)該如何定價(jià)能使利潤最大了嗎?某電商在購物平臺(tái)上銷售一款小電器，其進(jìn)價(jià)為45元件，每銷售一件需繳納平臺(tái)推廣費(fèi)5元，該款小電器每天的銷售量y(件)與每件的銷售價(jià)格x(元)滿足函數(shù)關(guān)系：y＝－2x＋180．為保證市場穩(wěn)定，供貨商規(guī)定銷售價(jià)格不得低于75元/件且不得高于90元/件．(1)寫出每天的銷售利潤w(元)與銷售價(jià)格x(元)的函數(shù)關(guān)系式；解：由題意得w＝(x－50)(－2x＋180)變式訓(xùn)練即w＝－2x2＋280x－9000.根據(jù)題意，確定自變量的取值范圍∴當(dāng)x＝75時(shí)，有最大利潤，y最大利潤＝－2(75－70)2＋800＝750元．(2)每件小電器的銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，才能使每天獲得的利潤最大，最大是多少元？w＝－2(x－70)2＋800∵銷售價(jià)格不得低于75元/件且不得高于90元/件∴75≤x≤90變式訓(xùn)練解：把w＝(x－50)(－2x＋180)化為頂點(diǎn)式得∵70＜75＜90∴在取值范圍內(nèi)y隨x的增大而減小注意：需根據(jù)函數(shù)的增減性確定自變量的函數(shù)最值，而非在頂點(diǎn)處取最值取值范圍在對稱軸的右邊(1)建立利潤與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：(2)結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數(shù)的簡圖，利用簡圖和性質(zhì)求出.知識(shí)要點(diǎn)求解最大利潤問題的一般步驟運(yùn)用“總利潤＝總售價(jià)－總成本”或“總利潤＝單件利潤×銷售量”(3)在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤：某網(wǎng)絡(luò)玩具店引進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為20元/件的玩具，如果以單價(jià)30元出售，那么一個(gè)月內(nèi)售出180件，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的下降，即銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量將相應(yīng)減少10件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該店能在一個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤？練一練①每件商品的銷售單價(jià)上漲x元，一個(gè)月內(nèi)獲取的商品總利潤為y元，填空：

單件利潤（元）銷售量（件）每月利潤（元）正常銷售

漲價(jià)銷售

【分析】1018010＋x180－10x(10＋x)(180－10x)1800建立函數(shù)關(guān)系式：即：y＝－10x2＋80x＋1800練一練y＝(10＋x)(180－10x)營銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故180－10x≥0，且x≥0，因此自變量的取值范圍是0≤x≤18.②自變量x的取值范圍如何確定？③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少？y＝－10(x－4)2＋1960∴當(dāng)x＝4時(shí)，有最大值，y最大值＝1960(元)答：當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí)，該店在一個(gè)月內(nèi)能獲得最大利潤1960元.練一練把y＝－10x2＋80x＋1800化為頂點(diǎn)式得(0≤x≤18)∵0＜4＜18即漲價(jià)4元時(shí)，銷售單價(jià)為34元時(shí)，利潤最大，最大利潤1960元.例2某商店試銷一種新商品，新商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，經(jīng)過一段時(shí)間的試銷發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量會(huì)因售價(jià)的調(diào)整而不同.令每月銷售量為y件，售價(jià)為x元/件，每月的總利潤為Q元.(1)當(dāng)售價(jià)在40～50元時(shí)，每月銷售量都為60件，則此時(shí)每月的總利潤最多是多少元？

答：此時(shí)每月的總利潤最多是1200元.解：由題意得Q＝60(x－30)＝60x－1800∵在取值范圍內(nèi)Q隨x的增大而增大∴當(dāng)x＝50時(shí)，Q最大值＝60×50－1800＝1200典例精析(40≤x≤50)

(2)當(dāng)售價(jià)在50～70元時(shí)，每月銷售量與售價(jià)的關(guān)系如圖所示，則此時(shí)當(dāng)該商品售價(jià)x是多少元時(shí)，該商店每月獲利最大，最大利潤是多少元？∵線段過(50，60)和(70，20)∴函數(shù)解析式為y＝－2x＋160典例精析50702060Ox/元y/件解：設(shè)y與x函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b.(50≤x≤70)∴Q＝(x－30)y＝(x－30)(－2x＋160)＝－2x2＋220x－4800＝－2(x－55)2＋1250(50≤x≤70)典例精析∴當(dāng)售價(jià)在50～70元時(shí)，售價(jià)x是55元時(shí)，獲利最大，最大利潤是1250元.∴Q＝－2(x－55)2＋1250(50≤x≤70)∵a＝－2＜0，圖象開口向下,且50≤55≤70∴當(dāng)x＝55時(shí)，Q最大＝1250(3)若4月份該商品銷售后的總利潤為1218元，則該商品售價(jià)與當(dāng)月的銷售量各是多少？∴若4月份該商品銷售后的總利潤為1218元，則該商品售價(jià)為51元或59元，當(dāng)月的銷售量分別為58件或42件.當(dāng)x2＝59時(shí)，y2＝－2x＋160＝－2×59＋160＝42(件)典例精析解：∵當(dāng)40≤x≤50時(shí)，Q最大＝1200＜1218當(dāng)50≤x≤70時(shí)，Q最大＝1250＞1218∴售價(jià)x應(yīng)在50～70元之間∴－2(x－55)2＋1250＝1218解得：x1＝51，x2＝59當(dāng)x1＝51時(shí)，y1＝－2x＋160＝－2×51＋160＝58(件)變式1若該商品售價(jià)在40～70元之間變化，根據(jù)例題的分析、解答，直接寫出每月總利潤Q與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；并說明，當(dāng)該商品售價(jià)x是多少元時(shí)，該商店每月獲利最大，最大利潤是多少元？

解：Q與x的函數(shù)關(guān)系式為：變式訓(xùn)練若40≤x≤50，則當(dāng)x＝50時(shí)，Q最大＝1200若50≤x≤70，則當(dāng)x＝55時(shí)，Q最大＝1250∵1200＜1250∴售價(jià)x是55元時(shí)，獲利最大，最大利潤是1250元.

變式2若該商店銷售該商品所獲利潤不低于1218元，試確定該商品的售價(jià)x的取值范圍；解：Q與x的函數(shù)關(guān)系式為：變式訓(xùn)練①當(dāng)40≤x≤50時(shí)，∵Q最大＝1200＜1218，∴此情況不存在.∴若該商品所獲利潤不低于1218元，則售價(jià)x的取值范圍為51≤x≤59.12185951

xQO551250

變式訓(xùn)練②當(dāng)50≤x≤70時(shí)，Q最大＝1250＞1218當(dāng)Q＝1218時(shí)，－2(x－55)2＋1250＝1218解得：x1＝51，x2＝59由Q＝－2(x－55)2＋1250的圖象和性質(zhì)可知:當(dāng)51≤x≤59時(shí)，Q≥1218.變式3在變式2的條件下，已知該商店采購這種新商品的進(jìn)貨款不低于1620元，則售價(jià)x為多少元時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少元？解：由題意得：解得：51≤x≤53變式訓(xùn)練12185951

xQO551250又∵a＝－2＜0∴當(dāng)51≤x≤53時(shí)，Q隨x的增大而增大∴當(dāng)x＝53時(shí)，Q最大＝1242.∴此時(shí)售價(jià)x應(yīng)定為53元，利潤最大，最大利潤是1242元.5312421.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30)出售，可賣出(600－20x)件，使利潤最大，則每件售價(jià)應(yīng)定為

元，最大利潤是

元.25課堂練習(xí)5002.進(jìn)價(jià)為80元的某件商品定價(jià)100元時(shí)，每月可賣出2000件，價(jià)格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣的總件數(shù)y(件)與襯衣售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.每月利潤w(元)與襯衣售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.(以上關(guān)系式只列式不化簡)y＝2000－5(x－100)w＝[2000－5(x－100)](x－80)課堂練習(xí)3.一工藝師生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為9個(gè)檔次.第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)80件，每件可獲利潤12元.產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品的利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件.如果只從生產(chǎn)利潤這一角度考慮，他生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品，可獲得最大利潤？課堂練習(xí)解：設(shè)生產(chǎn)x檔次的產(chǎn)品時(shí)，每天所獲得的利潤為w元.當(dāng)x＝8時(shí)，w有最大值，且w最大＝1352.答：該工藝師生產(chǎn)第8檔次產(chǎn)品，可使利潤最大，最大利潤為1352.w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)]＝(10＋2x)(84－4x)＝－8x2＋128x＋840＝－8(x－8)2＋1352(1≤x≤9,x取整數(shù))xy516O

74.某種商品每天的銷售利潤y(元)與銷售單價(jià)x(元)之間滿足關(guān)系：y＝ax2＋bx－75.其圖象如圖.(1)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？解：由圖象可求y＝－x2＋20x－75∵－1＜