2022屆陜西省西安市閻高藍(lán)周臨五區(qū)縣高三下學(xué)期聯(lián)考二數(shù)學(xué)文試題解析版

2022屆陜西省西安市閻、高、藍(lán)、周、臨五區(qū)縣高三下學(xué)期聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，對進(jìn)行分類討論，根據(jù)是的子集列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時，，滿足.當(dāng)時，由于，所以.綜上所述，的取值范圍是.故選：C2．用系統(tǒng)抽樣的方法從720人中抽取24人參加某項公益活動，現(xiàn)將這720人從1到720隨機(jī)編號，已知分組后某組抽到的號碼為77，則抽到的24人中編號在區(qū)間的數(shù)量為（

）A．12 B．14 C．11 D．16【答案】D【分析】求得組距，然后確定抽到的24人中編號在區(qū)間的數(shù)量.【詳解】組距為，，故抽取的為，，所以抽到的24人中編號在區(qū)間的數(shù)量為.故選：D3．已知m，，是虛數(shù)單位，若，則（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)乘法、復(fù)數(shù)相等的知識求得，由此求得.【詳解】由得，所以，所以.故選：A4．設(shè)，若，則x的值為（

）A．3 B．1 C． D．1或3【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式列方程，由此求得的值.【詳解】時，令，解得，時，令，解得，這與矛盾，∴.故選：B5．已知向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算計算即可得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：C.6．設(shè)是拋物線上一點，若點A到拋物線的焦點距離為3，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因點在拋物線上，∴，由A到拋物線的焦點距離為3得.解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：C7．已知x，y滿足不等式組，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為180，則實數(shù)m的值為（

）A．60 B．75 C．50 D．80【答案】A【分析】畫出可行域，通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，根據(jù)最大值列方程，從而求得的值.【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖：由可得：，平移直線；由圖象可知當(dāng)直線，經(jīng)過點時，直線的截距最小，此時z最大，，解得.故選：A8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體最長的棱長為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】畫出直觀圖，然后計算出最長的棱長.【詳解】畫出三視圖對應(yīng)的幾何體的直觀圖如下圖所示四棱錐.，，，，.所以最長的棱長為.故選：B【點睛】本小題主要考查三視圖，屬于基礎(chǔ)題.9．已知為等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】由公比且可得充分性不成立，必要性顯然成立，由此可得答案.【詳解】當(dāng)公比且時，，，此時，，不遞增，充分性不成立，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為遞增數(shù)列時，，顯然必要性成立.綜上所述：“”是“為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件.故選：A10．若函數(shù)，（），且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可知：直線為對稱軸、為零點（對稱中心），結(jié)合以及列方程，化簡求得的值.【詳解】，依題意可知：的最小值為.即，解得.故選：D11．拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由古典概型概率公式分別計算出事件A和事件B發(fā)生的概率，又通過列舉可得事件A和事件B為互斥事件，進(jìn)而得出事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率即為事件A和事件B的概率之和．【詳解】事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶數(shù)點有2和4，不小于5的點數(shù)有5和6，所以事件A和事件B為互斥事件，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故選：A．【點睛】本題主要考查古典概型計算公式，以及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用，屬于中檔題．12．設(shè)為上的偶函數(shù)且，當(dāng)時，，若方程在內(nèi)只有3個解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間內(nèi)有3個交點求解.【詳解】解：由得，又為偶函數(shù)，∴，∴為周期為2的函數(shù).因為方程在區(qū)間內(nèi)有3個解，所以函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間內(nèi)有3個交點，當(dāng)時顯然不合題意；當(dāng)時，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖所示：由圖得，解得.故選：D.二、填空題13．已知函數(shù)的圖象過原點，且在原點的切線為第一、三象限的平分線，試寫出一個滿足條件的函數(shù)______.【答案】（答案不唯一）【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在原點處的切線方程，從而求得一個正確答案.【詳解】，，，所以在原點處的切線方程為，符合題意.故答案為：14．在四面體中，，，，則四面體的外接球的體積為___________.【答案】【分析】判斷出球心的位置，計算出球的半徑，由此求得球的體積.【詳解】由，，，所以，.可得，設(shè)O為中點，則，即O為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的體積為：.故答案為：15．在中，三邊長組成公差為1的等差數(shù)列，最大角的正弦值為，則這個三角形的外接圓的直徑為___________.【答案】【分析】先根據(jù)最大角的正弦值求得最大角，然后利用余弦定理列方程，求得三角形的邊長，利用正弦定理求得外接圓的直徑.【詳解】設(shè)三角形的三邊長分別a，，，最大角為，由已知，∵，∴或.當(dāng)時，因為最大角為，所以由三角形內(nèi)角和可知，這樣不構(gòu)成三角形，故舍去；當(dāng)時，由余弦定理可知：.解得或（舍去）.設(shè)外接圓半徑為R，則，即，∴.故答案為：16．已知橢圓，雙曲線的離心率互為倒數(shù)，，為雙曲線的左?右焦點，設(shè)點M為的漸近線上的一點，若（O為坐標(biāo)原點），的面積為16，則的方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的離心率求得雙曲線的離心率，從而求得雙曲線漸近線的方程，根據(jù)以及的面積列方程，化簡求得，從而求得的方程.【詳解】橢圓的離心率為，所以雙曲線的離心率為，不妨設(shè)在直線上，設(shè)，則，設(shè)，，則，∵，∴.整理得①，依題意：，即：②，①②聯(lián)立得.∴，，，∴的方程為：.故答案為：三、解答題17．2021年春季某流感病毒爆發(fā)期間，某學(xué)校從2021年2月1日到2月5日患病人數(shù)見下表：第x天12345患病人數(shù)y（人）359m19若在一定時間內(nèi)，該學(xué)?；疾∪藬?shù)y與天數(shù)x具有線性相關(guān)關(guān)系，已知線性回歸方程恒過定點.(1)求m的值和線性回歸方程；(2)預(yù)測該學(xué)校2月幾日始“單日患病人數(shù)突破40人”.參考公式：，，，為樣本平均值.【答案】(1)，(2)該學(xué)校2月11日開始“單日患病人數(shù)突破40人”【分析】（1）利用求得，然后根據(jù)回歸直線方程的計算公式，計算出回歸直線方程.（2）根據(jù)回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測.【詳解】(1)由題意，，，∴，解得，∵，，所以.∴，所以線性回歸方程為.(2)令得，∵x為正整數(shù)，∴.∴該學(xué)校2月11日開始“單日患病人數(shù)突破40人”.18．如圖，在直三棱柱中，M，N分別是線段，的中點.(1)求證：；(2)在線段上是否存在一點P使得平面平面，若存在，指出點P的具體位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，P為的中點【分析】（1）先證明，再根據(jù)直棱柱性質(zhì)說明線面垂直，從而證明；（2）找到的中點即為所求點；利用三角形中位線性質(zhì)，證明線面平行，再根據(jù)平面與平面平行的判定定理進(jìn)行證明即可.【詳解】(1)連接，因為在直三棱柱中，為平行四邊形，故和相交，交點為它們的中點，由于N是線段的中點，故N也為的中點，因為M為的中點，所以為的中位線，所以.∵平面平面ABC，∴，∴，即.(2)存在，P為的中點時，平面平面，證明：連結(jié)，，因為N為的中點，P為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又由（1）知,平面,平面，故平面，又平面，所以平面平面.19．已知等比數(shù)列中，，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等比數(shù)列的首項和公比，由此求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為q，則，∴或（舍去），由得.∴.(2)設(shè)①②∴∴.20．已知.(1)求時，在處的切線方程；(2)若存在兩個極值點，且，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)切點和斜率求得切線方程，（2）由寫出根與系數(shù)關(guān)系，化簡，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1)時，，，∴∴在處的切線方程為：，即.(2)，依題意得，是的兩個不相等的正根，∴，解得，.令，（），則.∴在上為增函數(shù).∴∴，即.∴實數(shù)m的取值范圍為.【點睛】求解曲線切線有關(guān)問題，關(guān)鍵點有兩個，一個是切點，一個是斜率，切點既在曲線上，也在切線上；斜率一般用導(dǎo)數(shù)來求得.21．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P，Q為橢圓C上任意兩點，且點P，，Q三點共線，若三角形的周長為8，離心率.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C外切于矩形，求矩形面積的最大值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）關(guān)鍵三角形的周長為4，得到，再由，得到求解；（2）分矩形中有一條邊與坐標(biāo)軸平行時，則另外三條也與坐標(biāo)軸平行，易解；矩形的邊都不與坐標(biāo)軸平行時，由對稱性，不妨設(shè)直線的方程為；，則的方程為：，的方程為：，的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，分別求得矩形的邊長，求解.【詳解】(1)解：因為三角形的周長為4，所以，則，又∵，∴，∴，∴，所以橢圓C的方程為.(2)當(dāng)矩形中有一條邊與坐標(biāo)軸平行時，則另外三條也與坐標(biāo)軸平行，此時.當(dāng)矩形的邊都不與坐標(biāo)軸平行時，由對稱性，不妨設(shè)直線的方程為；，則的方程為：.的方程為：，的方程為：.由，得，令得，同理得.矩形的邊長分別為，.∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以矩形面積的最大值是12.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線M的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的普通方程和曲線M的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線，與曲線C，M分別交于點A，B，求的取值范圍.【答案】(1)曲線C的普通方程為，曲線M的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）對于曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)求得曲線的普通方程.根據(jù)極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的公式求得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）通過聯(lián)立方程的方法求得，從而求得的取值范圍.【詳解】(1)曲線C方程為，∴.∵，∴.∴曲線C的普通方程為.由得.∴曲線M的直角坐標(biāo)方程為，即.(2)曲線C的極坐標(biāo)方程為，由得，由得，∴.∵，∴.所以的取值范圍是.23．已知函數(shù)，.(1)已知不