2022屆湘豫名校高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題解析版

2022屆湘豫名校高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合的補(bǔ)集，再由交集運(yùn)算可得答案.【詳解】集合，，則所以，故選：B.2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】先求，結(jié)合復(fù)數(shù)的模求解公式即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，則，所以．故選：D．3．若數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，再由已知求得，由此求得答案.【詳解】解：令.因?yàn)椋?，所以，，所?所以.所以.故選：A.4．已知函數(shù)在處取得極值，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極值點(diǎn)求得參數(shù)，再結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)，可得.因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得.則，對(duì)：令，可得，故不是的對(duì)稱中心，故錯(cuò)誤；對(duì)：令，可得，故不是的對(duì)稱中心，故錯(cuò)誤；對(duì)：令，可得，又的最大值為，最小值為，故不關(guān)于直線對(duì)稱，故錯(cuò)誤；對(duì)：令，可得，又的最大值為，故關(guān)于直線對(duì)稱，故正確.故選：.5．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用特值法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可判斷和選擇.【詳解】由圖象可知，，對(duì)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有意義，故排除；由圖象可知，，對(duì)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足圖象要求；對(duì)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足圖象要求；故選：.6．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線C的一條漸近線交于A點(diǎn)，若以F為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，O，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，即可求得，從而寫(xiě)出漸近線方程.【詳解】由已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，因?yàn)橐訤為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，O，所以，則△為等邊三角形，所以，則，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：7．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由求出，利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式即可求得.【詳解】因?yàn)樗?所以.故選：C.8．已知，，.則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所?故選：D9．在的展開(kāi)式中，除項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．299 B． C．300 D．【答案】A【分析】先，求出展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，然后求出項(xiàng)的系數(shù)，從而可得答案.【詳解】令，得.所以的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為.由可以看成是5個(gè)因式相乘.要得到項(xiàng)，則5個(gè)因式中有1個(gè)因式取，一個(gè)因式取，其余3個(gè)因式取1，然后相乘而得.所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中，除項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)之和為.故選：A10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某三棱臺(tái)的三視圖，則該幾何體的表面積為（

）A．8 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)三視圖，還原幾何體，根據(jù)幾何關(guān)系再求其表面積即可.【詳解】根據(jù)三視圖可得該幾何體為三棱臺(tái)，其可以看作棱長(zhǎng)為2的正方體的一部分，分別為兩條棱的中點(diǎn)，故其表面積.故選：.11．為了防控疫情，某市進(jìn)行核酸檢測(cè)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該市在某一周內(nèi)核酸檢測(cè)的人數(shù)（單位：萬(wàn)人）如下圖所示：記表示從第i天開(kāi)始，連續(xù)3天核酸檢測(cè)人數(shù)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，則，，，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)得出，再計(jì)算，，即可.【詳解】設(shè)第i天的核酸檢測(cè)人數(shù)為萬(wàn)人，因?yàn)?，同時(shí)，，所以.所以.記為數(shù)據(jù)a，b，c的標(biāo)準(zhǔn)差則同理可得.所以.又，所以，綜上可得.故選：A.12．若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用分離參數(shù)法得到，令，由，得.再利用導(dǎo)數(shù)證明時(shí)成立，即可得到.【詳解】由原不等式可得，.令，則由，得.令，則，由，解得：；由，解得：.所以在上單增，在上單減，所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.令，則，由，解得：；由，解得：.所以在上單增，在上單減，所以，即，所以.所以.令，.對(duì)于，因?yàn)?，兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，可得：，所以而，當(dāng)時(shí)，和等號(hào)同時(shí)成立.所以.故.故選：C.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題13．已知向量，，其中，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由向量的模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出最小值.【詳解】因?yàn)?，所?所以.故答案為：14．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.【答案】【分析】由得出，當(dāng)時(shí)，由減去得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，①.②①②，得.因?yàn)椴粷M足上式，所以故答案為：15．在△ABC中，.BC=7，，點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的橢圓上，同時(shí)點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線上，若，的離心率分別為，，且，則角___________.【答案】60°【分析】設(shè)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義及離心率公式可得，，，從而求得或.在利用余弦定理可不就得答案.【詳解】解：設(shè)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，則，，且.因?yàn)辄c(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的橢圓上，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線上，所以.因?yàn)椋?所以或.所以.因?yàn)?，所?故答案為：60°.16．阿基米德多面體（Archimedeanpolyhedra）是由兩種或三種正多邊形面組成的半正多面體.它共有13種，其特點(diǎn)是棱長(zhǎng)相等.如圖1，順次連接棱長(zhǎng)為2的正方體各棱的中點(diǎn)，得到一個(gè)阿基米德多面體，如圖2，在此阿基米德多面體的所有棱中任取兩條，則兩條棱垂直的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)圖形，先求出24條棱中的所有組合，再求兩條棱垂直的情況，分別計(jì)算出每一類情況中的垂直情況即可求解.【詳解】此阿基米德多面體共有24條棱，任取2條，共有種.兩條棱垂直有兩類情況：①都來(lái)自同一個(gè)正方形：種；②來(lái)自對(duì)面的兩個(gè)正方形：種.故所求概率為.故答案為：三、解答題17．已知三棱柱中，∠ACB=90°，，平面ABC，AC=BC，E為AB的中點(diǎn)，D為上一點(diǎn).(1)求證：AD⊥CE；(2)當(dāng)D為的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)線線垂直，證明線面垂直，從而得到線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后求相關(guān)平面的法向量，再運(yùn)用向量的夾角公式可求解.【詳解】(1)因?yàn)?，E為AB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以.因?yàn)?，且平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?(2)以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，.所以，.易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面ACD的法向量為，則即亦即令，則平面ACD的一個(gè)法向量為.所以.故二面角的余弦值為.18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求的最小值；(2)若，求角C.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式可求得答案；（2）由正弦定理進(jìn)行邊角互化得，由余弦定理求得，利用正弦的差角公式可求得答案.【詳解】(1)解：因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ?，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.(2)解：由及正弦定理，得，即.所以.因?yàn)?，所?由及正弦定理，得.因?yàn)?，所?所以.所以.所以.因?yàn)椋?19．如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB的垂心為原點(diǎn)O.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時(shí)，.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：點(diǎn)P在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義及韋達(dá)定理可求解；（2）根據(jù)垂心建立斜率之間的關(guān)系，從而得到直線，兩直線聯(lián)立得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理，從而可得點(diǎn)P在定直線上.【詳解】(1)設(shè)直線l的方程為，，.由得.所以，.由拋物線定義，得.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時(shí)，，.所以，即拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由（1），得，.因?yàn)榈拇剐臑樵c(diǎn)O，所以，.因?yàn)?，所?所以直線AP的方程為，即.同理可得，直線BP的方程為.聯(lián)立方程解得即.所以點(diǎn)P在定直線上.20．某地質(zhì)量檢測(cè)部門從一企業(yè)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量這批產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)這100件產(chǎn)品的技術(shù)指標(biāo)值的中位數(shù)；(2)根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的技術(shù)指標(biāo)值X近似地服從正態(tài)分布.根據(jù)上表計(jì)算出樣本平均數(shù)，樣本方差，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，從該企業(yè)這批產(chǎn)品中購(gòu)買50件，設(shè)這50件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值恰好在98.32與194.32之間的數(shù)量為Y，求；(3)如果產(chǎn)品的技術(shù)指標(biāo)值在與之間為合格品，其他技術(shù)指標(biāo)值為次品，每抽取100件產(chǎn)品中的合格品和次品件數(shù)分別是多少（精確到個(gè)位數(shù)）？計(jì)算從100件產(chǎn)品中任取3件，恰好取到1件次品的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，.【答案】(1)130.375(2)(3)【分析】（1）設(shè)中位數(shù)為，由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)的方法計(jì)算即可；（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)得出質(zhì)量指標(biāo)值恰好在98.32與194.32之間的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布得出；（3）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出次品件數(shù)，再由概率公式計(jì)算即可.【詳解】(1)設(shè)中位數(shù)為.因?yàn)?，所以，解?所以估計(jì)這100件產(chǎn)品的技術(shù)指標(biāo)值的中位數(shù)為130.375.(2)依題意，得，所以.所以從這批產(chǎn)品中任取一件其質(zhì)量指標(biāo)值恰好在98.32與194.32之間的概率為0.8185.這50件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值恰好在98.32與194.32之間的數(shù)量為Y，則Y服從二項(xiàng)分布，.所以.(3)依題意，產(chǎn)品的技術(shù)指標(biāo)值在與之間為合格品，其概率為，所以每抽取100件產(chǎn)品中合格品件數(shù)為95件，次品件數(shù)為5件.所以從100件產(chǎn)品中任取3件，恰好取到1件次品的概率為.21．對(duì)于正實(shí)數(shù)a，b（），我們熟知基本不等式：，其中為a，b的幾何平均數(shù)，為a，b的算術(shù)平均數(shù).現(xiàn)定義a，b的對(duì)數(shù)平均數(shù)：.(1)設(shè)，求證：，并證明；(2)若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b（）恒成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，，即可得到.用分析法證明.（2）把題意轉(zhuǎn)化為恒成立.令，即為恒成立.令，分和兩種情況求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】(1)令，定義域?yàn)?則.所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，，即.（）要證，只需證，只需證，即證.令，則由（），得.所以，即.(2)由恒成立，得恒成立，即恒成立.令，由恒成立，得恒成立.所以恒成立.令，則.（注：）i.當(dāng)，即時(shí)，易知方程有一根大于1，一根小于1，所以在上單調(diào)遞增.所以，不符合題意.ii.當(dāng)時(shí)，有，所以，從而在上單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，恒有，符合題意.綜上可知，正實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.22．在平面直角坐標(biāo)系中.直線（t為參數(shù)，為l的傾斜角.）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓，直線l與圓C交于M.N兩點(diǎn).(1)若直線l的斜率，求弦MN的中點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)與弦長(zhǎng)的值；(2)若點(diǎn).證明：對(duì)任意，有為定值.并求出這個(gè)定值.【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析，定值33【分析】（1）將代入圓C的方程，得.設(shè)點(diǎn)M，N，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，由參數(shù)t的幾何意義和中點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)和.（2）由（1）根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可得為定值，與無(wú)關(guān).【詳解】(1)解：由圓，得圓.將代入，得.設(shè)點(diǎn)M，N，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則有，，，.當(dāng)時(shí)，，所以，.所以.所以，，.所以.所以.所以.(2)解：