高中數(shù)學 第一章立體幾何初步綜合測試B 新人教B版必修2

【成才之路】-學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步綜合測試B新人教B版必修2時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．如下圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是()A．①是棱臺 B．②是圓臺C．③是棱錐 D．④不是棱柱[答案]C[解析]圖①不是由棱錐截來的，所以①不是棱臺；圖②上、下兩個面不平行，所以②不是圓臺；圖④前、后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱，很明顯③是棱錐．2．不在同一直線上的五個點，最多能確定平面的個數(shù)是()A．8 B．9C．10 D．12[答案]C[解析]要確定平面?zhèn)€數(shù)最多，須任意四點不共面，從A、B、C、D、E五個點中任取三個點確定一個平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10種情況，選C.3．給出四個命題：①各側面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；③有兩側面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長方體一定是正四棱柱．其中正確的命題個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]反例：①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正方體；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；③④顯然錯誤，故選A.4．(·廣西南寧高一期末測試)下列幾何體各自的三視圖中，只有兩個視圖相同的是()A．①③ B．②③C．②④ D．③④[答案]C[解析]正方體和球體的三個視圖都相同，故選C.5．(·山東泰安肥城高一期末測試)已知兩個球的表面積之比為13，則這兩個球的體積之比為()A．19 B．13eq\r(3)C．13 D．1eq\r(3)[答案]B[解析]設兩個球的半徑分別為R1、R2，則4πReq\o\al(2,1)4πReq\o\al(2,2)＝13，∴R1R2＝1eq\r(3)，∴V1V2＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1)eq\f(4,3)πReq\o\al(3,2)＝Req\o\al(3,1)Req\o\al(3,2)＝13eq\r(3).6．若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為()A.eq\f(11,2) B．5C.eq\f(9,2) D．4[答案]D[解析]本題考查三視圖，棱柱體積公式．由三視圖知該幾何體為直六棱柱．其底面積為S＝2×[eq\f(1,2)(1＋3)×1]＝4，高為1.所以體積V＝4，由“長對正、寬相等、高平齊”確定幾何體的形狀及尺寸、角度等．7．如果直線l、m與平面α、β、γ滿足l＝β∩γ，l∥α，m?α，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ和l⊥m B．α∥γ和m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β和α⊥γ[答案]A[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,m⊥γ))?α⊥γ，排除B、C；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥γ,β∩γ＝l))?m⊥l，∴選A.8．(·德州高一檢測)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點E為A1C1上的一點，則直線A．AC B．BDC．A1D D．A1D1[答案]B[解析]由BD⊥AC，BD⊥AA1易知BD⊥平面A1ACC1，而CE?平面A1ACC1，故BD⊥CE.9．已知圓柱的側面展開圖矩形面積為S，底面周長為C，它的體積是()A.eq\f(C3,4πS)B.eq\f(4πS,C3)C.eq\f(CS,2π)D.eq\f(SC,4π)[答案]D[解析]設圓柱底面半徑為r，高為h，，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S,C＝2πr))，∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C)，∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))2·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).10．(江西九江三中高一月考)在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，若將△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是()A.eq\f(9,2)π B.eq\f(7,2)πC.eq\f(5,2)π D.eq\f(3,2)π[答案]D[解析]如圖，該旋轉體的體積是以AD為半徑，CD和BD為高的兩圓錐體積之差，∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，又AB＝2，∴DB＝1，AD＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)π·AD2·CD－eq\f(1,3)π·AD2·BD＝eq\f(1,3)π·AD2·(CD－BD)＝eq\f(3π,2).11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結論中錯誤的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A－BEF的體積為定值D．△AEF的面積與△BEF的面積相等[答案]D[解析]由正方體ABCD－A1B1C1D1得B1B⊥面AC∴AC⊥B1B，又∵AC⊥BD，BD∩B1B＝B，∴AC⊥面BDD1B1，BE?面BDD1B1，∴AC⊥BE，故A正確．由正方體ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BDB1D1?面ABCD，BD?面ABCD，∴B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，故B正確．VA－BEF＝eq\f(1,2)AC×eq\f(1,2)BB1×EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),24).∴三棱錐A－BEF的體積為定值，故C正確．因線段B1D1上兩個動點E、F，且EF＝eq\f(1,2)，當E、F移動時，A到EF的距離與B到EF的距離不相等，∴△AEF的面積與△BEF的面積不相等，故D不正確．12．已知圓錐的母線長為5cm，圓錐的側面展開圖如圖所示，且∠AOA1＝120°，一只螞蟻欲從圓錐底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側面爬行一周回到點A.則螞蟻爬行的最短路程為()A．8cm B．5eq\r(3)cmC．10cm D．5πcm[答案]B[解析]連接AA1，作OC⊥AA1于C，因為圓錐的母線長為5cm，∠AOA1＝120°，所以AA1＝2AC＝5二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．A∈α，B?α，A∈l，B∈l，那么直線l與平面α有________個公共點．[答案]一[解析]A∈l，B∈l，A∈α，B?α，則l與α相交．14．棱錐的底面面積150cm2，平行于底面的一個截面面積為54cm2，底面和這個截面的距離為12cm，則這個棱錐的高為__________．[答案]30cm[解析]設原棱錐的高為h，則截得上面小棱錐的高為h′＝h－12，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h－12,h)))2＝eq\f(54,150)，h＝30.15．(·山東荷澤高一期末測試)已知平面α、β和直線m，給出以下條件：①m∥α，②m⊥α；③m?α；④α∥β.要使m⊥β，則所滿足的條件是________．[答案]②④[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,α∥β))?m⊥β.16．已知點P、A、B、C、D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2eq\r(3)的正方形，若PA＝2eq\r(6)，則△OAB的面積為________．[答案]3eq\r(3)[解析]本題考查了與球有關的幾何問題．如圖，連接AC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，故PC為球的直徑，取CP中點O，取AC中點O′，則OO′＝eq\f(1,2)PA＝eq\r(6).又AC＝2eq\r(6)，PA＝2eq\r(6).PC＝4eq\r(3).∴半徑R＝OC＝OA＝OB＝AB＝2eq\r(3)，∴S△OAB＝3eq\r(3).三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)一個棱錐的底面是邊長為a的正三角形，它的一個側面也是正三角形，且這個側面與底面垂直，求這個棱錐的體積和全面積．[解析]如圖所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC與△BCD均為邊長為a的正三角形，取BC中點E，連接AE，則AE⊥平面BCD，故棱錐A－BCD的高為AE，△BCD的面積為eq\f(\r(3),4)a2，AE＝eq\f(\r(3),2)a，∴VA－BCD＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)a2·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(1,8)a3.連接DE，∵AE⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AE⊥DE，在Rt△AED中，AE＝ED＝eq\f(\r(3),2)a，∴AD＝eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(6),2)a.取AD中點F，連接CF，則CF⊥AD.在Rt△CDF中，DF＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(6),2)a＝eq\f(\r(6),4)a，∴CF＝eq\r(CD2－DF2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))2)＝eq\f(\r(10),4)a.∴S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CF＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(10),4)a＝eq\f(\r(15),8)a2.∵△ABD≌△ACD，S△ABD＝eq\f(\r(15),8)a2.故S全面積＝eq\f(\r(3),4)a2＋eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(\r(15),8)a2＝eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.∴棱錐的體積為eq\f(1,8)a3，全面積為eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.18．(本題滿分12分)(·山東濟寧曲阜師大附中高一期末測試)如圖，在側棱垂直于底面的三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝4，BC＝3，AA1＝4，∠ACB＝90°，點D是AB(1)求證：AC1∥平面B1CD；(2)求三棱錐A1－B1CD的體積．[解析](1)如圖，連接BC1交B1C于點E，連接DE，則DE∥AC1，又DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD(2)由已知得，VA1－ACD＝VB1－BCD＝eq\f(1,2)VC－A1B1C1，∴VA1－B1CD＝VABC－A1B1C1－VC－A1B1C1－VA1－ACD－VB1－BCD＝VABC－A1B1C1－2VC－A1＝eq\f(1,2)×4×3×4－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×4＝24－16＝8.19．(本題滿分12分)如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面BEC.[解析](1)取BD的中點O，連接CO、EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O為BD的中點，所以BE＝DE.(2)取AB的中點N，連接DM、DN、MN.因為M是AE的中點，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因為△ABD為正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.20．(本題滿分12分)(·福建文，19)如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求證：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點，求三棱錐A－MBC的體積．[解析](1)∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq\f(1,2).∵M是AD的中點，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,4).由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱錐C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱錐A－MBC的體積VA－MBC＝VC－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·h＝eq\f(1,12).21．(本題滿分12分)(·湖南邵陽一中高一月考)如下三個圖中，左面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，右面是它的主視圖和左視圖(單位：cm)．(1)畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連接BC′，證明：BC′∥平面EFG.[解析](1)如圖．(2)所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3