2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步單元素養(yǎng)檢測含解析新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)檢測(三)(第十一章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.空間中有三條線段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關(guān)系是 ()A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能【解析】選D.如圖可知AB,CD有相交,平行,異面三種狀況.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法不正確的是 ()A.空間中,一組對(duì)邊平行且相等的四邊形肯定是平行四邊形B.同一平面的兩條垂線肯定共面C.過直線上一點(diǎn)可以作多數(shù)條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi)D.過一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直【解析】選D.A,B,C明顯正確.易知當(dāng)直線與平面垂直時(shí),過這條直線有多數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直.2.正方體的表面積與其外接球的表面積的比為 ()A.3∶π B.2∶π C.1∶2π D.1∶3π【解析】選B.設(shè)正方體的棱長為a,則外接球的直徑為2R=QUOTEa,所以R=QUOTEa.正方體的表面積為6a2.外接球的表面積為4πR2=4π·QUOTE=3πa2,所以它們的表面積之比為6a2∶3πa2=2∶π.3.對(duì)兩條不相交的空間直線a與b,必存在平面α,使得 ()A.a?α,b?α B.a?α,b∥αC.a⊥α,b⊥α D.a?α,b⊥α【解析】選B.因?yàn)橐阎獌蓷l不相交的空間直線a和b,所以可以在直線a上任取一點(diǎn)A,則A?b,過A作直線c∥b,則過a,c必存在平面α且使得a?α,b∥α.4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,棱錐A1-ABCD的體積與長方體的體積的比值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)長方體過同一頂點(diǎn)的棱長分別為a,b,c,則長方體的體積為V1=abc,四棱錐A1-ABCD的體積為V2=QUOTEabc,所以棱錐A1-ABCD的體積與長方體的體積的比值為QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍,母線長為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84π,則圓臺(tái)較小底面的半徑為 ()A.7 B.6 C.5 D.3【解析】選A.設(shè)圓臺(tái)較小底面的半徑為r,由題意知另一底面的半徑R=3r.所以S側(cè)=π(r+R)l=π(r+3r)×3=84π,解得r=7.5.如圖所示,將無蓋正方體紙盒綻開,直線AB,CD在原正方體中的位置關(guān)系是 ()A.平行 B.垂直C.異面 D.相交成60°【解析】選D.如圖所示,△ABC為正三角形,故AB,CD相交成60°.6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.連接AC,因?yàn)榈酌媸钦叫?則AC⊥BD,由幾何體是正方體,可知BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,所以BD⊥平面C1CAA1,因?yàn)镃E?平面C1CAA1,所以BD⊥CE,所以異面直線BD,CE所成角是90°.7.(2024·全國Ⅰ卷)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1為△ABC的外接圓,若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為 ()A.64π B.48π C.36π D.32π【解析】選A.設(shè)圓O1的半徑為r,球的半徑為R,依題意,得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin60°=2QUOTE,所以O(shè)O1=AB=2QUOTE,依據(jù)球截面性質(zhì)得OO1⊥平面ABC,所以O(shè)O1⊥O1A,R=OA=QUOTE=QUOTE=4,所以球O的表面積S=4πR2=64π.8.在等腰Rt△A′BC中,A′B=BC=1,M為A′C的中點(diǎn),沿BM把它折成二面角,A′折到A的位置,折后A與C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為 ()A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】選C.如圖所示,由A′B=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=QUOTE.因?yàn)镸為A′C的中點(diǎn),所以MC=AM=QUOTE.且CM⊥BM,AM⊥BM,所以∠CMA為二面角C-BM-A的平面角.因?yàn)锳C=1,MC=AM=QUOTE,所以∠CMA=90°.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.m是一條直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,以下命題不正確的是 ()A.若m∥α,α∥β,則m∥βB.若m∥α,m∥β,則α∥βC.若m∥α,α⊥β,則m⊥βD.若m∥α,m⊥β,則α⊥β【解析】選ABC.A.若m∥α,α∥β,則m∥β或m?β,A錯(cuò);B.若m∥α,m∥β,則α∥β或α∩β=l,B錯(cuò);C.若m∥α,α⊥β,則m與β相交或m∥β或m?β,C錯(cuò);D.因?yàn)閙∥α,存在直線n,使m∥n,n?α.因?yàn)閙⊥β,所以n⊥β.又因?yàn)閚?α,所以α⊥β.10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn),則過A,Q,B1三點(diǎn)的截面圖形可以是 ()A.等邊三角形 B.矩形C.等腰梯形 D.直角三角形【解析】選ABC.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D1重合時(shí),截面圖形為等邊三角形AB1D1,如圖(1);當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí),截面圖形為矩形AB1C1D,如圖(2);當(dāng)點(diǎn)Q不與點(diǎn)D,D1重合時(shí),令Q,R分別為DD1,C1D1的中點(diǎn),則截面圖形為等腰梯形AQRB1,如圖(3).11.如圖所示,在三棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中能成立的是 ()A.AC=BCB.VC⊥VDC.AB⊥VCD.S△VCD·AB=S△ABC·VO【解析】選ACD.因?yàn)閂A=VB,AD=BD,所以VD⊥AB.因?yàn)閂O⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以VO⊥AB.又因?yàn)閂O∩VD=V,VO?平面VCD,VD?平面VCD,所以AB⊥平面VCD,又CD?平面VCD,VC?平面VCD,所以AB⊥VC,AB⊥CD.又因?yàn)锳D=BD,所以AC=BC(線段垂直平分線的性質(zhì)).因?yàn)閂O⊥平面ABC,所以VV-ABC=QUOTES△ABC·VO.因?yàn)锳B⊥平面VCD,所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD=QUOTES△VCD·BD+QUOTES△VCD·AD=QUOTES△VCD·(BD+AD)=QUOTES△VCD·AB,所以QUOTES△ABC·VO=QUOTES△VCD·AB,即S△VCD·AB=S△ABC·VO.12.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,下列結(jié)論正確的是 ()A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1 D.AC1⊥BD1【解析】選ABC.正方體中由BD∥B1D1,易知A正確;由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1,從而BD⊥AC1,即B正確;由以上可得AC1⊥B1D1,同理AC1⊥D1C,因此AC1⊥平面CB1D1,即C正確;由于四邊形ABC1D1不是菱形,所以AC1⊥BD1不正確.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2024·浙江高考)已知圓錐的側(cè)面積為2π,且側(cè)面綻開圖為半圓,則底面半徑為________.

【解析】題中圓錐綻開圖如圖,半徑為2,所以半圓弧長為2π,即圓錐底面圓周長為2π,所以底面半徑為1.答案:114.已知a,b表示不同的直線,α,β,γ表示不重合的平面.①若α∩β=a,b?α,a⊥b,則α⊥β;②若a?α,a垂直于β內(nèi)隨意一條直線,則α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b;④若a⊥α,b⊥β,a∥b,則α∥β.上述命題中,正確命題的序號(hào)是__________.

【解析】對(duì)①可舉反例,如圖,需b⊥β才能推出α⊥β;對(duì)③可舉反例說明,當(dāng)γ不與α,β的交線垂直時(shí),即可知a,b不垂直;依據(jù)面面、線面垂直的定義與判定定理知②④正確.答案:②④15.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,點(diǎn)E是SA上一點(diǎn),當(dāng)SE∶SA=________時(shí),SC∥平面EBD.

【解析】連接AC,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).因?yàn)镾C∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC=EO,所以SC∥EO,所以點(diǎn)E是SA的中點(diǎn),此時(shí)SE∶SA=1∶2.答案:1∶216.已知直二面角α-l-β,A∈α,AC⊥l,C為垂足,B∈β,BD⊥l,D為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離為__________.

【解析】如圖,作DE⊥BC于點(diǎn)E,由α-l-β為直二面角,AC⊥l,得AC⊥β,進(jìn)而AC⊥DE,又BC⊥DE,BC∩AC=C,于是DE⊥平面ABC,故DE為D到平面ABC的距離.在Rt△BCD中,利用等面積法得DE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)如圖,E,F分別為邊長是4的正方形ABCD的邊BC,CD的中點(diǎn).沿AE,EF,FA把△ABE,△ECF,△FDA折起,使B,C,D重合于點(diǎn)P.(1)求三棱錐P-AEF的側(cè)面積;(2)求三棱錐P-AEF的體積.【解析】(1)由折疊前后的圖形可知,棱錐的側(cè)面積等于三個(gè)直角三角形的面積和,即S側(cè)=QUOTE×4×2+QUOTE×4×2+QUOTE×2×2=10.(2)由題意可知,PA,PE,PF兩兩垂直,且PA=4,PE=PF=2,所以三棱錐P-AEF的體積V=QUOTE×QUOTE×2×2×4=QUOTE.18.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PB=PD.(1)求證:BD⊥PC;(2)若平面PBC與平面PAD的交線為l,求證:BC∥l.【證明】(1)連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接PO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以BD⊥AC.又因?yàn)镻B=PD,O為BD的中點(diǎn),所以BD⊥PO.因?yàn)镻O∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,因?yàn)镻C?平面PAC,所以BD⊥PC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以BC∥AD.因?yàn)锽C?平面PAD,AD?平面PAD.所以BC∥平面PAD.又因?yàn)锽C?平面PBC,平面PBC與平面PAD的交線為l,所以BC∥l.19.(12分)如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).(1)求證:AC⊥B1C;(2)求證:AC1∥平面CDB1.【證明】(1)因?yàn)镃1C⊥平面ABC,所以C1C⊥AC.因?yàn)锳C=9,BC=12,AB=15,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又BC∩C1C=C,所以AC⊥平面BCC1B1,而B1C?平面BCC1B1,所以AC⊥B1C.(2)連接BC1交B1C于O點(diǎn),連接OD.如圖,因?yàn)镺,D分別為BC1,AB的中點(diǎn),所以O(shè)D∥AC1.又OD?平面CDB1,AC1?平面CDB1.所以AC1∥平面CDB1.20.(12分)如圖所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面邊長為a,E是PC的中點(diǎn).(1)求證:PA∥平面BDE;(2)求證:平面PAC⊥平面BDE.【證明】(1)連接OE,如圖所示.因?yàn)镺,E分別為AC,PC的中點(diǎn),所以O(shè)E∥PA.因?yàn)镺E?平面BDE,PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因?yàn)镻O⊥平面ABCD,所以PO⊥BD.在正方形ABCD中,BD⊥AC,又因?yàn)镻O∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.又因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.21.(12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn).(1)證明:BC1∥平面A1CD;(2)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=2QUOTE,求三棱錐C-A1DE的體積.【解析】(1)連接AC1交A1C于點(diǎn)F,連接DF,則F為AC1的中點(diǎn).又D是AB中點(diǎn),則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.因?yàn)锳C=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,所以CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2QUOTE得∠ACB=90°,CD=QUOTE,A1D=QUOTE,DE=QUOTE,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=1.22.(12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,M為棱AC的中點(diǎn),AB=BC,AC=2,AA1=QUOTE.(1)求證:B1C∥平面A1BM;(2)求證:AC1⊥平面A1BM;(3)在棱BB1上是否存在點(diǎn)N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1