空間向量的應(yīng)用訓(xùn)練卷(含解析)

空間向量的應(yīng)用專(zhuān)題訓(xùn)練卷

一、單選題

1.（2020?江蘇如東?高一期末）在長(zhǎng)方體ABCD—中，AB=BC=2,知=1,則直線(xiàn)BG

與平面3片。，所成角的正弦值為（）

,V6RVwr715nVio

3255

2.（2020?河北新華。石家莊二中高一期末）在正方體A3CD—44G。中，M,N分別為A。，的

中點(diǎn)，。為側(cè)面BCG4的中心，則異面直線(xiàn)與。2所成角的余弦值為（）

1111

A.一B.一C.---D.---

6464

3.（2020?遼寧高三其他（文））如圖，在長(zhǎng)方體力8辦46K〃中，AB=B（=2,AAt=l,則8G與平面隔〃，

所成角的正弦值為（）

.V6276「厲A/10

A.-------DR.---------L.---------NL).----------

3555

4.（2020?黑龍江道里?哈爾濱三中高三二模（理））已知四面體ABCD中，AB,BC,兩兩垂直,

BC=BD=e，A3與平面ACD所成角的正切值為;，則點(diǎn)5到平面ACO的距離為（）

2百C.6

A

-T亍5

5.（2020?山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高二月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體A3CD-4gGA中，點(diǎn)〃為棱CG

的中點(diǎn)，則直線(xiàn)用"與平面ARA/所成角的正弦值是（）

2

5

6.（2018?浙江高三其他）如圖，在長(zhǎng)方體4耳。］。一432c之。？中，44=24耳=2耳G，A,B,C

分別是A4，42，的中點(diǎn)，記直線(xiàn)3c與A。所成的角為a,平面A5CN與平面所

成二面角為￡，則（）

A.cosa=cos/3B.sina=sin/?

C.costz>cost/3D.sintz<sin/?

7.（2020?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三三模）在三棱柱ABC-4與G中，。是棱8C上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），記直

線(xiàn)耳。與直線(xiàn)AC所成的角為4,直線(xiàn)耳。與平面A4cl所成的角為名，二面角G-44-。的平面角

為。3,則（）

A.4＜%＜。3B.。2＜仇＜。3c.03＜02＜01D.為＜名＜4

8.（2020?浙江衢州?高二期末）在底面為銳角三角形的直三棱柱ABC-4gC中，。是棱的中點(diǎn)，

記直線(xiàn)BXD

與直線(xiàn)AC所成角為4,直線(xiàn)耳。與平面A與G所成角為。2,二面角G-44-。的平面角為名，則

（）

A.02<OX,O2<6*3B.02>OVO2<03C,02<0^02>03D,02>0V02>03

9.（2020?浙江省杭州第二中學(xué)高三其他）空間線(xiàn)段AC,A3,BD±AB,且AC:AB:8D=1:3:1,

設(shè)CD與AB所成的角為&，CD與面ABC所成的角為￡,二面角C—A3—O的平面角為7,則（）

A.§&a工^^B./3工^^&aC.a〈尸W；D.■〈夕

10.（2020?四川高三三模（理））如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑比‘=4,

2

=AC,/的C=90°,2為半圓弧的中點(diǎn)，若異面直線(xiàn)做和/區(qū)所成角的余弦值為一，則該幾何體的體積為

3

（）

A.16+80B.32+16nC.32+8萬(wàn)D.16+16n

二、多選題

11.（2019?江蘇徐州。高二期末）下列命題中正確的是（）

A.A5,M,N是空間中的四點(diǎn)，若3ABM,3N不能構(gòu)成空間基底，則A,5,M,N共面

B.已知｛a,。,c｝為空間的一個(gè)基底，^m=d+c,貝葉。,兒機(jī)｝也是空間的基底

2

C.若直線(xiàn)/的方向向量為6=（1,0,3）,平面a的法向量為〃=（—2,0,§）,則直線(xiàn)///a

D.若直線(xiàn)/的方向向量為6=（1,。,3）,平面a的法向量為〃=（-2,0,2）,則直線(xiàn)/與平面a所成角的正弦

值為好

5

12.（2020?山東平邑?高二期末）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體A3CD-AgGR，其中，以

頂點(diǎn)/為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°,下列說(shuō)法中正確的是（）

A.（A^+AB+AD^=2（AC）2B.AD）=0

D.BA與/C所成角的余弦值為逅

c.向量4c與A4,的夾角是60。

3

13.（2020?福建廈門(mén)?高二期末）正方體A3CD-4gGR中，￡、F、G、〃分別為CQ、BC、CD、BB、BB{

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

平面尸）平面

A.BXG±BCB.AE920=42

兀

c.面/必D.二面角E—”—C的大小為一

4

14.正三棱柱ABC—A與G中，的=國(guó)8,貝U（）

A.AG與底面ABC的成角的正弦值為:

B.AG與底面ABC的成角的正弦值為走

2

AQ與側(cè)面AA.B.B的成角的正弦值為B

C.

4

D.AG與側(cè)面照片5的成角的正弦值為史

4

三、單空題

15.（2020?四川省南充市白塔中學(xué)高二月考（理））已知平面a的一個(gè)法向量”=10,一萬(wàn),一，2j,Aea,

.（1*

P史a,且PA=-^,-,72,則直線(xiàn)R4與平面a所成的角為_(kāi)____.

（22J

16.（2019?河南高二競(jìng)賽）等邊三角形ABC與正方形A5DE有一公共邊AB，二面角C—A3—。的余

弦值為且，M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，則EM,AN所成角的余弦值等于.

3

17.（2019?安徽埔橋。北大附宿州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（理））若平面a,夕的法向量分別為M=（4,0,3）,

v=（-1,1,0）,則這兩個(gè)平面所成的銳角的二面角的余弦值為.

四、雙空題

18.（2020?浙江寧波。高二期末）在正四面體ABCD中，M.N分別為棱5C、AB的中點(diǎn)，設(shè)A3=a，

UUUL1

AC=6，AO=c，用。，b，c表示向量。，異面直線(xiàn)DM與CN所成角的余弦值為.

19.（2018?北京海淀。高二期末（理））已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD,。為A在底面3CD上的正射

影，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，M為線(xiàn)段A5的中點(diǎn)，則"點(diǎn)坐標(biāo)是，直線(xiàn)DM與平面

所成角的正弦值是.

20.（2020?山東德州。高二期末）如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，ZACB=9Q°,A&=AC=BC=1,

則異面直線(xiàn)BG與4與所成角為；二面角A-BQ-C的余弦值是.

jr

21.如圖，在三棱錐S—ABC中，SA=SB=SC,且/458=/85。=/。54=—,M、"分別是和

2

SC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)皿與m所成的角的余弦值為,二面角A-SC-M大小為.

五、解答題

22.（2020?上海高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的立方體ABC。-A與G。中，E是棱4。的中點(diǎn),

“為平面A41A。內(nèi)的點(diǎn).

（2）求點(diǎn)G到平面或處的距離.

23.（2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱中，=AB=BC=3,AC=2,。是AC的中點(diǎn).

（1）求證：用?！ㄆ矫鍭BD；

（2）求直線(xiàn)用。到平面的距離.

24.（2019?天津南開(kāi)。崇化中學(xué)高二期中）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面

PCD,底面ABCD,且PC=PD=2,M，N分別為棱尸C,A￡＞的中點(diǎn).

（1）求證：BC工PD；

（2）求異面直線(xiàn)3M與尸N所成角的余弦值；

（3）求點(diǎn)N到平面MBD的距離.

25.（2020?河南高三其他（理））《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多

年，在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為塹堵⑦聆〃血）；陽(yáng)馬指底面為

矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈（反e〃ao）指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵

ABC—4用。1中，AB±AC.

當(dāng)

AC

⑴求證：四棱錐B-4ACG為陽(yáng)馬；

（2）若=2,當(dāng)鱉膈G-A5C體積最大時(shí),求銳二面角C-A.B-C,的余弦值.

26.（2019?浙江衢州?高二期中）四棱錐尸—ABCD中，AP=AC,底面ABC。為等腰梯形，CD//AB,

AB=2CD=2BC=2,E為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，PCLCB.

（1）證明：AE_L平面PC8；

（2）若尸5=2,求直線(xiàn)。尸與平面APC所成角正弦值.

27.（2020?武威第六中學(xué)高三其他（理））如圖，四棱錐尸-A3CD的底面為直角梯形，BCHAD,

440=90。，AD=PD=2AB=2BC=2,M為E4的中點(diǎn).

（I）求證：BMHPCD

（II）若平面A3CD，平面上4。，異面直線(xiàn)6C與所成角為60°,且△RU）是鈍角三角形，求二

面角8-PC-D的正弦值

一、單選題

1.（2020?江蘇如東高一期末）在長(zhǎng)方體A3CD—44G2中，AB=BC=2,A4=1,則直線(xiàn)BQ與

平面3月。。］所成角的正弦值為（

A.亞B.姬「岳D.半

325

【答案】D

【解析】

以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為x軸、V軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),Q(0,2,1),

.-.BQ=(—2,0,l),AC=(—2,2,0),47為平面3與2。的一個(gè)法向量.

?cos<BCAC>—彳_

..COS<J,/ILxx>——j=—---------.

16把5

直線(xiàn)BCi與平面BB［DD［所成角的正弦值為半.

故選：D.

2.（2020?河北新華石家莊二中高一期末）在正方體ABC?！狝耳￡。中，M,N分別為AQ,G。的

中點(diǎn)，。為側(cè)面3CC］用的中心，則異面直線(xiàn)與。2所成角的余弦值為（）

【答案】A

【解析】

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4。。,。2所在直線(xiàn)為羽％2軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)

為2，則M(1,0,0),N(0,1,2),0(1,2,1),口(0,0,2),：.MN=(-1,1,2),ODX=(-1,-2,1).則

屋八1MNOD\111

cos(W,啊=?]=后幾=%..?.異面直線(xiàn)MN與ODi所成角的余弦值為彳，故選A.

3.（2020?遼寧高三其他（文））如圖，在長(zhǎng)方體48c￡）-48601中，A8=8C=2,AAi=l,則8cl與平面8囪。1。

所成角的正弦值為（）

.孚

、V6R2任「V15

D.--------

355

【答案】D

【解析】

以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、所在的直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則A（2,0,

0),B(2,2,0),C(0,2,0),G(0,2,1)

:.BG=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),AC且為平面BB1D1D的一個(gè)法向量.

/.cos(BC,AC)=/廣=眄.：.BCi與平面BBiDiD所成角的正弦值為叵

16提55

4.(2020?黑龍江道里哈爾濱三中高三二模(理))己知四面體ABCD中，AB，BC,3D兩兩垂直,

BC=BD=0A3與平面ACD所成角的正切值為;，則點(diǎn)3到平面ACD的距離為()

AV3R2/RA/5N2A/5

2355

【答案】D

【解析】

以B為原點(diǎn)、,BC,BD，B4分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)54=1,/>0,5(0,0,0),C(、歷,0,0),0(0,、歷,0),A(0,0,。.

AB=(0,0,-t),CA=(-V2,0j),CD=(-72,72,0).

設(shè)平面ACD的法向量〃=(x,y,z),

n.CA--y]2x+tz=O令X=l,得y=l,z=@

則《

n-CD=-y[lx+>Jly=0

因?yàn)橹本€(xiàn)AB與平面AC。所成角的正切值為上,

2

所以直線(xiàn)AB與平面AC￡＞所成角的正弦值為好.

5

A/2_V5

I2-5，角吊得t—2.

"Hfl[1+1+3一

所以平面AC。的法向量〃=

園72_2指

故B到平面ACD的距離為d=j；1=I-

故選：D

5.（2020.山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高二月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-4gGA中，點(diǎn)M為棱CQ

的中點(diǎn)，則直線(xiàn)耳/與平面ARA/所成角的正弦值是（）

4

D.

5

【答案】B

【解析】

tO,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,1),2(0,0,l),M(0,l,|),Bx(1,1,1)

-----11

4。二(-1,。,。)，。陽(yáng)=(0,1,-5),.=(1,0,])

設(shè)平面ARV的法向量為根二（X,y,z）

-x=0

\Di-m=0

則《<1c令y=i可得z=2,所以根=(0,1,2)

DM-m=0y——z=0

XI2

設(shè)直線(xiàn)BXM與平面所成角為夕，

,八\m-MB]i2

SHI夕=j1—

\m|-H亞文男5

2

故選：B

6.（2018?浙江高三其他）如圖，在長(zhǎng)方體44GA—中，44=24月=2月。1，A，區(qū)，c分

別是44，B&2,GG的中點(diǎn)，記直線(xiàn)02c與A2所成的角為a,平面與平面ABG2所成

二面角為夕，則（）

A.cosa=cos(3B.sin。=sinf3

C.cos(z>costj3D.sin。<sin/?

【答案】B

【解析】

連接A環(huán)用2,如圖,

Di

在長(zhǎng)方體內(nèi)知A4//3C

所以為異面直線(xiàn)。2c與A2所成的角為a,

易知人耳。為等邊三角形，

所以a=60°，

因?yàn)?3-L平面ABB24,AB2u平面ABB^,

所以A3,AB?

又AB2-LA,B,4Z）"AyB=A,

所以AB?_L平面

同理可得B1C1平面ABCXD},

則AB2-BXC可分別視為平面A.BCD,,平面ABCR的一個(gè)法向量，

又因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體內(nèi)易知而

AD2IIBXC,ND2AB2=60°

故應(yīng)2與片"的夾角為60°，

所以，=60°或￡=120°,

即sin。=sin￡,

故選：B

7.（2020?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三三模）在三棱柱ABC-中，。是棱8C上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），記直線(xiàn)與。

與直線(xiàn)AC所成的角為4,直線(xiàn)用。與平面A與G所成的角為。2,二面角G—A與-。的平面角為打，

則（）

A.4＜。2＜。3B.。2＜，＜。3C.。3＜。2＜4D.為＜名＜，

【答案】D

【解析】

設(shè)三棱柱ABC-G是棱長(zhǎng)為2的正三棱柱，。是棱的中點(diǎn)，

以A為原點(diǎn)，在平面ABC中，過(guò)A作AC的垂線(xiàn)為x軸，

AC為丁軸，A4為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,2）,4（8,1,2）,C（0,2,0）,A（0,0,0）,

'I22J

rjojA

AC=（0,2,0）,B]D=——,—,—2,耳耳=（6,1,0）,

I22J

直線(xiàn)BXD與直線(xiàn)AC所成的角為4,

.\BXD-AC\!

-8S]飛》國(guó)「26，

---直線(xiàn)耳。與平面4與。1所成的角為4，

平面44G的法向量〃=（0,0,1）,

.0_2

,2—^^一聲

21

/.COS%=Jl-

飛'

設(shè)平面A^D的法向量）=（a,b,c）,

m?A耳=6a+Z?=0

取a=6，得根=［百，-3,一5

則<g1

mBD=----a+—b—2c=0

I1}22

二面角G—4耳—。的平面角為％,

cos32>cos4>cos4,

%<a<a

故選：D

8.（2020?浙江衢州高二期末）在底面為銳角三角形的直三棱柱ABC-4與C中，。是棱的中點(diǎn)，記

直線(xiàn)耳。與直線(xiàn)AC所成角為q,直線(xiàn)耳。與平面45cl所成角為名,二面角。1-4用-。的平面角為

仇，則（）

A.0-,<0X,02<^3B.&<夕3C,。2<%&〉83D,0-,>0V02>03

【答案】A

【解析】

由題可知，直三棱柱A3C-43IG的底面為銳角三角形，。是棱5C的中點(diǎn)，

設(shè)三棱柱ABC—A4G是棱長(zhǎng)為2的正三棱柱，

以4為原點(diǎn)，在平面ABC中，過(guò)4作AC的垂線(xiàn)為X軸,

AC為V軸，A/為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,2）,4（6,1,2）,C（0,2,0）,A（0,0,0）,

I22J

.（百]）.

AC=（0,2,0）＞B[D=—--,-,-2,A4=（G,l,0）,

直線(xiàn)用。與直線(xiàn)AC所成的角為4，4e]o,光，

B[DAC1

cosa=---------=—產(chǎn),

B；D.AC2非

7T

一直線(xiàn)用。與平面AdiG所成的角為名,%￡0,y,

平面44G的法向量〃=（o,o,i），

.I3■

sin0?—1------：—?-r=—產(chǎn),

設(shè)平面AXBXD的法向量m=(a,b,c)，

m.4片=6〃+6=0

則《J31

mB,D=-----a+—b—2c=0

122

取〃=百，得加=]g,—3,一/

二面角G—Ag—。的平面角為名，

由圖可知，為為銳角，即qe[。,/）,

cos32>cos4>cos0x,

由于y=cos。在區(qū)間（0,?）上單調(diào)遞減，

%<。3<4，則％<4,。2<。3.

故選：A.

9.（2020?浙江省杭州第二中學(xué)高三其他）空間線(xiàn)段AC，AB,BD±AB,且AC:AB:BD=1:3:1,設(shè)

8與■所成的角為。，CD與面ABC所成的角為夕，二面角C—A5—。的平面角為/,則（）

A.旌。gB.旌亨。C.cc<f3<^D.￡

【答案】A

【解析】

因?yàn)榭臻g線(xiàn)段ACLA5,BD工AB，

所以可將其放在矩形中進(jìn)行研究，

如圖，繪出一個(gè)矩形，并以A點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)锳C:AB:BD=1:3:1,

所以可設(shè)AC=x,AB—3x,BD=x,

則A(0,0,0),5(0,3%,0),C(O,O,x),￡>(x,3x,0),

CD=(x,3x,-x),AB=(0,3x,0),CB=(0,3x,-x),

CDxAB9x23血

故CD與A5所成的角戊的余弦值cosa=?,」?=…八二一二

CDNABVtllx><3x11

因?yàn)楦鶕?jù)矩形的性質(zhì)易知平面ABD_L平面ABC,瓦>，平面ABC,

所以二面角C—AB—D的平面角為7=90,￡=45,cos^=乎，

所以N3CD即CD與面ABC所成的角夕，

CDxCBVlTo

故cosp=

|CD|>^CB|11

因?yàn)槲祝疽玻景?/p>

11112

所以尸

故選：A.

10.（2020.四川高三三模（理））如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑8C=4,AB

2

=AC,NBAC=90。，。為半圓弧的中點(diǎn)，若異面直線(xiàn)2。和AH所成角的余弦值為一，則該幾何體的體積

3

為（）

A.16+8兀B.32+16%C.32+8〃D.16+16TT

【答案】A

【解析】

設(shè)。在底面半圓上的射影為A，連接交于。，設(shè)ADc4G=0.

依題意半圓柱體底面直徑BC=4,A5=AC,ZBAC=90。，D為半圓弧的中點(diǎn)，

所以A。LBCAQLBiG且分別是下底面、上底面半圓的圓心.連接。。1,

則0a與上下底面垂直，所以?？?，OB,OOX±OA,OA±OB,

以O(shè)B,Q4,Oq為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)幾何體的高為則

5（2,0,0）,。（0,-2㈤,A（0,2,0）,耳（2,0,叫,

所以BD=（-2,-2,h）,AB,=（2,-2,h）,

2

由于異面直線(xiàn)和A片所成的角的余弦值為

BDAB,2

所以

3

/?2,

即=_,/=16,/7=4.

8+/?23

191

所以幾何體的體積為一x?x2~義4+—x4x2x4=16+8TT.

22

故選：A

二、多選題

11.(2019?江蘇徐州高二期末)下列命題中正確的是()

A.是空間中的四點(diǎn)，若BARMIN不能構(gòu)成空間基底，則共面

B.已知｛a,b,c｝為空間的一個(gè)基底，若加=a+C,則｛a,機(jī)｝也是空間的基底

2

C.若直線(xiàn)/的方向向量為e=(1,0,3),平面&的法向量為〃=(—2,0,§),則直線(xiàn)///a

D.若直線(xiàn)/的方向向量為e=(1,0,3),平面c的法向量為”=(—2,0,2),則直線(xiàn)/與平面a所成角的正弦

值為更

5

【答案】ABD

【解析】

對(duì)于A,A5,MN是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間基底，則BARMIN共面，貝U

共面，故A對(duì)；

對(duì)于B,已知｛a,仇4｝為空間的一個(gè)基底，則a,b,c不共面，若加=a+c,則a,b,m也不共面，則｛。也加｝

也是空間的基底，故2對(duì)；

2

對(duì)于C,因?yàn)閑-〃=lx(—2)+0><0+3><§=0,則e_L”，若則〃/a,但選項(xiàng)中沒(méi)有條件/(za，

有可能會(huì)出現(xiàn)/ua,故C錯(cuò)；

2+6

對(duì)于。，Vcos｛e,n)==-=,則則直線(xiàn)/與平面&所成角的正弦值為立，故。對(duì)；

\e\\n\710x27255

故選：ABD.

12.(2020?山東平邑高二期末)如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABC。-A4GR，其中，以頂點(diǎn)

A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60。，下列說(shuō)法中正確的是()

------------%

A.(A^+AB+AD)2=2(AC)2B.AC,（AB-AD）=0

D.BA與AC所成角的余弦值為逅

C.向量4c與A4的夾角是60°

3

【答案】AB

【解析】

以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，它們彼此的夾角都是60°,

可設(shè)棱長(zhǎng)為1,則A、AB=A4j-AD=AD-AB=lxlxcos60°=g

(A4+AB+AD)=A4]+AB+AD+2AAX-AB+2AB-AD+2AAl-AD

=l+l+l+3x2x-=6

2

而=2(AB+AD『=2(屆+而+2,回

=211+1+2xg]=2x3=6,所以A正確.

AG?(AB-AD)=(A4j+AB+AD).(AB-AD)

.22

=AAlAB-AAlAD+AB-AB-AD+AD-AB-AD=0,所以B正確.

向量4。=A。,

顯然△44Q為等邊三角形，則NAAD=60°.

所以向量與你的夾角是120。，向量4c與A&的夾角是120。廁C不正確

又打。產(chǎn)的+明―AB,AC=AB+AD

則|BDJ={(AD+AA,-時(shí)=6，\AC\=J(AB+AD『二g

BD『AC=(AD+AAl-AB^-(AB+AD)=1

所以cos（8￡>i，AC）=''=廠1廠=￥，所以D不正確.

\/\BDt\-\AC\V2xV36

故選：AB

13.（2020?福建廈門(mén)高二期末）正方體ABC?！?旦G。中，E、F、G、H分別為CQ、BC、CD、BB、

5區(qū)的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Bfi±BCB.平面AEF平面AAlDiD=ADX

兀

C.A〃//面AEBD.二面角E—”—C的大小為一

4

【答案】BC

【解析】

由題可知，31G在底面上的射影為BG，而5c不垂直BG,

則BQ不垂直于,則選項(xiàng)A不正確;

連接AD1和BC】，E、F、G、H分別為CG、BC、CD、BB、8耳的中點(diǎn),

可知EF//BCXIIADX,所以AAEFu平面AD*F,

則平面A砂平面所以選項(xiàng)3正確;

由題知，可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

以。為原點(diǎn)，ZM為x軸，。。為y軸，為z軸，

則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

A（2,0,0）,C（0,2,0）,E（0,2,l），4（2,0,2）,//（2,2,l）,F（l,2,0）

4〃=（0,2,-1）,AT=（-1,2,0）,跖=（1,0,-1）,A4,=（0,0,2）,

設(shè)平面AEE的法向量為"=（九,y,z）,

則《，即｛令y=l,得尤=2,Z=2,

n-EF=0x-z=O

得平面的法向量為〃=（2,1,2）,

所以A8%=0,所以A"“平面則C選項(xiàng)正確；

由圖可知，至，平面AFC,所以A4是平面AFC的法向量,

…AA?n2

則cos<AAvn>=II，|==-.

|M|-|?|3

兀

得知二面角—C的大小不是一，所以。不正確.

4

故選：BC.

14.正三棱柱ABC—A31cl中，AAi=sj3AB,貝U（）

A.AG與底面ABC的成角的正弦值為:

B.AG與底面ABC的成角的正弦值為正

2

C.AG與側(cè)面相用3的成角的正弦值為走

4

D.AC與側(cè)面44用5的成角的正弦值為史

4

【答案】BC

【解析】

如圖，取AG中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)P，并連接所，

則￡與，EG，EE三條直線(xiàn)兩兩垂直，

則分別以這三條直線(xiàn)為了軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；

設(shè)AB=2；

則反=；

.?.4（0,-1，0）,G（0,I,0）,4（0,-1，2?,C（o,1,2a4（G0,0）,

AG=（0,2,-273）.

底面ABC的其中一■個(gè)法向量為：質(zhì)=（0,0,2百），

AQ與底面ABC的成角的正弦值為|cos<m,AC[>|=?2731=￥'；

A錯(cuò)3對(duì).

A及的中點(diǎn)K的坐標(biāo)為（孝，—；，0）

='d，*o]；

???側(cè)面AA^B的其中一個(gè)法向量為：KCI

122J

I”片「|AQKG36

與側(cè)面A&與3的成角的正弦值為：1111

\AQ\x\KC]4X734，

故。對(duì)。錯(cuò)；

故選：BC.

X

三、單空題

15.（2020?四川省南充市白塔中學(xué)高二月考（理））已知平面a的一個(gè)法向量〃=0,一萬(wàn),,Aecr,

P出a,且。A=當(dāng),;Q,則直線(xiàn)K4與平面&所成的角為_(kāi)_____

I22J

TT

【答案】-

3

【解析】

設(shè)直線(xiàn)Q4與平面a所成的角為氏

In-PAl

則sin8=|cosq=kd

?-PA

jr

???直線(xiàn)與平面。所成的角為一.

3

TT

故答案為：—.

3

16.（2019?河南高二競(jìng)賽）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊A5,二面角C-AB-D的余弦

值為走，M,N分別是AC,5c的中點(diǎn)，則EM,AN所成角的余弦值等于

3

【答案】|

【解析】

設(shè)A2=2,作COL^ABDE

OHLAB,則SLW,NCHO為二面角C-ABV＞的平面角,

CH=6,OH=CHcosZCHO=l,

結(jié)合等邊三角形ABC與正方形ABOE可知此四棱錐為正四棱錐，

AN=EM=CH=6,AN

=^AC+AB\EM=^AC-AE

:.AN-EM=~

2

￡

故EM,AN所成角的余弦值3=J_o

6由一%

17.（2019?安徽埔橋北大附宿州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（理））若平面e,夕的法向量分別為M=（4,0,3）,

v=（-1,1,0）,則這兩個(gè)平面所成的銳角的二面角的余弦值為.

【答案】竽

【解析】

兩個(gè)平面a，￡的法向量分別為:=（4,0,3），；=（一1,1,0），

則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的大小是弘

這兩個(gè)平面所成的銳二面角的余弦值為逑.

5

故答案為：巫.

5

四、雙空題

18.（2020?浙江寧波高二期末）在正四面體ABC。中，M,N分別為棱BC、A6的中點(diǎn)，設(shè)A3=a，

UUU1

AC=b，AO=c，用。，b，c表示向量立0=，異面直線(xiàn)DM與CN所成角的余弦值為.

【答案】—（i+B-2c）.—.

2、>6

【解析】

畫(huà)出對(duì)應(yīng)的正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)均為1則

(1)DM=DA+AM=_c+；(〃+Z?)=；(〃+/?_2c).

(2)由(1)DM——+Z?—2c),

又a?b=a?c=b?c=L.

2

\2DM-2CN\[a+b-2c)?(a—2b)

設(shè)異面直線(xiàn)皿與。V所成角為夕則cos0=J------n——L

20M.2CN8忑

2..?.,2j.

a-la-b+a-b-lb-2a-c+4b-c1-1+--2-1+21

-3—36

故答案為：⑴.—^a+b—2c^.(2).—

19.（2018?北京海淀高二期末（理））已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD,。為A在底面58上的正射影,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，4為線(xiàn)段A5的中點(diǎn)，則〃點(diǎn)坐標(biāo)是，直線(xiàn)DM與平面5CD所成

角的正弦值是

【解析】

由題意易得:

"1

M

3*想,*一子12

5CD的法向量為(0,0,1),

20.(2020.山東德州高二期末)如圖，在直三棱柱43。一4月￡中，NACB=90°,AA=AC=BC=1,

則異面直線(xiàn)BC］與4旦所成角為；二面角A-BQ-C的余弦值是

【答案】|vB

【解析】

直三棱柱ABC—A4cl中，NAC8=90°，

CQ±BC,CQ1AC,AC±BC

如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4,CB,CG為X、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則a。,0,0),B(O,1,0),c(o,o,o),q(0,0,1),4(o,i,i),4(i,o,i)

BC]=(0,-1,1)，4^1=(-1,1,0),AB=(-1,1,0)

品；?曜|1

二.cos<BC,AR>=------1=—

M-n^lr2

所以異面直線(xiàn)BC,與4片所成角為g；

設(shè)平面ABC,的法向量為"=(%,y,z)

n-BC.=0-x+y=0

則1即《令y=l,則〃=(1,1,1)

n-AB=0-y+z=0

顯然平面CBC1的一個(gè)法向量為m=(1,0,0)

n-m1A/3

cos<n,m>=

|n|-|m|A/3xl3

故二面角A-BQ-C的余弦值是顯

3

y

TT

21.如圖，在三棱錐S—ABC中，SA=SB=SC,且NASB=N8SC=NCS4=—,M、N分別是AB和

2

SC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)SM與BN所成的角的余弦值為,二面角A—SC—M大小為.

【答案】叵兀

54

【解析】

因?yàn)?=所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，SA,SB,SC所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)&4=5B=SC=1,則SM=(g,g,0),3N=(0,—l,g)

C°S<SM網(wǎng)〉上:?:《

優(yōu)

所以異面直線(xiàn)SM與所成的角的余弦值為?,

5

平面&1C的一個(gè)法向量為勺=(0,1,0),

設(shè)平面SCM的一個(gè)法向量為巧=(x,y,z),

則由巧?SC=0,4-SM=0,得z=0,；x+；y=0.1可取巧=(1,—1,0),

-1V231

cos<