中考復(fù)習(xí)（易錯(cuò)題92題68個(gè)考點(diǎn)）（老師版） 資料來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)（易錯(cuò)題92題68個(gè)考點(diǎn)）一．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共1小題）1．2023年我國規(guī)模以上內(nèi)容創(chuàng)作生產(chǎn)營業(yè)收入累計(jì)值前三個(gè)季度分別約為6500億元，13000億元，20000億元，合計(jì)約39500億元，將39500用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．395×102 B．3.95×104 C．3.95×103 D．0.395×105【答案】B【解答】解：39500＝3.95×104，本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感故選：B．二．平方根（共1小題）2．實(shí)數(shù)16的平方根是（）A．8 B．±8 C．4 D．±4【答案】D【解答】解：16的平方根是±4；故選：D．三．實(shí)數(shù)的性質(zhì)（共1小題）3．的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：的相反數(shù)是﹣．故選：A．四．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）4．若m＝﹣1，則估計(jì)m的值所在范圍是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5【答案】B【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，∴2＜m＜3，故選：B．五．同類項(xiàng)（共1小題）5．若﹣3x2yn與2xmy3是同類項(xiàng)，則m﹣n的值是（）A．3 B．2 C．﹣1 D．﹣3【答案】C【解答】解：∵﹣3x2yn與2xmy3是同類項(xiàng)，∴m＝2，n＝3，則m﹣n＝2﹣3＝﹣1．故選：C．六．冪的乘方與積的乘方（共1小題）6．已知x+y﹣2＝0，則4x?22y的值是（）A．16 B．4 C． D．8【答案】A【解答】解：∵x+y﹣2＝0，∴x+y＝2，∴4x?22y＝22x?22y＝22（x+y）＝24＝16．故選：A．七．完全平方式（共2小題）7．如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（）A．8 B．4 C．±4 D．±8【答案】D【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±4）2，x2+mx+16是完全平方式，∴m＝±8；故選：D．8．設(shè)有邊長分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個(gè)長為3a+b，寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為8張．【答案】8．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即S大正方形＝SA+SB+2SC，∴要拼一個(gè)邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+2b2+8ab，即S矩形＝6SA+2SB+8SC，∴若要拼一個(gè)長為3a+b，寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為8張，故答案為：8．八．因式分解-運(yùn)用公式法（共1小題）9．下列各式中能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．81+18x+x2【答案】D【解答】解：A、x2+2x+1能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，∴不符合題意；B、x2+2x+1能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，∴不符合題意；C、x2+2x+1能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，∴不符合題意；D、81+18x+x2＝（9+x）2，∴符合題意；故選：D．九．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用（共1小題）10．分解因式：x2y﹣4y3＝y(tǒng)（x+2y）（x﹣2y）．【答案】y（x+2y）（x﹣2y）．【解答】解：原式＝y(tǒng)（x2﹣4y2）＝y(tǒng)（x+2y）（x﹣2y）．故答案為：y（x+2y）（x﹣2y）．一十．分式有意義的條件（共1小題）11．要使分式有意義，則x的取值范圍是x≠2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：依題意得：x﹣2≠0，解得x≠2．故答案為：x≠2．一十一．分式的基本性質(zhì)（共2小題）12．如果把分式中的x和y都擴(kuò)大3倍，那么原分式的值是（）A．?dāng)U大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．縮小6倍【答案】A【解答】解：由題意得：＝＝，∴如果把分式中的x和y都擴(kuò)大3倍，那么原分式的值是擴(kuò)大3倍，故選：A．13．下列式子從左到右變形一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、≠，故A不符合題意；B、≠，故B不符合題意；C、≠，故C不符合題意；D、＝，故D符合題意；故選：D．一十二．等式的性質(zhì)（共1小題）14．下列解方程的過程中，正確的是（）A．由，得3x＝2（x﹣1）﹣6 B．由3x＝2（x﹣1）﹣6，得3x＝2x﹣2﹣6 C．由3x＝2x﹣2﹣6，得3x+2x＝﹣2﹣6 D．由5x＝﹣8，得【答案】B【解答】解：∵方程＝﹣6的兩邊同時(shí)乘6得3x＝2（x﹣1）﹣36，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵3x＝2（x﹣1）﹣6去括號得3x＝2x﹣2﹣6，∴選項(xiàng)B符合題意；∵方程3x＝2x﹣2﹣6移項(xiàng)得3x﹣2x＝﹣2﹣6∴選項(xiàng)C不符合題意；∵方程5x＝﹣8化系數(shù)為1得x＝﹣，∴選項(xiàng)D不符合題意，故選：B．一十三．二元一次方程組的解（共2小題）15．關(guān)于x，y的方程組的解為，則方程組的解是．【答案】．【解答】解：令x﹣1＝X，﹣3y＝Y(jié)，則方程組可化為關(guān)于X，Y的方程組，∵方程組的解為，∴方程組的解為，即，解得．故答案為：．16．如果關(guān)于x，y的方程組，的解滿足3x+y＝10，那么k的值為5．【答案】5．【解答】解：將方程組中的兩個(gè)方程的左邊與左邊、右邊與右邊分別相加，得3x+y＝15﹣k，∵3x+y＝10，∴15﹣k＝10，解得k＝5．本號資料全*#部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感故答案為：5．一十四．一元二次方程的解（共1小題）17．若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，則m2+m+2020的值為（）A．2024 B．2022 C．2020 D．2016本號資料全部來源于微信公眾號：#數(shù)#學(xué)第六感【答案】A【解答】解：由題意得：把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0中得：m2+m﹣4＝0，∴m2+m＝4，∴m2+m+2020＝4+2020＝2024，故選：A．一十五．解一元二次方程-配方法（共1小題）18．將一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，故選：B．一十六．根的判別式（共1小題）19．關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù) C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：由題意得，Δ＝b2﹣4ac＝1+8k2．∵對于任意實(shí)數(shù)k都有k2≥0，∴8k2≥0．∴1+8k2≥1．∴1+8k2＞0，即Δ＞0．∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．一十七．分式方程的解（共2小題）20．已知關(guān)于x的分式方程＝1的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，即x＝m+1，由分式方程的解為非負(fù)數(shù)，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m≥﹣1且m≠0，故選：C．21．若關(guān)于x的方程+＝無解，則m＝3或﹣3或9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：分式方程化簡，得3（x﹣1）+6x＝m（x+1）整理，得（9﹣m）x＝3+m當(dāng)x＝0時(shí)，m＝﹣3；當(dāng)x＝1時(shí)，m＝3；當(dāng)9﹣m＝0時(shí)，m＝9．故答案為：3或﹣3或9．一十八．解分式方程（共1小題）22．解方程：．【答案】無解．【解答】解：，16+（x+2）（x﹣2）＝（x+2）2，解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程無解．一十九．不等式的性質(zhì)（共1小題）23．若a＜b，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)+1＜b+1 B．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 C．﹣3a＜﹣3b D．【答案】A【解答】解：A、由a＜b，得a+1＜b+1，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；B、由a＜b，得a﹣2＜b﹣2，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由a＜b，得﹣3a＞﹣3b，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由a＜b，得＜，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．二十．解一元一次不等式組（共1小題）24．解不等式組，并在數(shù)軸上表示此不等式組的解集．【答案】2＜x≤3，數(shù)軸表示見解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤3，∴原不等式組的解集為：2＜x≤3，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：二十一．一元一次不等式組的整數(shù)解（共1小題）25．已知關(guān)于x的不等式組有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：，由①得：x≤3，由②得：x＞a，∴不等式的解集為：a＜x≤3，∵關(guān)于x的不等式組有5個(gè)整數(shù)解，∴x＝﹣1，0，1，2，3，∴a的取值范圍是：﹣2≤a＜﹣1．故答案為：﹣2≤a＜﹣1．二十二．點(diǎn)的坐標(biāo)（共1小題）26．已知第二象限內(nèi)點(diǎn)P到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為3，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，P到x軸的距離是2，到y(tǒng)軸的距離是3，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是﹣3，縱坐標(biāo)是2，∴點(diǎn)P（﹣3，2）．故選：B．二十三．動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象（共3小題）27．如圖1，Rt△ABC中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿BC從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，設(shè)B，P兩點(diǎn)間的距離為x，PA﹣PE＝y(tǒng)，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解答】解：由函數(shù)圖象知：當(dāng)x＝0，即P在B點(diǎn)時(shí)，BA﹣BE＝2．利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值為AE，∴AE＝10．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，設(shè)BE的長度為t，則BA＝t+2，∴（t+2）2+t2＝100，即：t2+t﹣48＝0，∴（t+8）（t﹣6）＝0，由于t＞0，∴t+8＞0，∴t﹣6＝0，∴t＝6．∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．故選：D．28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將?ABCD放置在第一象限，且AB∥x軸．直線y＝﹣x從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向平移，在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度l與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)圖象如圖2所示，則?ABCD的面積為（）A．10 B． C．5 D．【答案】A【解答】解：由圖象可知，直線經(jīng)過A時(shí)移動(dòng)距離為3，經(jīng)過D時(shí)移動(dòng)距離為7，經(jīng)過B時(shí)移動(dòng)距離為8，∴AB＝8﹣3＝5．如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，交AB于點(diǎn)E，作DF垂直于AB于點(diǎn)F，由圖2可知DE＝＝2，∵直線與AB夾角為45°，∴DF＝EF＝2，∴ABCD面積為AB?DF＝5×2＝10．故選：A．29．如圖，長方形ABCD中，寬AB＝4，點(diǎn)P沿著四邊按B→C→D→A方向運(yùn)動(dòng)，開始以每秒m個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)，a秒后變?yōu)槊棵?個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)，b秒后恢復(fù)原速勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，△ABP的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系如圖所示．（1）求長方形的長；（2）直接寫出m＝1，a＝4，b＝9；（3）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，有一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿C→D→A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，△BPQ的面積為y，求當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y與x之間的關(guān)系式．【答案】（1）6．（2）1；4；9；（3）y＝．【解答】解：（1）在5≤x≤7時(shí)，△ABP的面積不變，此時(shí)：點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，∴AD＝BC＝2×2＝4，在5≤x≤7時(shí)，△ABP的面積為12，本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感∴×4×BC＝12，∴BC＝6，∴長方形的長為6．（2）當(dāng)x＝a時(shí)，S△ABP＝×4×BP＝8，∴BP＝4，∴CP＝2，∴a＝5﹣（2÷2）＝4，∴m＝＝1，當(dāng)x＝b時(shí)，S△ABP＝×4×AP＝4，∴AP＝2，∴DP＝4，∴b＝7+（4÷2）＝9；故答案為：1；4；9；（3）根據(jù)題意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；當(dāng)0≤x≤1時(shí)，如圖，BP＝3+x，CQ＝x，∴y＝BP?CQ＝×（3+x）?x＝x2+x；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，如圖，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x，y＝BP?CQ＝×（2x+2）?x＝x2+x；當(dāng)2＜x≤4時(shí)，如圖，CP＝2（x﹣2），CQ＝x，∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，∴y＝BP?CQ＝×（4﹣x）?6＝12﹣3x；∴y＝．二十四．一次函數(shù)與一元一次不等式（共1小題）30．如圖，直線y＝kx+b和y＝mx+n交于點(diǎn)P（1，1），直線y＝mx+n交x軸于點(diǎn)（2，0），那么不等式組0＜mx+n＜kx+b的解集是1＜x＜2．【答案】1＜x＜2．【解答】解：∵直線y＝kx+b和y＝mx+n交于點(diǎn)P（1，1），直線y＝mx+n交x軸于點(diǎn)（2，0），∴不等式0＜mx+n的解集是：x＜2，不等式mx+n＜kx+b的解集是：x＞1，∴不等式組0＜mx+n＜kx+b的解集是1＜x＜2，故答案為：1＜x＜2．二十五．一次函數(shù)與二元一次方程（組）（共2小題）31．已知函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可知，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)圖象可知：函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣2），∴方程組的解是．故答案為：．32．小明在學(xué)習(xí)中遇到了這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝|x+2|﹣2的性質(zhì)．此函數(shù)是我們未曾學(xué)過的函數(shù)，于是他嘗試結(jié)合一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)研究此問題，下面是小明的探究過程，請你補(bǔ)充完整．本號資料全部來源于微信公眾號*：數(shù)學(xué)第六感（1）列表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101…y…10﹣1﹣2﹣10k…直接填空：k＝1；（2）描點(diǎn)并正確地畫出該函數(shù)圖象；（3）①根據(jù)函數(shù)圖象可得：該函數(shù)的最小值為﹣2；②觀察函數(shù)y＝|x+2|﹣2的圖象，寫出該圖象的兩條性質(zhì)：第一條：圖象關(guān)于直線x＝﹣2對稱，第二條：當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨著x的增大而增大；（4）如果將二元一次方程的解所包含的未知數(shù)x的值對應(yīng)直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，未知數(shù)y的值對應(yīng)這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，這樣每一個(gè)二元一次方程的解，就可以對應(yīng)直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)．再根據(jù)二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系，我們知道方程組的解對應(yīng)一次函數(shù)y＝x與一次函數(shù)y＝x+1圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)A．（5）在平面直角坐標(biāo)系中，我們將橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，則該函數(shù)圖象與直線y＝2圍成的區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9．【答案】（1）1；（2）描點(diǎn)、連線畫出該函數(shù)圖象見解答；（3）①﹣2，②第一條：圖象關(guān)于直線x＝﹣2對稱，第二條：當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨著x的增大而增大；（4）y＝x+1；（5）9．【解答】解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝|1+2|﹣2＝1，∴k＝1，故答案為：1；（2）描點(diǎn)、連線畫出該函數(shù)圖象如圖：（3）①根據(jù)函數(shù)圖象可得：該函數(shù)的最小值為：﹣2，②觀察函數(shù)y＝|x+2|﹣2的圖象，寫出該圖象的兩條性質(zhì)：第一條：該圖形關(guān)于直線x＝﹣2對稱，第二條：當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨著x的增大而增大，故答案為：①﹣2，②第一條：圖象關(guān)于直線x＝﹣2對稱，第二條：當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨著x的增大而增大；（4）根據(jù)二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系，我們知道方程組的解對應(yīng)一次函數(shù)y＝x與一次函數(shù)y＝x+1圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)A，故答案為：y＝x+1；（5）如圖：該函數(shù)圖象與直線y＝2圍成的區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9個(gè)，故答案為：9．二十六．一次函數(shù)的應(yīng)用（共4小題）33．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步560米，先到終點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)員原地休息．已知甲先出發(fā)1秒，兩運(yùn)動(dòng)員之間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示，給出以下結(jié)論：①乙運(yùn)動(dòng)員的速度比甲運(yùn)動(dòng)員每秒快1米；②乙出發(fā)后7秒追上甲；③甲乙兩運(yùn)動(dòng)員的最大距離是63米；④乙運(yùn)動(dòng)員比甲運(yùn)動(dòng)員早10秒到達(dá)終點(diǎn)．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【解答】解：①當(dāng)t＝0時(shí)，甲已跑了1秒，跑的路程是7米，∴甲運(yùn)動(dòng)員的速度是7米/秒；乙運(yùn)動(dòng)員70秒跑到了終點(diǎn)，速度為560÷70＝8（米/秒）；8﹣7＝1（米/秒），∴乙運(yùn)動(dòng)員的速度比甲運(yùn)動(dòng)員每秒快1米，∴①正確．②設(shè)乙出發(fā)后t秒時(shí)追上甲．當(dāng)乙追上甲時(shí)，二人跑過的路程相等，得7（t+1）＝8t，解得t＝7，∴乙出發(fā)后7秒追上甲，∴②正確．③由圖象可知，乙出發(fā)后70秒兩人之間的距離最大，最大距離為8×70﹣7×（70+1）＝63（米），∴③正確．④乙運(yùn)動(dòng)員到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為560÷8＝70（秒），設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為x秒，則7（x+1）＝560，解得x＝79，79﹣70＝9（秒），∴乙運(yùn)動(dòng)員比甲運(yùn)動(dòng)員早9秒到達(dá)終點(diǎn)，∴④不正確．綜上，①②③正確．故選：A．34．公交車從A地向B地駛出，到達(dá)B地后停止．小汽車從B地向A地駛出，小車到達(dá)A地后立馬返回B地．兩車距B地的路程y（千米）和公交車離開A地的時(shí)間x（小時(shí)）如圖所示，根據(jù)圖象解決一下問題：（1）A，B兩地相距300千米，公交車速度為60千米/小時(shí)，a＝7；（2）小車出發(fā)兩小時(shí)與公交車相距多少千米？（3）求小車出發(fā)幾小時(shí)后，兩車相距50千米？【答案】（1）300，60，7；（2）80；（3）小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)．【解答】解：（1）由圖象可知，A，B兩地相距300千米，公交車速度為300÷5＝60（千米/小時(shí)），小汽車從B地到A地與從A地返回B地的過程中行駛的路程相等，速度相等，則所用時(shí)間相等，得a﹣4＝4﹣1，解得a＝7．故答案為：300，60，7．（2）小車的速度為300÷（4﹣1）＝100（千米/小時(shí)），則小車出發(fā)2小時(shí)距B地的距離為100×2＝200（千米），當(dāng)小車出發(fā)2小時(shí)時(shí)，公交車已出發(fā)了3小時(shí)，公交車行駛3小時(shí)距B地的距離為300﹣60×3＝120（千米），200﹣120＝80（千米），∴小車出發(fā)兩小時(shí)與公交車相距80千米．（3）設(shè)公交車距B地的路程y和公交車離開A地的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．將坐標(biāo)（0，300）和（5，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴公交車距B地的路程y和公交車離開A地的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣60x+300（0≤x≤5）．當(dāng)1≤x≤4時(shí)，設(shè)小車距B地的路程y和公交車離開A地的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1（k1、b1為常數(shù)，且k1≠0）．將坐標(biāo)（1，0）和（4，300）代入y＝k1x+b1，得，解得，∴y＝100x﹣100（1≤x≤4）；當(dāng)4＜x≤7時(shí)，設(shè)小車距B地的路程y和公交車離開A地的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2x+b2（k2、b2為常數(shù)，且k2≠0）．將坐標(biāo)（4，300）和（7，0）代入y＝k2x+b2，得，解得，∴y＝﹣100x+700（4＜x≤7）；綜上，小車距B地的路程y和公交車離開A地的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，﹣60x+300＝50，解得x＝（不符合題意，舍去）；當(dāng)1＜x≤4時(shí)，|100x﹣100﹣（﹣60x+300）|＝50，解得x＝或x＝；當(dāng)4＜x≤5時(shí)，|﹣100x+700﹣（﹣60x+300）|＝50，解得x＝（不符合題意，舍去）或x＝（不符合題意，舍去）；當(dāng)5＜x≤7時(shí)，﹣100x+700＝50，解得x＝．綜上，當(dāng)公交車出發(fā)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)后，兩車相距50千米．﹣1＝（小時(shí)），﹣1＝（小時(shí)），﹣1＝（小時(shí)），∴小車出發(fā)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)后，兩車相距50千米．35．倡導(dǎo)垃圾分類，共享綠色生活：為了對回收的垃圾進(jìn)行更精準(zhǔn)的分類，某機(jī)器人公司研發(fā)出A型和B型兩款垃圾分揀機(jī)器人，已知1臺A型機(jī)器人每小時(shí)分揀垃圾0.4噸，1臺B型機(jī)器人每小時(shí)分揀垃圾0.2噸．（1）某垃圾處理廠計(jì)劃向機(jī)器人公司購進(jìn)一批A型和B型垃圾分揀機(jī)器人，這批機(jī)器人每小時(shí)一共能分揀垃圾20噸．設(shè)購買A型機(jī)器人a臺（10≤a≤45），B型機(jī)器人b臺，請用含a的代數(shù)式表示b；（2）機(jī)器人公司的報(bào)價(jià)如表：型號原價(jià)購買數(shù)量少于30臺購買數(shù)量不少于30臺A型20萬元/臺原價(jià)購買打九折B型12萬元/臺原價(jià)購買打八折在（1）的條件下，設(shè)購買總費(fèi)用為w萬元，問如何購買使得總費(fèi)用w最少？請說明理由．【答案】（1）b＝100﹣2a（10≤a≤45）；（2）購買A型機(jī)器人35臺，B型機(jī)器人30臺時(shí)，總費(fèi)用w最少．【解答】解：（1）0.4a+0.2b＝20．解得：b＝100﹣2a（10≤a≤45）．（2）①當(dāng)10≤a＜30時(shí)，40＜b≤80．本號資料全部#來源于微信公#眾號：數(shù)學(xué)第六感w＝20a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960．∵0.8＞0，∴w隨a的增大而增大．∴當(dāng)a＝10時(shí)，w有最小值．w最?。?68；②當(dāng)30≤a≤35時(shí)，30≤b≤40．w＝20a×0.9+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960．∵﹣1.2＜0，∴w隨a的增大而減?。喈?dāng)a＝35時(shí)，w有最小值．w最?。?18；③當(dāng)35＜a≤45時(shí)，10≤b＜30．w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200．∵﹣6＜0，∴w隨a的增大而減小．∴當(dāng)a＝45時(shí)，w有最小值．w最小＝930．∵918＜930＜968，∴購買A型機(jī)器人35臺，B型機(jī)器人30臺時(shí)，總費(fèi)用w最少．36．食堂午餐高峰期間，同學(xué)們往往需要排隊(duì)等候購餐．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天開餐時(shí)，約有400人排隊(duì)，接下來，不斷有新的同學(xué)進(jìn)入食堂排隊(duì)，隊(duì)列中的同學(xué)買到飯后會(huì)離開隊(duì)列．食堂目前開放了4個(gè)售餐窗口（規(guī)定每人購餐1份），每分鐘每個(gè)窗口能出售午餐15份，前a分鐘每分鐘有40人進(jìn)入食堂排隊(duì)購餐．每一天食堂排隊(duì)等候購餐的人數(shù)y（人）與開餐時(shí)間x（分鐘）的關(guān)系如圖所示，（1）求a的值．（2）求開餐到第7分鐘時(shí)食堂排隊(duì)購餐等候的人數(shù)．（3）若要在開始售餐7分鐘內(nèi)讓所有的排隊(duì)的學(xué)生都能買到，以便后來到同學(xué)隨到隨購，至少需要同時(shí)開放幾個(gè)窗口？【答案】（1）4；（2）160；（3）6個(gè)．【解答】解：（1）根據(jù)“等候購餐的人數(shù)＝開餐時(shí)排隊(duì)人數(shù)+前a分鐘新增排隊(duì)人數(shù)﹣購餐后離開的人數(shù)”，得400+40a﹣15×4a＝320，解得a＝4，∴a的值是4．（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，設(shè)排隊(duì)等候購餐的人數(shù)y與開餐時(shí)間x的關(guān)系為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．將坐標(biāo)B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝﹣x+（4≤x≤10）．當(dāng)x＝7時(shí)，y＝﹣×7+＝160，∴開餐到第7分鐘時(shí)食堂排隊(duì)購餐等候160人；（3）設(shè)同時(shí)開放x個(gè)窗口，則7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]×，解得x≥5，所以至少需同時(shí)開放6個(gè)售票窗口．二十七．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）37．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，且OA⊥OB，連結(jié)AB交圖象于點(diǎn)C，若C是AB的中點(diǎn)，則△AOB的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，∴∠ADO＝∠BEO＝90°．∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°．∴∠AOD+∠BOE＝∠AOD+∠OAD＝90°．∴∠OAD＝∠BOE．∴△AOD∽△OBE．∴＝（）2．∵＝，∴＝＝＝．設(shè)A（m，），則B（﹣，m），∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，∴C（，）．∵點(diǎn)C也恰好在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴?＝1．∴m2﹣＝2．∴m2+＝＝4．∴S△AOB＝OA?OB＝OA?OA＝OA2＝（m2+）＝2．故選：C．二十八．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）38．在實(shí)驗(yàn)課上，小明做了一個(gè)試驗(yàn)．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個(gè)物體，在右邊托盤B（可左右移動(dòng)）中放置一個(gè)可以裝水的容器，容器的質(zhì)量為5g．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點(diǎn)C的距離x（cm）（0＜x≤60），記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤B與點(diǎn)C的距離x/cm3025201510容器與水的總質(zhì)量y1/g1012152030加入的水的質(zhì)量y2/g57101525把表中的x與y1各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的y1關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）請?jiān)谠撈矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象；（2）觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：①直接寫出y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)0＜x≤60時(shí)，y1隨x的增大而減?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”），y2隨x的增大而減?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”）；③y2的圖象與y1的圖象有什么位置關(guān)系？④求y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（3）若在容器中加入的水的質(zhì)量y2（g）滿足19≤y2≤45，求托盤B與點(diǎn)C的距離x（cm）的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)圖象見解答；（2）①y1＝（0＜x≤60）；②減小，減?。虎蹖1的圖象向下平移得到y(tǒng)2的圖象；④y2＝﹣5；（3）6≤x≤12.5．【解答】解：（1）y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示：本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)#學(xué)第六感（2）①由表格可知，xy1＝300，即y1＝，∴y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y1＝（0＜x≤60）．②觀察圖象可知，當(dāng)0＜x≤60時(shí)，y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而減?。蚀鸢笧椋簻p小，減?。塾蓤D象可知，將y1的圖象向下平移得到y(tǒng)2的圖象．④由表格可知，x（y2+5）＝300，即y2＝﹣5，∴y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y2＝﹣5．（3）當(dāng)19≤y2≤45時(shí)，得19≤﹣5≤45，解得6≤x≤12.5，∴B與點(diǎn)C的距離x（cm）的取值范圍是6≤x≤12.5．本號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感二十九．二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）39．已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+3（m為常數(shù)，且m≠0），當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，函數(shù)有最小值2，則m的值是（）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】D【解答】解：∵二次函數(shù)為y＝mx2﹣2mx+3，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1．∵當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，函數(shù)值y的最小值為2，∴①當(dāng)m＞0時(shí)，x＝1時(shí)，y＝2，則m﹣2m+3＝2，解得m＝1．②當(dāng)m＜0時(shí)，∵對稱軸是直線x＝1，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y取最小值＝2，則m+2m+3＝2，解得m＝﹣．故m的值為1或﹣，故選：D．40．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最小值是﹣4，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2【答案】C【解答】解：由題意，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取最小值為﹣4．①當(dāng)m+2＜1時(shí)，即m＜﹣1時(shí)，有（m+2）2﹣2（m+2）﹣3＝﹣4．∴m＝﹣1，不合題意．②當(dāng)m≤1，m+2≥1時(shí)，即﹣1≤m≤1．此時(shí)當(dāng)x＝1時(shí)，y取最小值為﹣4，符合題意．③當(dāng)m＞1時(shí)，有m2﹣2m﹣3＝﹣4．∴m＝1，不合題意．總上，﹣1≤m≤1．故選C．三十．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）41．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1，給出下列四個(gè)結(jié)論：①a＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④3a+c＜0．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：由題意，拋物線開口向上，∴a＞0，故①正確．又對稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a．∴2a﹣b＝0，故②正確．又由題意，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正確．又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＞0，∴a+2a+c＞0．∴3a+c＞0，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的有3個(gè)．故選：C．三十一．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）42．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象上有三點(diǎn)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1【答案】B【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象上有三點(diǎn)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），∴對稱軸．設(shè)點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為（x0，y1），所以．解得x0＝4，∴點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為（4，y1）．∵a＜0，∴拋物線開口向下．∴對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增減?。?＞3＞1，所以y1＜y3＜y2．故選：B．三十二．二次函數(shù)的應(yīng)用（共5小題）43．某灑水車為綠化帶澆水，圖1是灑水車噴水區(qū)域的截面圖，其上、下邊緣都可以看作是拋物線的一部分，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的．噴水口H距地面的豎直高度OH為1.5m，噴水區(qū)域的上、下邊緣與地面交于A，B兩點(diǎn)，上邊緣拋物線的最高點(diǎn)C恰好在點(diǎn)B的正上方，已知OA＝6m，OB＝2m，CB＝2m．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）在①，②兩個(gè)表達(dá)式中，灑水車噴出水的上邊緣拋物線的表達(dá)式為②，下邊緣拋物線的表達(dá)式為①（把表達(dá)式的序號填在對應(yīng)橫線上）；（2）如圖3，灑水車沿著平行于綠化帶的公路行駛，綠化帶的橫截面可以看作矩形DEFG，水平寬度DE＝3m，豎直高度DG＝0.5m．如圖4，OD為噴水口距綠化帶底部的最近水平距離（單位：m）．若矩形DEFG在噴水區(qū)域內(nèi)，則稱灑水車能澆灌到整個(gè)綠化帶．①當(dāng)OD＝2.6m時(shí)，判斷灑水車能否澆灌到整個(gè)綠化帶，并說明理由；②若灑水車能澆灌到整個(gè)綠化帶，則OD的取值范圍是2≤OD≤2﹣1．【答案】（1）②，①；（2）①不能，理由見解析；（2）2≤OD≤2﹣1．【解答】解：（1）由題意，上邊緣拋物線的頂點(diǎn)為（2，2），∴可設(shè)上邊緣拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+2．又拋物線過點(diǎn)（6，0），∴0＝a（6﹣2）2+2．∴a＝﹣．∴上邊緣拋物線的解析式我y＝﹣（x﹣2）2+2．由下邊緣拋物線是由上邊緣向左平移得到的，故可設(shè)下邊緣拋物線為y＝﹣（x+m）2+2．又下邊緣過點(diǎn)（2，0），∴0＝﹣（2+m）2+2．∴m＝2或m＝﹣6（∵向左平移，∴m＝﹣6不合題意）．∴m＝2．∴下邊緣拋物線為y＝﹣（x+2）2+2．故答案為：②，①．（2）①不能．理由如下：由題意可得OE＝2.6+3＝5.6．把x＝5.6代入上邊緣拋物線表達(dá)式，得．所以綠化帶不全在噴頭口的噴水區(qū)域內(nèi)．所以灑水車不能澆灌到整個(gè)綠化帶．②∵EF＝DG＝0.5，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5．∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2．解得x＝2±2．∵x＞0，∴x＝2+2，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)2≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則x≤2+2，∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，且x＝0時(shí)，y＝1.5＞0.5，∴當(dāng)0≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，0≤x≤2+2．∵DE＝3，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，∴OD的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是OD≥OB，本號#資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感∴OD的最小值為2，綜上所述，OD的取值范圍是2≤OD≤2﹣1．故答案為：．44．為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為160m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2本號資料全部來源*于微信公眾號：數(shù)學(xué)#第六感（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面積是1500m2；（2）x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)AE＝a，由題意得：AE?AD＝2BE?BC∵AD＝BC∴BE＝a，AB＝由題意可得：2x+3a+2×a＝160∴a＝40﹣x∴y＝AB?BC＝ax＝（40﹣x）x∴y＝﹣x2+60x（0＜x＜80）令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500化簡得：x2﹣80x+2000＝0∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0∴方程無解答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面積是1500m2（2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200∴當(dāng)x＝40時(shí)，y有最大值，最大值是1200m2．45．憑借優(yōu)越的自然環(huán)境，中國云南已經(jīng)成為世界主要的花卉種植區(qū)，地球上所有花卉都可以在云南找到最佳的生長環(huán)境．云南某地計(jì)劃將其900m2的土地用于種植甲乙兩種花卉、設(shè)甲種花卉種值面積為xm2，每平方米的種植成本y元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中150≤x≤750；乙種花卉每平方米的種植成本為50元．（1）求y與x的函數(shù)解析式；（2）設(shè)該地2024年種植甲、乙兩種花卉的總成本為W元，當(dāng)150≤x≤600時(shí)，如何分配兩種花卉的種植面積使W的值最?。敬鸢浮浚?）y＝；（2）種植甲種花卉的種植面積為225m2，乙種蔬菜的種植面積為675m2時(shí)，W最小．【解答】解：（1）當(dāng)150≤x≤600時(shí)，設(shè)甲種花卉種植成本y與其種植面積x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，把（150，30），（600，60）代入得：，∴．∴當(dāng)150≤x≤600時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+20．又由題意，當(dāng)600＜x≤750時(shí)，y＝60，∴所求函數(shù)關(guān)系式為y＝．（2）當(dāng)150≤x≤600時(shí)，W＝x（x+20）+50（900?x）＝x2﹣30x+45000＝（x?225）2+41625．∵＞0，∴拋物線開口向上．∴當(dāng)x＝225時(shí)，W有最小值，最小值為41625，此時(shí)，900﹣x＝900﹣225＝675．當(dāng)600＜x≤750時(shí)，W＝60x+50（900﹣x）＝10x+45000，∵10＞0，∴此時(shí)，y隨x的增大而增大．又當(dāng)x＝600時(shí)，W＝10×600+45000＝51000，∴此時(shí)w＞51000．∵41625＜51000，∴當(dāng)種植甲種花卉的種植面積為225m2，乙種蔬菜的種植面積為675m2時(shí)，W最小．46．問題探究（1）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，點(diǎn)P為邊CD的中點(diǎn)，Q為邊AD上一點(diǎn)，且DP+DQ＝5，連接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面積；問題解決（2）為響應(yīng)市政府“建設(shè)美麗城市，改善生活環(huán)境”的號召，某小區(qū)欲建造如圖2所示的四邊形ABCD休閑廣場，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照規(guī)劃要求，點(diǎn)P、Q分別在邊CD、AD上，滿足DP+DQ＝40米，連接BP、PQ、BQ，其中△PBQ為健身休閑區(qū)，其他區(qū)域?yàn)榫坝^綠化區(qū)，為了使綠化面積盡可能大，希望健身休閑區(qū)的面積盡可能小，那么按此要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)（△PBQ）是否存在最小面積？若存在，求出最小面積及此時(shí)DP的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）．（2）按此要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)（△PBQ）存在最小面積，最小面積為750平方米，此時(shí)DP的長為10米．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD交DA的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，延長MP交BC的延長線于點(diǎn)N，∴∠BAE＝∠ABC＝∠DCN＝∠D＝60°，在菱形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P為邊CD的中點(diǎn)，∴DP＝CP＝2，∵DP+DQ＝5，∴DQ＝3，∴AQ＝1，在Rt△ABE中，BE＝AB?sin60°＝2，在Rt△CPN中，PN＝CP?sin60°＝，在Rt△DPM中，PM＝DP?sin60°＝，∴S△BPQ＝S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ＝4×2﹣×1×2﹣×4×﹣×3×＝．（2）∵∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，本號資料全部來#源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感∴四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝40米，BC＝AD＝60米，設(shè)DP＝x米，則CP＝（40﹣x）米，DQ＝（40﹣x）米，AQ＝（20+x）米，∴S△BPQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ＝40×60﹣×40（20+x）﹣×60×（40﹣x）﹣x（40﹣x）＝x2﹣10x+800＝（x﹣10）2+750．∴當(dāng)x＝10時(shí)，S△BPQ的最小值為750．∴按此要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)（△PBQ）存在最小面積，最小面積為750平方米，此時(shí)DP的長為10米．本號資料全部來源于微信公眾號*：數(shù)學(xué)*第六感47．目前，云南省有130多種水果資源，約占全國的60%．第十六屆亞洲果蔬產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)是中國領(lǐng)先的水果產(chǎn)業(yè)鏈貿(mào)易盛會(huì)，此次博覽會(huì)，云南出產(chǎn)的蘋果、藍(lán)莓、冰糖橙、甜柿、草莓、石榴等品種深受全國經(jīng)銷商們青睞．某果園今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市15天全部售罄，該果園果農(nóng)對銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，在該草莓上市第x天時(shí)，日銷售量P（單位：千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為P＝，草莓單價(jià)y（單位：元/千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）當(dāng)0＜x≤15時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)日銷售額為W元，當(dāng)0＜x≤10時(shí)，求W的最大值．【答案】（1）y＝；（2）當(dāng)x＝10時(shí)，W取最大值，最大值為800元．【解答】解：（1）由題意，當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y＝10；當(dāng)5≤x≤15時(shí)，設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx+b，又圖象過（5，10），（15，6），∴．∴．∴此時(shí)函數(shù)解析式為y＝﹣0.4x+12．綜上，當(dāng)0＜x≤15時(shí)，y＝．（2）由題意，結(jié)合（1）當(dāng)0＜x＜5時(shí)，單價(jià)為y＝10，此時(shí)銷量p＝10x，∴日銷售額為W＝100x＜500．當(dāng)5≤x≤10時(shí)，銷量p＝10x，單價(jià)為y＝﹣0.4x+12，∴日銷售額為W＝10x（﹣0.4x+12）＝﹣4x2+120x＝﹣4（x2﹣30x+225）+900＝﹣4（x﹣15）2+900．又a＝﹣4＜0，∴當(dāng)x＜15時(shí)，W隨x的增大而增大．∴當(dāng)5≤x≤10時(shí)，當(dāng)x＝10時(shí)，W取最大值，最大值為800．綜上，當(dāng)0＜x≤10時(shí)，當(dāng)x＝10時(shí)，W取最大值，最大值為800元．三十三．平行線的判定（共1小題）48．如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，下列條件能判斷AB∥CD的是（）*本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【答案】A【解答】解：A．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證得AB∥CD；B．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證得BD∥AC，不能證AB∥CD；C．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證得BD∥AC，不能證AB∥CD；D．根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可證得BD∥AC，不能證AB∥CD．故選：A．三十四．平行線的性質(zhì)（共1小題）49．凸透鏡是中央較厚邊緣較薄的透鏡．如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)，若∠1＝30°，∠2＝55°，則∠ABP的度數(shù)是（）A．150° B．155° C．160° D．165°【答案】B【解答】解：∵∠1＝30°，∴∠1＝∠POF＝30°，∵∠2是△OPF的一個(gè)外角，∴∠OFP＝∠2﹣∠POF＝25°，∵AB∥OF，∴∠ABF＝180°﹣∠OFP＝155°，故選：B．三十五．三角形的面積（共1小題）50．如圖，點(diǎn)D是△ABC中AB邊上的點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若△ABC的面積為8，則陰影部分的面積為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴S△ACE＝S△ADE，S△BCE＝S△BDE，∴陰影部分的面積＝S△ABC＝×8＝4．本號資料全部來源*于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感故選：C．三十六．全等三角形的判定（共1小題）51．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以a厘米/秒的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，a的值為（）A．3 B．4 C．4或6 D．2或3【答案】C【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)，BD＝CQ＝6，BP＝CP＝4，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4÷4＝1秒，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a＝6÷1＝6（厘米/秒）；本*號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感②當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，AP＝BD＝6，BP＝8﹣6＝2，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2÷4＝，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2÷＝4（厘米/秒）；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為4或6厘米/秒時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使△BPD與△CQP全等．故選：C．三十七．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）52．如圖，已知：AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠EBD＝38°，現(xiàn)有下列結(jié)論：①△BDC≌△AEC；②∠AEB＝128°；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中不正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解答】解：延長AE交BD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，DC＝EC，∴△BDC≌△AEC（SAS），∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBC，∵∠EBD＝38°，∴∠DBC+∠EBC＝38°，∴∠EAC+∠EBC＝38°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°﹣（∠EAC+∠EBC）＝52°，∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝128°，∵∠ACB＝90°，∴∠AGC+∠EAC＝90°，∵∠BGF＝∠AGC，∴∠BGF+∠CBD＝90°，∴∠BFG＝180°﹣（∠BGF+∠CBD）＝90°，∴AF⊥BD，即AE⊥BD，所以，上列結(jié)論，其中不正確的有0個(gè)，故選：A．三十八．等腰三角形的性質(zhì)（共2小題）53．已知A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且△ABC為等腰三角形，滿足條件的C有（）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C1，C2，C3；當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長為半徑作圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C4，C5；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，交y軸于點(diǎn)C6；綜上所述：滿足條件的C有6個(gè)，故選：B．54．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則它的頂角的度數(shù)為（）A．42° B．42°或138° C．48°或96° D．48°【答案】B【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時(shí)，如圖：在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝48°，BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝42°；當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時(shí)，如圖：在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝48°，BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC是△ABD的一個(gè)外角，∴∠BAC＝∠ADB+∠ABD＝138°；綜上所述：它的頂角的度數(shù)為42°或138°，故選：B．三十九．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）55．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠ACD＝4∠BCD，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)．則∠DCE的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．54°【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝4∠BCD，∴∠BCD＝∠ACB＝18°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝72°，∵點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE＝BE＝AB，∴∠B＝∠BCE＝72°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝54°，故選：D．四十．勾股定理的逆定理（共1小題）56．下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15【答案】B【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴不能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵12+（）2＝3，（）2＝3，本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第#六感∴12+（）2＝（）2，∴能構(gòu)成直角三角形，故B符合題意；C、∵42+62＝52，82＝64，∴42+62≠82，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；D、∵122+52＝169，152＝225，∴122+52≠152，∴不能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意；故選：B．四十一．多邊形內(nèi)角與外角（共2小題）57．如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A、∠B、∠E保持不變，為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應(yīng)（）度．A．增加10 B．減少10 C．增加20 D．減少20【答案】B【解答】解：延長EF，交CD于點(diǎn)G，如圖：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝10°．而圖中∠D＝20°，∴∠D應(yīng)減少10°．故選：B．58．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．240° B．360° C．540° D．720°【答案】B【解答】解：如圖，AC、DF與BE分別相交于點(diǎn)M、N，在四邊形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故選：B．四十二．平行四邊形的性質(zhì)（共1小題）59．如圖，在?ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝CF．（2）若AD＝5，，EF＝2，求AC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）6．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：∵，∴CD＝，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝∠CFD＝90°，∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF＝x，∵EF＝2，∴AF＝2+x，Rt△ADF和Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理得：AD2﹣AF2＝CD2﹣CF2，即52﹣（2+x）2＝（）2﹣x2，解得x＝2，∴AE＝CF＝2，∴AC＝AE+EF+CF＝2+2+2＝6．四十三．四邊形綜合題（共1小題）60．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)以1cm/s的速度向C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)以2cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t．把線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AE，連接BE，CE．運(yùn)動(dòng)過程中△BCE的面積記為S△BCE且，PQ的長度記為y2．（1）求出y1、y2的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．（2）在圖2的平面直角坐標(biāo)系中，畫出y1、y2的函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)y2圖象的一條性質(zhì)：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，y2隨t的增大而減?。?）結(jié)合圖象，當(dāng)y1≥y2時(shí)，直接寫出t的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意，得BP＝t，CQ＝2t，0≤t≤6，本號資料*全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，作EG⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠G＝∠ABP，∠BAP+∠APB＝90°，∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AE，∴AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠EAG+∠BAP＝90°，本號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)#學(xué)第六感∴∠APB＝∠EAG，在△ABP和△EGA中，∴△ABP≌△EGA（AAS），∴BP＝GA＝t，∵∠G＝∠ABF＝∠EFB＝90°，∴四邊形BGEF是矩形，∴EF＝GB＝GA+AB＝t+6，∴＝，∴y1＝t+6（0≤t≤6）；點(diǎn)P，Q相遇時(shí)，即t+2t＝12，本號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感解得t＝4，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，∵PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝12﹣t﹣2t＝﹣3t+12，∴y2＝﹣3t+12，當(dāng)4＜t≤6時(shí)，∵PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣12＝3t﹣12，∴y2＝3t﹣12，∴（2）當(dāng)t＝0時(shí)，y1＝6，當(dāng)t＝6時(shí)，y1＝12，∴y1的圖象是過點(diǎn)（0，6），（6，12）的線段，如圖2．當(dāng)t＝0時(shí)，y2＝12，當(dāng)t＝4時(shí)，y2＝0，當(dāng)t＝6時(shí)，y2＝6，∴y2的圖象是過點(diǎn)（0，12），（4，0）的線段和過點(diǎn)（4，0），（6，6）的線段，如圖2．函數(shù)y2圖象的一條性質(zhì)：答案不唯一，比如：①當(dāng)0≤t≤4時(shí)，y2隨t的增大而減??；②當(dāng)4＜t≤6時(shí)，y2隨t的增大而增大．（寫出一條即可）故答案為：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，y2隨t的增大而減??；（3）當(dāng)0≤t≤4時(shí)，令y1＝y(tǒng)2，即t+6＝﹣3t+12，解得t＝，由圖象可知，當(dāng)y1≥y2時(shí)，≤t≤6，故答案為：≤t≤6．

四十四．四邊形綜合題（共1小題）61．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．證明：（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．四十五．垂徑定理（共1小題）62．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，BC＝3，將沿著BC折疊后恰好經(jīng)過點(diǎn)O，則AB的長為2．【答案】2．【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，延長OD交于點(diǎn)E，∴CD＝BD＝BC＝，由折疊得：OD＝DE＝OE，∵OE＝OB，∴OD＝OB，在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，∴（OB）2+（）2＝OB2，解得：OB＝或OB＝﹣（舍去），∴AB＝2OB＝2，故答案為：2．四十六．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）63．“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個(gè)竹筒水容器，圖2為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為10cm，開口AB寬為12cm，這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是18cm．【答案】這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是18cm．【解答】解：連接AB，OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，延長CO交⊙O于點(diǎn)D，∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝6cm，由題意可知，OB＝10cm，∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm），∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），即這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是18cm．四十七．三角形的外接圓與外心（共1小題）64．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，連接AD、CD．若∠D＝20°，則∠ACB的度數(shù)為70°．【答案】70°．【解答】解：由題意，∵＝，∴∠ABC＝∠ADC＝20°．又BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°．∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣20°＝70°．故答案為：70°．四十八．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）65．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，AB平分∠CAE．（1）判斷BE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠ACB＝30°，⊙O的半徑為4，請求出圖中陰影部分的面積．本號資料全*部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)#第六感【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）BE與⊙O相切，本號資料全部來源于微信公眾號：*數(shù)學(xué)第六感理由：連接BO，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵AB平分∠CAE，∴∠OAB＝∠BAE，∴∠OBA＝∠BAE，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠OBA＝90°，即∠EBO＝90°，本#號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感∴BE⊥OB，∴BE與⊙O相切；（2）∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△ABO是等邊三角形，∴∠OBA＝60°，OA＝OB＝AB＝4，∴∠ABE＝30°，∴AE＝2，BE＝2，∴S陰影＝S四邊形AEBO﹣S扇形AOB＝×（2+4）×2﹣＝6﹣．四十九．切線的性質(zhì)（共2小題）66．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，E為上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作⊙O的切線，分別交DC，AB的延長線于點(diǎn)F，G．連接AE，交CD于點(diǎn)P．（1）求證：∠FEP＝∠FPE；（2）連接AD，若AD∥FG，CD＝4，，求EG的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OE，∵FG與⊙O相切于點(diǎn)E，∴∠OEF＝90°，∴∠OEA+∠PEF＝90°，本號資料全部來源于微信公眾號*：數(shù)學(xué)第六感∵CD⊥AB，∴∠AHP＝90°，∴∠PAH+∠APH＝90°，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠PAH，∴∠FEP＝∠APH，∵∠APH＝∠FPE，∴∠FEP＝∠FPE；（2）解：連接OD，∵AD∥FG，∴∠F＝∠D，∵，∴cosF＝cosD＝，∵CD⊥AB，CD＝4，∴DH＝CD＝2，在Rt△AHD中，AD＝＝＝2.5，∴AH＝＝＝1.5，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OHD中，OH2+HD2＝OD2，∴（r﹣1.5）2+22＝r2，解得：r＝，∵CD⊥AB，∴∠FHG＝90°，∴∠F+∠G＝90°，∴cosF＝sinG＝，在Rt△OEG中，OE＝，∴OG＝＝＝，∴EG＝＝＝，∴EG的長為．67．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在上，過E作⊙O的切線，交AB的延長線于點(diǎn)F，若∠BEF＝∠CAE．（1）求證：AE平分∠BAC；（2）若BF＝10，EF＝20，求AC的長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）AC的長為18．【解答】（1）證明：連接OE，交BC于點(diǎn)G，∵EF與⊙O相切于點(diǎn)E，∴∠OEF＝90°，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠OBE＝90°，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠BEF＝∠EAB，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠CAE＝∠EAB，∴AE平分∠BAC；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO，∵∠CAE＝∠EAB，∴∠CAE＝∠AEO，∴AC∥OE，∴∠C＝∠OGB＝90°，∴CG＝BG，∵OA＝OB，∴OG是△ACB的中位線，∴AC＝2OG，∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE，∴△FEB∽△FAE，∴＝，∴＝，∴AF＝40，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣10＝30，∴OA＝OB＝OE＝AB＝15，∵∠OGB＝∠OEF＝90°，∴BC∥EF，∴＝，∴＝，解得：OG＝9，∴AC＝2OG＝18，∴AC的長為18．五十．切線的判定與性質(zhì)（共3小題）68．如圖，∠ABC＝70°，O為射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作圓．將射線BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使射線BA與⊙O相切，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是40°或100°．【答案】40°或100°．【解答】解：如圖：①當(dāng)BA′與⊙O相切，且BA′位于BC上方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，則∠OPB＝90°，Rt△OPB中，OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°，∵∠ABC＝70°，∴∠ABA′＝40°；②當(dāng)BA′與⊙O相切，且BA′位于BC下方時(shí)，同①，可求得∠A′BO＝30°；此時(shí)∠ABA′＝70°+30°＝100°，故旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為40°或100°．故答案為：40°或100°．69．（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，連接DE、DB，①（答案不唯一）．求證：②（答案不唯一）；從①DE與⊙O相切；②DE⊥AC中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫序號），并完成證明過程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求陰影部分的面積．【答案】（1）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；證明過程見解答；（2）陰影部分的面積為．【解答】解：（1）若選擇：①作為條件，②作為結(jié)論，如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，連接DE、DB，DE與⊙O相切，求證：DE⊥AC，證明：連接OD，∵DE與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；若選擇：②作為條件，①作為結(jié)論，如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，連接DE、DB，DE⊥AC，求證：DE與⊙O相切，證明：連接OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切；故答案為：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；（2）連接OF，DF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∠BAD＝30°，本號資料全部來*源于*微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，∵∠EAD＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，∵OD＝OF，∴△DOF都是等邊三角形，∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°，本號資料全部來源于微信公眾*號：數(shù)學(xué)第六感∴DF∥AB，∴△ADF的面積＝△ODF的面積，∴陰影部分的面積＝△AED的面積﹣扇形DOF的面積＝AE?DE﹣＝××﹣＝﹣＝，∴陰影部分的面積為．70．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E，C在⊙O上，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，AE垂直于過C點(diǎn)的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點(diǎn)F．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，①求⊙O的半徑；②求線段DE的長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）①⊙O的半徑為3；②線段DE的長為2．【解答】（1）證明：連接OC，∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴＝，∴∠DAC＝∠CAB，∴OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：①過點(diǎn)O作OG⊥AE，垂足為G，∴AG＝EG＝AE＝1，∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，∵∠D＝∠AGO＝90°，∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG，∵sin∠AFD＝，∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝，在Rt△AGO中，AO＝＝＝3，∴⊙O的半徑為3；②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四邊形OGDC是矩形，∴OC＝DG＝3，∵GE＝1，∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，∴線段DE的長為2．五十一．正多邊形和圓（共1小題）71．如圖，⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距為，分別以B、D、F為圓心，正六邊形的邊長為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如圖，連接OB，OA，作OM⊥AB于點(diǎn)M，則OM＝．∵∠AOB＝＝60°，AO＝OB，∴BO＝AB＝AO，AM＝AB＝AO，OM＝，∴，∴AO＝1，∴BO＝AB＝AO＝1，∴S△AOB＝AB×OM＝×1×＝，∵S扇形AOB＝＝，∴陰影部分面積是：（﹣）×6＝π﹣．故選：A．五十二．扇形面積的計(jì)算（共1小題）72．如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的半圓內(nèi)一點(diǎn)，直徑AB＝4，∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，將△BOC繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′在半徑OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）面積為π.（結(jié)果保留π）本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學(xué)第六感【答案】π．【解答】解：∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，∴OC＝OB＝1，BC＝，則邊BC掃過區(qū)域的面積為：＝＝π．故答案為：π．五十三．圓錐的計(jì)算（共1小題）73．若一個(gè)圓錐的底面半徑是3cm，母線長是8cm，則其側(cè)面展開圖的面積是24πcm2．（結(jié)果保留π）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：圓錐側(cè)面展開圖的面積＝×2×3π×8＝24π（cm2），故答案為：24π．五十四．軸對稱-最短路線問題（共2小題）74．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【答案】B【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學(xué)第六感∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．75．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．【答案】A【解答】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB?h＝AB?AD，∴h＝AD＝2，∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)E，連接AE，BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值為2．故選：A．五十五．翻折變換（折疊問題）（共1小題）76．如圖是一張矩形紙片ABCD，按照下面步膯進(jìn)行折疊：第一步：如圖①，將矩形紙片沿AM折疊，使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)N落在AB上，連接MN，然后把紙片展開．第二步：如圖②，將四邊形ADMN沿PQ對折，使AD與NM重合．將紙片展開，得到折痕PQ，然后連接NQ．第三步：如圖③，折疊紙片使得NQ落在DC上，折痕為EQ，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為F．（1）試判斷四邊形ADMN的形狀并說明理由；（2）求圖③中四邊形NQFE的面積與四邊形ADMN的面積的比值．【答案】（1）四邊形ADMN的形狀是正方形．理由見解析過程；（2）．【解答】解：（1）四邊形ADMN的形狀是正方形．理由：由折疊可得，∠ANM＝∠D＝90°，又∵∠DAN＝90°，∴四邊形ADMN是矩形，由折疊可得AD＝AN，∴四邊形ADMN是正方形；（2）由折疊可得QM＝DM＝MN，本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)#第六感∴QM：MN＝1：2，又∵∠NMQ＝90°，∴QM：MN：NQ＝1：2：，由折疊可得，∠NQE＝∠FQE，∵NE∥QF，∴∠NEQ＝∠EQF，∴∠NQE＝∠NEQ，∴NE＝NQ，∵NE∥QF，NQ∥EF，∴四邊形NQFE是平行四邊形，∴＝＝＝＝，∴四邊形NQFE的面積與四邊形ADMN的面積的比值＝．五十六．平移的性質(zhì)（共1小題）77．如圖，將等邊△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3，，則BB1＝1．【答案】1．【解答】解：過P作PD⊥B1C于D，∵將等邊△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，∴∠PB1C＝∠C＝60°，∴∠CPB1＝60°，∴△PCB1是等邊三角形，設(shè)等邊三角形PCB1的邊長是2a，則B1D＝CD＝a