高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步基礎(chǔ)知識檢測 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步基礎(chǔ)知識檢測北師大版必修2本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列說法正確的是()A．三點確定一個平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面α和平面β有不同在一條直線上的三個交點[答案]C[解析]不在同一直線上的三點確定一個平面，A不能確定三點的關(guān)系，A錯誤；四邊形還有空間四邊形，因此B也錯誤；梯形有兩個底邊互相平行，所以C正確；D顯然錯誤．2．(·遼寧理，4)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，nα，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α[答案]B[解析]本題考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系．對于A，m∥α，n∥α，則m，n的關(guān)系是平行，相交，異面，故A不正確．對于B.由直線與平面垂直的定義知正確．本題的解法也可以借助筆與書本模擬演示判定．3．兩個不重合的平面有一個公共點，則這兩個平面()A．相交 B．平行C．相交或平行 D．垂直[答案]A[解析]根據(jù)公理3知這兩個平面相交，但是不一定垂直，故選A.4．(·遼寧理，7)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)[答案]B[解析]本題考查三視圖、幾何體的體積的計算．由三視圖知，幾何體為一個邊長為2正方體各截去兩個eq\f(1,4)倍的圓柱，其底面半徑為1，高為2.∴V＝23－eq\f(1,2)π·2＝8－π.5．如圖所示，已知PA⊥平面ABC，且∠ABC＝90°，連接PB、PC，則圖中互相垂直的平面有()A．1對 B．2對C．3對 D．4對[答案]C[解析]平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.6．(湖南高考)已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為eq\r(2)的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A．eq\f(\r(3),2) B．1C．eq\f(\r(2)＋1,2) D．eq\r(2)[答案]D[解析]由棱長為1的正方體的俯視圖及側(cè)視圖的面積可知正方體的一條側(cè)棱正對正前方，其三視圖如下：故正視圖是長為eq\r(2)，寬為1的矩形，其面積為eq\r(2)，選D.7．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是()A．2(1＋eq\r(2))cm B．6cmC．2(1＋eq\r(3))cm D．8cm[答案]D[解析]由圖形的直觀圖可知，原來的圖形是一個平行四邊形，如圖所示，則OB＝2O′B′＝2eq\r(2)cm，所以AB＝eq\r(OB2＋OA2)＝3cm.所以原圖形的周長是3＋3＋1＋1＝8(cm)．8．(廣東高考)設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若l⊥β，l∥α，則l⊥β[答案]B[解析]本題考查了空間線面關(guān)系．若α∩β＝m，l∥m，lα，lβ，則A錯．垂直于同一直線的兩平面平行，B正確．當(dāng)l⊥α，l∥β時α⊥β，C錯．若α⊥β，l∥α，則l與β關(guān)系不確定，D錯．9．有相等表面積的球及正方體，它們的體積記為V球和V正，球的直徑為d，正方體的棱長為a，則()A．d>a，V球>V正 B．d>a，V球<V正C．d<a，V球>V正 D．d<a，V球<V正[答案]A[解析]S球面＝4πr2＝6a2＝S正方體∴eq\f(r2,a2)＝eq\f(6,4π)，eq\f(d2,a2)＝eq\f(6,π)>1，∴d>a.V球∶V正＝eq\f(4,3)πr3∶a3＝πd3∶6a3＝d∶a，∴V球>V正．10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2).將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中()A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直[答案]B[解析]找出圖形在翻折過程中變化的量與不變化的量．對于選項A，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過C作CF⊥BD，垂足為F，在圖(1)中，由邊AB，BC不相等可知E，F(xiàn)不重合．在圖(2)中，連接CE，若直線AC與BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE.∴BD⊥CE，與點E，F(xiàn)不重合矛盾，故A錯誤．對于選項B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得AB與CD垂直，故B正確．對于選項C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD.∴BC⊥AC，已知BC＝eq\r(2)，AB＝1，BC>AB，∴不存在這樣的直角三角形，∴C錯誤．由以上可知D錯誤，故選B.第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上)11．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，將該正方體沿對角面BB1D1D[答案](4＋2eq\r(2))a2[解析]S＝2a2＋2a2＋2eq\r(2)a2＝(4＋2eq\r(2))a2.12．如圖，一個簡單空間幾何體的三視圖，其主視圖與左視圖都是邊長為2的正三角形，俯視圖為正方形，則此幾何體的表面積是________．[答案]12[解析]該幾何體為正四棱錐．S表＝S側(cè)＋S底＝4×eq\f(1,2)×2×2＋2×2＝12.13．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如圖所示)，若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是________．[答案]eq\f(3,2)π[解析]△ABC旋轉(zhuǎn)之后形成的幾何體的體積為兩圓錐的體積之差．又∵AB＝2，∠ABC＝120°，∴BD＝1，AD＝eq\r(3)，∴V＝V1－V2＝eq\f(1,3)×π×3×eq\f(5,2)－eq\f(1,3)×π×3×1＝eq\f(3π,2).14．圓臺上、下底面積分別為π，4π，側(cè)面積為6π，則該圓臺的體積是________．[答案]eq\f(7\r(3),3)π[解析]由圓臺上，下底面面積S′，S分別為π，4π，可知圓臺上，下底面半徑r′，r分別為1,2.又由圓臺的側(cè)面積公式S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)·l＝π(1＋2)l＝6π，得l＝2.設(shè)圓臺的高為h，h＝eq\r(l2－r－r′2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3).所以圓臺的體積V圓臺＝eq\f(h,3)(S＋S′＋eq\r(SS′))＝eq\f(\r(3),3)(π＋4π＋2π)＝eq\f(7\r(3),3)π.15．下列關(guān)于四棱柱的四個命題：①若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱②若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱③若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱其中真命題的序號是________．[答案]②④[解析]①錯，必須是兩個相鄰的側(cè)面；②正確；③錯，反例，可舉一個斜四棱柱；④正確，對角線兩兩相等，則此二對角線組成的平行四邊形為矩形，故正確．三、解答題(本大題共6個小題，滿分75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)一幾何體的直觀圖如圖所示：(1)畫出該幾何體的三視圖．(2)求該幾何體的表面積與體積．[解析](1)(2)S表＝2(8×8＋8×4＋8×4)＋4π×8＝32π＋256，V＝8×8×4＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2×8＝32π＋256.17．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱A1B1C1－ABC的三視圖中，主視圖和左視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，已知點M是A1B1的中點．求證：平面AC1M⊥平面AA1B1[解析]由三視圖可知三棱柱A1B1C1－ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB∵A1C1＝B1C1，M為A1B∴C1M⊥A1B1又∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B＝A1B∴C1M⊥平面AA1B1B又∵C1M平面AC1∴平面AC1M⊥平面AA1B1B18．(本小題滿分12分)(·湖北文，20)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1(1)直線BC1∥平面EFPQ；(2)直線AC1⊥平面PQMN.[解析]思路分析：(1)直線與平面平行，主要通過直線與直線平行來證明，由BC1∥AD1，AD1∥FP，得出BC1∥FP，即可證明；(2)直線與平面垂直，主要通過直線與直線垂直來證明，而直線與直線垂直往往又要通過直線與平面垂直來證明．由BD⊥平面ACC1，得BD⊥AC1，從而MN⊥AC1；同理，證明PN⊥AC1，即可完成證明．解：(1)連接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1因為F，P分別是AD，DD1的中點，所以FP∥AD1.從而BC1∥FP.而FP平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ.故直線BC1∥平面EFPQ.(2)如圖，連接AC，BD，則AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，而AC1平面ACC1，所以BD⊥AC1.因為M，N分別是A1B1，A1D1的中點，所以MN∥BD，從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1，又PN∩MN＝N，所以直線AC1⊥平面PQMN.19．(本小題滿分12分)(遼寧高考)如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)設(shè)Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC.[解析](1)由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)連OG并延長交AC于M，連接QM、QO，由G為△AOC的重心，得M為AC中點．由Q為PA中點，得QM∥PC，又O為AB中點，得OM∥BC.因為QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC，因為QG平面QMO.所以QG∥平面PBC.20．(本小題滿分13分)如圖所示，在體積為1的三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC＝AA1＝1，P為線段AB(1)求證：CA1⊥C1P；(2)線段AB上是否存在一點P，使四面體P－AB1C1的體積為eq\f(1,6)？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由．[解析](1)證明：連接AC1，∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB.又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面AA1C又∵CA1平面AA1C1C，∴AB⊥∵AC＝AA1＝1，∴四邊形AA1C1C為正方形，∴AC1⊥∵AC1∩AB＝A，∴CA1⊥平面AC1B.又C1P平面AC1B，∴CA1⊥C1P.(2)設(shè)在線段AB上存在一點P，使VP－AB1C1＝eq\f(1,6).VABC－A1B1C1＝eq\f(1,2)×AB×1×1＝1，∴AB＝2.又∵AC⊥AB，AA1⊥AC且C1A1⊥平面ABB1A1，BB1⊥由VP－AB1C1＝VC1－PAB1＝eq\f(1,6)，知eq\f(1,3)S△PAB1·C1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)PA·BB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)PA×1＝eq\f(1,6)，解得PA＝1，∴存在AB的中點P，使VP－AB1C1＝eq\f(1,6).21．(本小題滿分14分)如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(3)設(shè)AB＝BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.[解析](1)由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，故GH綊B