2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義2 .2 直線的方程

2.2直線的方程

目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)

根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握

數(shù)學(xué)抽象

直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），

直觀想象

體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

善高頻考點(diǎn)

直線的方程

空=知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式

名稱條件方程圖形

/

/p(?o,/o)

點(diǎn)斜式直線/過(guò)定點(diǎn)p（xo,yo）,斜率為Ay-yo=A(x-xo)

直線1的斜率為k,且與J軸的交點(diǎn)

為(0,加(直線/與y軸的交點(diǎn)(0,b)

斜截式Y(jié)=kx+b

的縱坐標(biāo)b叫做直線1在y軸上的

截距)

注：1.直線的點(diǎn)斜式及斜截式方程適用條件是什么？

斜率存在及已知點(diǎn)(或直線在y軸上的截距).

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)Po(xo,則)的直線有無(wú)數(shù)條，可以分為兩類：

(1)斜率存在的直線，方程為y-M>=A(x—x。)；

(2)斜率不存在的直線，方程為x—x0=0,即*=刈.

3.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為y=”.特別地，x軸的方程是y=0；當(dāng)直線與y軸平行

或重合時(shí)，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時(shí)可將方程寫(xiě)成x=xo.特別地，y軸的方程是x=0.

4.直線的斜截式y(tǒng)=h+)是直線的點(diǎn)斜式￥—泗=解工-*0)的特例.如：直線/的斜率為A且過(guò)點(diǎn)(0,

b),該直線方程為

5.縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.

6.斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y=Ax+>的形式，但有區(qū)別：當(dāng)&W0時(shí)，y=Ax+8為

一次函數(shù)；當(dāng)&=0時(shí)，y=6,不是一次函數(shù).故一次函數(shù)y=Ax+〃(AW0)一定可看成一條直線的斜截式方

程.

【即學(xué)即練。方程y=?(x—2)表示()

A.通過(guò)點(diǎn)(-2,0)的所有直線

B.通過(guò)點(diǎn)(2,0)的所有直線

C.通過(guò)點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線

D.通過(guò)點(diǎn)(2,0)且除去*軸的所有直線

【即學(xué)即練2】已知直線的方程是x+y=L則斜率A=.

【即學(xué)即練3】在y軸上的截距為2,且與直線y=-3x—4平行的直線的斜截式方程為.

【即學(xué)即練4】已知直線I的方程為j+y=Jx-l),則/在y軸上的截距為()

A.9B.-9C號(hào)D.-y

【即學(xué)即練5](多選)給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是()

A.方程4=會(huì)尚與方程y—2=A(x+l)可表示同一直線

B.直線/過(guò)點(diǎn)尸(xi,ji),傾斜角為90°,則其方程是x=xi

C.直線/過(guò)點(diǎn)P(xi,ji),斜率為0,則其方程是y=yi

D.所有的直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程

【即學(xué)即練61求滿足下列條件的m的值.

(1)直線A：y=-x+l與直線￡y=0n2-2)x+2m平行;

(2)直線/i：y=-2x+3與直線，2：y=(2/n—l)x—5垂直.

知識(shí)點(diǎn)2直線的兩點(diǎn)式與截距式方程

兩點(diǎn)式截距式

尸1(XI，丁1)和P2(X2，J2)

條件在x軸上截距a,在y軸上截距分

其中XIWM,力壬X2

*

F

圖形

X—Xl

方程a+b=l

Ji-JlX2-Xl

不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過(guò)

適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線

原點(diǎn)的直線

注：(1)兩點(diǎn)式方程

①利用兩點(diǎn)式求直線方程必須滿足XIWX2且J1#及，即直線不垂直于坐標(biāo)軸.

(即：當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(Xl,W),(X2,山)的直線斜率不存在(XI=處)或斜率為0儕=也)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方

程表示.)

②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān).

③方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.

(2)截距式方程

①如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程.

②將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在X軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來(lái)作圖.

③與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示.

④過(guò)原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為零.

【即學(xué)即練7】已知△A8C三頂點(diǎn)4(1,2),8(3,6),C(5,2),M為A3中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線

所在直線方程為()

A.2x+y-8=0B.2x-j+8=0

C.2x+j-12=0D.2x-j-12=0

【即學(xué)即練8]直線x-2y=4的截距式方程是.

【即學(xué)即練9](多選)下列命題中不正確的是()

A.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸o(xo,yo)的直線都可以用方程y—yo=A(x—xo)表示

B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4(0,b)的直線都可以用方程y=Ax+Z?表示

C.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)P1(X1,J1),尸2(*2，y2)的直線都可用方程(X2—yi)=(j2—X1)表示

D.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程§+1=1表示

知識(shí)點(diǎn)3直線的一般式方程

1.定義：關(guān)于X,y的二元一次方程Ax+5y+C=0（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程,

簡(jiǎn)稱一般式.

4C

2.系數(shù)的幾何意義：當(dāng)5W0時(shí)，則一彳=4（斜率），芍=3軸上的截距）；

當(dāng)8=0,AW0時(shí)，則一?=a（x軸上的截距），此時(shí)不存在斜率.

3.直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征

①方程是關(guān)于x,y的二元一次方程.

②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x,y,常數(shù)的先后順序排列.

③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).

④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程.

4.當(dāng)直線方程Ax+的+C=0的系數(shù)A,B,C滿足下列條件時(shí)，直線Ax+8y+C=0有如下性質(zhì)：

①當(dāng)AWO,8W0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；

②當(dāng)AW0,8=0,CW0時(shí)，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；

③當(dāng)A=0,BWO,CW0時(shí)，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；

④當(dāng)4=（）,8W0,C=（）時(shí)，直線與x軸重合；

⑤當(dāng)AW0,8=0,C=0時(shí)，直線與y軸重合.

注：（1）平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示

（2）每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+班+C=0（A,8不同時(shí)為零）都能表示一條直線

【即學(xué)即練10】若方程（2,/+wi—3）x+（,"2一機(jī)）,一4膽+1=0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足.

【即學(xué)即練111直線工一由y+l=0的傾斜角為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【即學(xué)即練12】斜率為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（1,3）的直線的一般式方程為.

【即學(xué)即練13】已知直線/的傾斜角為60°,在y軸上的截距為-4,則直線/的點(diǎn)斜式方程為；

截距式方程為;斜截式方程為;一般式方程為.

【即學(xué)即練14】已知直線樂(lè)x+,〃y+6=0和自，〃x+4y+2=0互相平行，則實(shí)數(shù)，"的值為（）

A.-2B.2

C.±2D.2或4

?考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一直線的點(diǎn)斜式方程

解題方略：

求直線的點(diǎn)斜式方程的方法步驟

(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(xo,yo)f定斜率A-寫(xiě)出方程y—yo=A(x—Xo)；

(2)點(diǎn)斜式方程y—yo=?(x—xo)可表示過(guò)點(diǎn)尸(x(),yo)的所有直線，但x=*o除外.

【例1-1】若直線/過(guò)點(diǎn)(2,1),分別求/滿足下列條件時(shí)的直線方程：

⑴傾斜角為150°；

(2)平行于x軸；(3)垂直直線aj=1x+2.

變式1：已知直線1的傾斜角是直線y=x+l的傾斜角的2倍,且過(guò)定點(diǎn)尸(3,3),則直線I的方程為

變式2：經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),斜率是直線y=拿一2的斜率的2倍的直線方程是()

A.x=-1B.y=l

C.J-1=A/2(X+1)D.y-l=2&(X+1)

變式3：以A(2,-5),5(4,—1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是()

A.y-(-3)=2(x-3)B.j-3=2(x-3)

C.j-3=-1(x-3)D.j-(-3)=-1(x-3)

變式4：已知在第一象限的△ABC中，4(1,1),8(5,1),N4=60。,NB=45。,求：

(DAB邊所在直線的方程；

(2)AC邊與BC邊所在直線的方程.

變式5：已知直線/過(guò)A(-2,l),并與兩坐標(biāo)軸截得等腰三角形，那么直線/的方程是().

A.x-y-1=0或x+y-3=0B.x-y-1=0或x-y+3=0

C.x+y+1=0或x-y+3=0D.x+y+1=0或x+y—3=0

35

【例1-2】已知點(diǎn)A(3,3)和直線/：尸下一萬(wàn).求：

(1)過(guò)點(diǎn)A且與直線/平行的直線的點(diǎn)斜式方程：

(2)過(guò)點(diǎn)A且與直線/垂直的直線的點(diǎn)斜式方程.

變式1：若原點(diǎn)在直線/上的射影是「(-2,1),則直線/的方程為()

A.x+2j=0B.j-l=-2(x+2)

C.y=2x+5D.y=2x+3

【例1-3】直線4過(guò)點(diǎn)尸(-1,2),斜率為一坐，把6繞點(diǎn)尸按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°角得直線h,求直線h

和，2的方程.

考點(diǎn)二直線的斜截式方程

解題方略：

直線的斜截式方程的求解策略

(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在.

(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時(shí)要特別注意截距和距離的區(qū)別；

(3)直線的斜截式方程y=Ax+8不僅形式簡(jiǎn)單，而且特點(diǎn)明顯，/是直線的斜率，》是直線在y軸上的截距，

只要確定了4和的值，直線的圖象就一目了然.因此，在解決一次函數(shù)的圖象問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)把一次函

數(shù)解析式化為直線的斜截式方程，利用A,方的幾何意義進(jìn)行判斷.

【例2-1］根據(jù)條件寫(xiě)出下列直線的斜截式方程：

⑴斜率為2,在y軸上的截距是5；

⑵傾斜角為150°,在y軸上的截距是一2；

⑶傾斜角為60。，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.

變式1：求傾斜角是直線y=—的傾斜角的?且在y軸上的截距是一5的直線方程.

變式2：直線y—8=2(X—。)在y軸上的截距為()

A.a+bB.2a~b

C.b~2aD.|2。一)|

【例2?2】若直線通過(guò)第一、三、四象限，則有()

A.*>0,Z?0B.k>0,*<0C.fc<0,b>0D.衣0,b<0

變式1：直線y=Ax+2(AWR)不過(guò)第三象限,則斜率"的取值范圍是_______.

【例2-3】直線y=ax+：的圖象可能是(

)

LJL4^X

o\/irro\汁

ABCD變式1：直線A：y=ax+〃與直線，2：y—bx+a(ab^0,a于b)

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是()

^ovG\左糾4點(diǎn)//o

ABCD【例2-4］已知斜率為一,的直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形

面積為6,求直線/的方程.

考點(diǎn)三直線的兩點(diǎn)式方程

解題方略：

求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)

(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線

不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜

率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程.

⑵由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤.在記憶和使

用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【例3-1】經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),B(—3,6)的直線方程為.

變式1：已知A(—3,2),5(5,-4),C(0,-2),在△ABC中，

⑴求8c邊的方程；

⑵求8c邊上的中線所在直線的方程.

變式2：已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,O),B(/n,l),求這條直線的方程.

考點(diǎn)四直線的截距式方程

解題方略：

截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)

(。如果問(wèn)題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可.

(2)選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直.

(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用.

【例4-1］直線:一；=1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為()

A.1B.-1

C.7D.-7

【例4-2］求過(guò)點(diǎn)A(3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線I的方程.

變式1：求過(guò)點(diǎn)4(5,2),且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線/的方程.

變式2：過(guò)點(diǎn)(1,2)作直線/,滿足在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線/有()條.

A.1B.2C.3D.4

變式3：求過(guò)點(diǎn)P(6,-2),且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程.

變式4：求過(guò)點(diǎn)4(5,2),且在x軸上的截距是y軸上截距的2倍的直線/的方程.

【例4-3】直線"力=1過(guò)第一、三、四象限，貝?。?)

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.〃vO,b>0D.a<0,b<0

【例4-4］兩條直線.一"I與；一力=1的圖象可能是下圖中的()

【例4-5］已知4(3,0),5(0,4),直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x,

y),則xy的最大值是

考點(diǎn)五直線的一般式方程

解題方略：

1'求直線一般式方程的策略

⑴當(dāng)AW0時(shí)，方程可化為x+多+彳=0,只需求多亨的值；若3#0,則方程化為小+y+￡=0,只

需確定*亨的值.因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程.

(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求

方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式.

2、含參直線方程的研究策略

⑴若方程Ax+3y+C=0表示直線，則需滿足A,8不同時(shí)為0.

(2)令x=0可得在y軸上的截距.令y=()可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化

為斜截式.

(3)解分式方程要注意驗(yàn)根.

(一)求直線的一般式方程【例5-1】根據(jù)下列條件分別寫(xiě)出直線的方程，并化為一般式方程.

(1)斜率是小且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(5,3):

(2)經(jīng)過(guò)4(-1,5),B(2,一1)兩點(diǎn);

(3)在x,y軸上的截距分別是一3,—1.

(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2),且平行于x軸.

變式1：已知點(diǎn)40,1),點(diǎn)8在直線/：x+y=0上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)線段48最短時(shí)，直線48的一般式方程為

變式2：設(shè)A,8是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為2,且|陰=|尸3|,若直線融的方程為x-y+l=0,則

直線PB的方程是()

A.2j—X—4=0B.2x—j—1=0

C.x+y—5=0D.2x+j-7=o

變式3:直線2x-y-2=0繞它與y軸的交點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。所得的直線方程是()

A.X—2j+4=0B.x+2j—4=0

C.x-2j-4=0D.x+2y+4=0

(-)直線的一般式方程的應(yīng)用

【例5-2］設(shè)直線I的方程為(/—2,〃-3)x—(2〃產(chǎn)+〃?-l)y+6—2JW=0.

⑴已知直線/在x軸上的截距為一3,求，”的值；

(2)已知直線/的斜率為1,求機(jī)的值.

【例5-3】已知直線/的方程為3x+4y—12=0,直線/與坐標(biāo)軸交于A,8兩點(diǎn)，則△A05的面積為

【例5-4】已知直線/：h一y+l+2A=0(MR),則該直線過(guò)定點(diǎn).

變式1:已知(A+l)x—2A=0為直線/的方程，求證：不論A取何實(shí)數(shù)，直線/必過(guò)定點(diǎn)，并求出

這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).［例5-5］直線Zi：ax-y+b=0,l2：bx—y+a=0(a^0,6W0,aWb)在同一坐標(biāo)系中的

圖象大致是()

【例5-6］已知岫<0,bc<0,則直線ax+勿=c通過(guò)

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

考點(diǎn)六兩直線平行與垂直的應(yīng)用

解題方略：

1.利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問(wèn)題的策略

已知直線/1：y=hx+bi與直線，2：y=k2x+b2>

(1)若則公=心，此時(shí)兩直線與7軸的交點(diǎn)不同，即仇W岳；反之公=#2,且田金歷時(shí)，

所以有l(wèi)\〃I田k產(chǎn)心,且b［豐b%

(2)若/山2,則心也=一1：反之。?42=—1時(shí)，所以有20Mt=-1.

2.若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時(shí)，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考

慮加W岳這個(gè)條件.

3.利用一般式解決直線平行與垂直問(wèn)題的策略

直線/i：Aix+8iy+G=0,直線￡A2x+B2y+C2=0,

⑴若/i〃，204%—451=0且8IC2-82GW0(或41。2一42?#0).

(2)若/1_L/20A1A2+B|B2=0.

4.與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法

(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)

方程.

(2)①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax+冷+C=O(A,5不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax+冷

+G=0(CM。，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定Ci；

②與直線Ax+3y+C=0(A,8不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+C2=0,再由直線所過(guò)的點(diǎn)確

定C*

(-)由直線方程的斜截式研究直線的平行與垂直

【例6-1】判斷下列兩條直線平行還是垂直：⑴小j-2=3(x+l),l2：y=3x；

(2)6：y=6x—1,Z2：y=一上一1.

【例6?2】當(dāng)。為何值時(shí)，直線A：y=-x+2a與直線L：^=3?-2)x+2平行？

變式1：當(dāng)。為何值時(shí)，直線hy=(2〃-1.+3與直線8y=4x—3垂直？

變式2：直線y—2帆=機(jī)(x—1)與y=x—1垂直，則直線y—2)/i=/n(x—1)過(guò)點(diǎn)()

A.(-1,2)B.(2,1)

C.(1,-2)D.(1,2)

變式3：已知過(guò)點(diǎn)A(—2,M和點(diǎn)笈(m,4)的直線為A,y=-2x+Lfe：y=—若Z2J-Z3,則

m+n的值為()

A.-10B.-2

C.0D.8

(-)由直線方程的一般式研究直線的平行與垂直

【例6?3】判斷下列各對(duì)直線是平行還是垂直，并說(shuō)明理由.

(1)/1：3x+5j-6=0,Z2：6x+10j+3=0；

(2)Zi：3x-6j+14=0,l2z2x+y-2=0；

(3)/i：x=2,I2:x=4；

(4)Zi：j=—3,Z2：x=l.

【例6-4】已知直線小or+2y—3=0,/z：3x+(a+l)y—。=0,求滿足下列條件的a的值.

(2)ZI±/2.

變式1：已知直線ar+(a+2)y+2=0與'x+a’+l=0平行，則實(shí)數(shù)〃的值為()

A.-1或2B.0或2

C.2D.-1

變式2：如果直線ar+(l—萬(wàn))/+5=0和(l+a)x—y—。=0同時(shí)平行于直線X—2y+3=0,那么a,力的值分

別為()

A.0B.2,0

C.l,0D.—1,2

變式3：已知直線辦+勿+1=0與直線4x+3y+5=0平行，且奴+勿+1=0在)，軸上的截距為g,貝(Ja+6的

值為.

變式4：【多選】三條直線x+y=0,x-y=0,x+ay=3構(gòu)成三角形，則a的取值可以是()

A.-1B.1C.2D.5

變式5：若直線"?x+4y—2=0與直線2x—y+"=0垂直，垂足為(1,p),則實(shí)數(shù)"的值為()

A.-2B.-4C.1()D.8

【例6-5】已知直線/的方程為3x+4y-12=0,求滿足下列條件的直線/'的方程：

⑴過(guò)點(diǎn)(-1,3),且與/平行；

(2)過(guò)點(diǎn)(-1,3),且與/垂直.

變式1:求與直線3x+4y+l=0平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為;的直線/的方程.

考點(diǎn)七直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積、周長(zhǎng)問(wèn)題

【例7-1】直線/過(guò)點(diǎn)(2,2),且與x軸和直線y=x圍成的三角形的面積為2,求直線/的方程.

變式1：若直線/與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18,求直線/的方程.

變式2：垂直于直線3x—4y—7=0,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線I的方程為

【例7-2】直線/過(guò)點(diǎn)哈，2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)△AOB

的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線/的方程.

◎分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1、求滿足下列條件的直線方程：

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3),傾斜角是直線y=冬的傾斜角的2倍；

⑵經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,-2),且與y軸平行；

(3)過(guò)產(chǎn)(一2,3),0(5,—4)兩點(diǎn).

2、若直線/的傾斜角為45°,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),則直線/的方程是()

A.y=x+2B.y—x—1

C.y=3x—3D.y=y[ix—2小

3、過(guò)點(diǎn)（一1,2）,且傾斜角為60°的直線方程為.

4、已知一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（3,-2）,且與x軸平行，則該直線的方程為（）

A.x=3B.x=-2

C.y=3D.）=一2

5、已知直線2和y=（〃+2）x+l互相垂直，則。=.

21

6、若直線A：7=一孑一1與直線以y=3x—1互相平行，貝!!”=.

7、在“軸和y軸上的截距分別為-2,3的直線方程是（）

A,+六=1B>士=1

C.￡+：=lD±+：=l

8、直線y=Z（xT）+2恒過(guò)定點(diǎn)（）

A.(-1,2)B.(1,2)

C.(2,-1)0.(2.1)

9、在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線了=仆與直線y=x+a的圖象（如圖所示）正確的是（）

ABCD10、過(guò)點(diǎn)尸（1,2）且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為

11、已知直線/：ox+y-2=0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.1B.-1

C.一2或一1D.-2或1

12、【多選】過(guò)點(diǎn)4（4,1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）

A.x+y=5B.x—y—5C.x—4y=0D.x+4y=0

13、已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（1,2）,8（3,6）,C（5,2）,M為A8的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，則中位線

MN所在的直線方程為（）A.2x+j-8=0B.2x-j+8=0

C.2x+y~l2=0D.2x-j-12=0

14、若直線（2/?2—5"?+2）x—（//—4）y+5"?=0的傾斜角是45。，則實(shí)數(shù)，"的值是.

15、直線/：y='x-'的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的一個(gè)必要而不充分條件是（）

nn

A.mn>0B.mn<0C.〃i<（）且〃>0D.〃2>0且〃<0

題組B能力提升練

16、設(shè)a￡R,如果直線A：y=一罪+；與直線L：尸一二占“一一打平行，那么。=.

17、已知直線/過(guò)點(diǎn)(1,0),且與直線)=5(工一1)的夾角為30°,求直線/的方程；

18、將直線)=小(》—2)繞點(diǎn)(2,0)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。后所得直線方程是.

19、直線cx+辦+a=0與dx—cy+5=0(c,d不同時(shí)為0)的位置關(guān)系是()

A.平行B.垂直

C.斜交D.與a,b,c,d的值有關(guān)

20、已知直線mx—2y—3m=0(/nW0)在x軸上的截距是它在j軸上截距的4倍，則m=

21、已知點(diǎn)M(L-2),N(m,2),若線段MN的垂直平分線的方程是5+y=L則實(shí)數(shù)機(jī)的值是

22、已知直線(4+2)X+(出一2°—3?—2°=0在*軸上的截距為3,則該直線在y軸上的截距為

23、已知△A8C的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4),5(—2,6),C(—8,0).

⑴求邊AC和AB所在直線的方程；(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程；

(3)求AC邊上的中垂線的方程.

題組C培優(yōu)拔尖練

24、直線X+(出+1),+1=0的傾斜角的取值范圍是()

A._0,fB10,飄厚兀)

C.&k)D胃,7t)

25、已知點(diǎn)A(l,3),B(-2,-1).若直線/：y=?(x-2)+l與線段A8相交，則％的取值范圍是,

26、已知在△ABC中,4(1,一4),8(2,6),C(—2,0),AQ_L5C于點(diǎn)O,求直線AO的方程.

27、直線/過(guò)點(diǎn)(2,2),且與x軸和直線y=x圍成的三角形的面積為2,求直線/的方程.

28、設(shè)直線/的方程為(a+l)x+y+2-a=0(aGR).

⑴若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求/的方程；

⑵若/不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

29、設(shè)直線/的方程為(,“2—2/?-3)x+(2?|2+,"-i)y=2/〃-6,根據(jù)下列條件分別求的值.

⑴在x軸上的截距為1；

⑵斜率為1;

⑶經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(—1,-1).

30、一河流同側(cè)有兩個(gè)村莊A,B,兩村莊計(jì)劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知4,

3兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m,且兩村相距500m,問(wèn)：水電站建于何處

送電到兩村的電線用料最??？

2.2直線的方程

目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)

根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握

數(shù)學(xué)抽象

直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），

直觀想象

體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

善高頻考點(diǎn)

直線的方程

空=知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式

名稱條件方程圖形

/

/p(?o,/o)

點(diǎn)斜式直線/過(guò)定點(diǎn)p（xo,yo）,斜率為Ay-yo=A(x-xo)

直線1的斜率為k,且與J軸的交點(diǎn)

為(0,加(直線/與y軸的交點(diǎn)(0,b)

斜截式Y(jié)=kx+b

的縱坐標(biāo)b叫做直線1在y軸上的

截距)

注：1.直線的點(diǎn)斜式及斜截式方程適用條件是什么？

斜率存在及已知點(diǎn)(或直線在y軸上的截距).

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)Po(xo,則)的直線有無(wú)數(shù)條，可以分為兩類：

(1)斜率存在的直線，方程為y-M＞=A(x—x。)；

(2)斜率不存在的直線，方程為x—x0=0,即*=刈.

3.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為y=”.特別地，x軸的方程是y=0；當(dāng)直線與y軸平行

或重合時(shí)，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時(shí)可將方程寫(xiě)成x=xo.特別地，y軸的方程是x=0.

4.直線的斜截式y(tǒng)=h+)是直線的點(diǎn)斜式￥—泗=解工-*0)的特例.如：直線/的斜率為A且過(guò)點(diǎn)(0,

b),該直線方程為

5.縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.

6.斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y=Ax+＞的形式，但有區(qū)別：當(dāng)&W0時(shí)，y=Ax+8為

一次函數(shù)；當(dāng)&=0時(shí)，y=6,不是一次函數(shù).故一次函數(shù)y=Ax+〃(AW0)一定可看成一條直線的斜截式方

程.

【即學(xué)即練。方程y=?(x—2)表示()

A.通過(guò)點(diǎn)(-2,0)的所有直線

B.通過(guò)點(diǎn)(2,0)的所有直線

C.通過(guò)點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線

D.通過(guò)點(diǎn)(2,0)且除去*軸的所有直線

【解析】易驗(yàn)證直線通過(guò)點(diǎn)(2,0),又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸.故選C

【即學(xué)即練2】已知直線的方程是x+y=l,則斜率左=.

【解析】由x+y=l得y=—x+1,則A=-1.

【即學(xué)即練3】在y軸上的截距為2,且與直線＞=-3*—4平行的直線的斜截式方程為.

【解析】???直線y=-3x—4的斜率為-3,所求直線與此直線平行，.?.斜率為-3,

279

又截距為2,???由斜截式方程可得丁=-3x+2.【即學(xué)即練4】已知直線/的方程為y+半貝心

在y軸上的截距為()

2727

A.9B.—9C?["D.一彳

2799

【解析】由y+亍=孤-1),得產(chǎn)力一9,.?〃在y軸上的截距為-9.故選B

【即學(xué)即練5](多選)給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是()

A.方程與方程y—2=A(x+l)可表示同一直線

B.直線/過(guò)點(diǎn)P(xi，yi),傾斜角為90°,則其方程是x=xi

C.直線/過(guò)點(diǎn)P(xi,山)，斜率為0,則其方程是y=yi

D.所有的直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程

【解析】A不正確，方程4=后不含點(diǎn)(一1,2)；B正確；C正確；D只有A存在時(shí)成立.故選BC

【即學(xué)即練6］求滿足下列條件的m的值.

⑴直線/i：,=—x+i與直線6：y=(/?2—■za+z,”平行；

(2)直線/i：y=-2x+3與直線b：y=(2,〃一l)x—5垂直.

【解析】⑴?.*〃/2，??.兩直線斜率相等..,?1?2—2=—1且2m#2

(2)V/I±/2,/.2m—1=1./.m=^.

知識(shí)點(diǎn)2直線的兩點(diǎn)式與截距式方程

兩點(diǎn)式截距式

P1(X1，yi)和尸2住2，J2)

條件在x軸上截距a,在y軸上截距/>

其中X1#X2，，1#力

圖形F4V

y-y\x-xi

方程a+i=1

jix2-x\

不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過(guò)

適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線

原點(diǎn)的直線

注：(1)兩點(diǎn)式方程①利用兩點(diǎn)式求直線方程必須滿足X|WX2且刈工力，即直線不垂直于坐標(biāo)軸.

(即：當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(Xl,Jl),(X2,力)的直線斜率不存在⑴=X2)或斜率為03=)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方

程表示.)

②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān).

③方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.

(3)截距式方程

①如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程.

②將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來(lái)作圖.

③與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示.

④過(guò)原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為零.

【即學(xué)即練7】已知△48C三頂點(diǎn)4(1,2),5(3,6),C(5,2),M為A3中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線

MN所在直線方程為（

A.2x+y-8=0B.2x-j+8=0

C.2x+j-12=0D.2x—j—12=0

【解析】點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,4）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,2）,由兩點(diǎn)式方程得三=痣，即2x+y-8=0.

故選A

【即學(xué)即練8】直線x—2y=4的截距式方程是.

【解析】求直線方程的截距式，必須把方程化為§+1=1的形式，即右邊為1,左邊是和的形式.

答案：/女=1

【即學(xué)即練9］（多選）下列命題中不正確的是（）

A.經(jīng)過(guò)點(diǎn)Po（xo,泗）的直線都可以用方程y—yo=A（x—xo）表示

B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4（0,5）的直線都可以用方程y=Ax+〃表示

C.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)PlCri，J1）,尸2（x2，y2）的直線都可用方程（X2—Xl）（y—>1）=。2—?）（X—X1）表示

D.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程:+方=1表示

【解析】A中當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程只能表示為x=x。；B中經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0,6）的直線x=0無(wú)

法用y=kx+b表示；D中不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)但斜率不存在（或斜率為零）的直線不能用方程§+1=1表示.只有C

正確.故選A、B、D.

知識(shí)點(diǎn)3直線的一般式方程

1.定義：關(guān)于X,y的二元一次方程Ax+8y+C=0（其中4,3不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程，

簡(jiǎn)稱一般式.

4C

2.系數(shù)的幾何意義：當(dāng)3W0時(shí)，則一會(huì)A（斜率），昔=町軸上的截距）；

c

當(dāng)3=0,AW0時(shí)，則一1=a（x軸上的截距），此時(shí)不存在斜率.

3.直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征

①方程是關(guān)于x,y的二元一次方程.

②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x,y,常數(shù)的先后順序排列.

③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).

④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程.

4.當(dāng)直線方程Ax+5y+C=0的系數(shù)A,B,C滿足下列條件時(shí)，直線Ax+By+C=0有如下性質(zhì)：

①當(dāng)AW0,8X0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；

②當(dāng)AWO,B=0,CW0時(shí)，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；

③當(dāng)A=0,8W0,CN0時(shí)，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；

④當(dāng)A=0,5W0,C=0時(shí)，直線與x軸重合；

⑤當(dāng)A#0,B=0,C=0時(shí)，直線與y軸重合.

注：(1)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于X,y的二元一次方程表示

(2)每一個(gè)關(guān)于m,y的二元一次方程Ax+&+C=0(4,8不同時(shí)為零)都能表示一條直線

【即學(xué)即練10】若方程(2/層+/〃-3比+(m2一機(jī))了一4機(jī)+1=0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足.

【解析】當(dāng)2〃產(chǎn)+〃L3=0時(shí)，加=1或勿=一稱；當(dāng)〃/—“7=0時(shí)，/篦=0或m=l?要使方程⑵層+小

—3)x+〃/—4/〃+1=0表示一條直線，則2//+〃?-3,m2—ni不能同時(shí)為0,

答案：mH1

【即學(xué)即練11】直線X—小y+l=0的傾斜角為()

A.30°B.60°

C.120°D,150°

【解析】由直線的一般式方程，得它的斜率為雪，從而傾斜角為30°.故選A

【即學(xué)即練12】斜率為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,3)的直線的一般式方程為.