一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略（學生版）

一次函數(shù)的應(yīng)用壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用圖象法解一元一次方程】 1【考點二由直線與坐標軸的交點求不等式的解集】 3【考點三根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集】 5【考點四兩條直線的交點求二元一次方程組的解】 7【考點五一次函數(shù)的應(yīng)用--方案問題】 9【考點六一次函數(shù)的應(yīng)用--最大利潤問題】 13【考點七一次函數(shù)的應(yīng)用--行程問題】 16【考點八一次函數(shù)的應(yīng)用--幾何問題】 21【過關(guān)檢測】 27【典型例題】【考點一利用圖象法解一元一次方程】例題：（23-24八年級上·陜西西安·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于x的方程的解是．【變式訓練】1．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）一次函數(shù)（為常數(shù)且與的圖象相交于點，則關(guān)于的方程的解為．2．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，直線與相交于點，則關(guān)于的方程的解是．【考點二由直線與坐標軸的交點求不等式的解集】例題：（22-23八年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點，則關(guān)于的不等式的解集是．【變式訓練】1．（22-23八年級下·廣東深圳·期中）如果一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集是．2．（23-24八年級上·江蘇常州·期末）如圖，點在一次函數(shù)的圖像上，則不等式的解集是．【考點三根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集】例題：（23-24八年級上·浙江金華·期末）如圖，已知直線與直線的交點的橫坐標為，則不等式的解集為．

【變式訓練】1．（22-23八年級上·廣西欽州·期末）如圖，直線經(jīng)過點和點，直線經(jīng)過點A，則不等式的解集為．

2．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）一次函數(shù)與的圖象如圖，則下列結(jié)論：①；②關(guān)于的方程的解是；③當時，；④當時，．其中正確的有（填序號）．【考點四兩條直線的交點求二元一次方程組的解】例題：（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，已知直線與直線在同一坐標系中的圖象交于點，那么方程組的解是．【變式訓練】1．（23-24八年級上·山東濟南·期末）若方程組的解是，則直線與交點的坐標為．2．（23-24八年級下·陜西西安·開學考試）一次函數(shù)的圖象和的圖象相交于點，則關(guān)于的二元一次方程組的解為．【考點五一次函數(shù)的應(yīng)用--方案問題】例題：（2023·全國·九年級專題練習）已知某酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間和雙人間每天都是600元，為吸引客源，促進旅游，在“十?一”黃金周期間酒店進行優(yōu)惠大酬賓，凡團體入住一律五折優(yōu)惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間客房，要求租住的房間正好被住滿．（1）如果一天一共花去住宿費6300元．求租住了三人間、雙人間客房各多少間？（2）設(shè)三人間共住了x人，這個團一天一共花去住宿費y元，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）一天6300元的住宿費是否為最低？如果不是，請設(shè)計一種方案，并使住宿費用最低，請寫出設(shè)計方案，并求出最低的費用．【變式訓練】1．（2021下·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）為了滿足開展“陽光體育”大課間活動的需求，某學校計劃購買一批籃球．根據(jù)學校的規(guī)模，需購買、兩種不同型號的籃球共300個．已知購買3個型籃球和2個型籃球共需340元，購買2個型籃球和1個型籃球共需要210元．（1）求購買一個型籃球、一個型籃球各需多少元？（2）若該校計劃投入資金元用于購買這兩種籃球，設(shè)購進的型籃球為個，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若購買型籃球的數(shù)量不超過型籃球數(shù)量的2倍，則該校至少需要投入資金多少元？2．（2020下·甘肅慶陽·八年級?？计谀┠承Q定購買一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2個足球共需190元；2副羽毛球拍和3個足球共需300元．（1）求每副羽毛球拍和每個足球各需多少元？（2）商場搞促銷活動，若購買的足球個數(shù)超過10個，足球就給予九折優(yōu)惠，學校打算購買羽毛球拍和足球一共50件，設(shè)購買足球個，總費用為元，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下學校要求購買的足球的數(shù)量不少于球拍副數(shù)的一半，本次如何購買，才能使總費用最少？最少費用是多少元？【考點六一次函數(shù)的應(yīng)用--最大利潤問題】例題：（2023下·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款自拍桿，進貨價和銷售價如表：類別A款自拍桿B款自拍桿進貨價（元/個）3025銷售價（元/個）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款自拍桿共30個，求這兩款自拍桿分別購進多少個？(2)第一次購進的自拍桿售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款自拍桿共80個（進貨價和銷售價都不變），且進貨總價不高于2200元．如何購進A、B兩款自拍桿，才能使所獲得的銷售利潤最大？最大利潤值為多少？【變式訓練】1．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）某超市計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經(jīng)了解，甲種水果和乙種水果的進價與售價如下表所示：水果單價甲乙進價（元/千克）售價（元/千克）2025已知用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同．(1)求甲、乙兩種水果的進價；(2)若該超市購進這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，若全部賣完所購進的這兩種水果，則超市應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？2．（2022上·安徽亳州·八年級校考階段練習）夏季來臨，某商場準備購進甲、乙兩種空調(diào)，其中甲種空調(diào)比乙種空調(diào)進價每臺少500元，用40000元購進甲種空調(diào)數(shù)量與用50000元購進乙種空調(diào)數(shù)量相同．該商場計劃一次性從空調(diào)生產(chǎn)廠家購進甲、乙兩種空調(diào)共100臺，其中乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2倍．若甲種空調(diào)每臺售價2400元，乙種空調(diào)每臺售價3000元．請解答下列問題：(1)求甲、乙兩種空調(diào)每臺的進價分別是多少元？(2)設(shè)購進甲種空調(diào)x臺，100臺空調(diào)的銷售總利潤為y元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(3)該商店購進甲、乙兩種空調(diào)各多少臺才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？【考點七一次函數(shù)的應(yīng)用--行程問題】例題：（2024上·山西太原·八年級統(tǒng)考期末）某校組織八年級學生進行研學活動，他們沿著同樣的路線從學校出發(fā)步行前往科技館．甲班比乙班先出發(fā)5分鐘，如圖線段表示甲班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數(shù)圖像；折線表示乙班離開學校的路程（米）與甲班步行時間（分）的函數(shù)圖像，圖中軸，與相交于點．請根據(jù)圖像解答下列問題：(1)學校到科技館的路程為______米；線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為______（）；(2)求線段對應(yīng)的函數(shù)表達式（不必寫自變量的取值范圍）；(3)圖像中線段與線段的交點的坐標為______，點坐標表示的實際意義是_________．【變式訓練】1．（2024上·四川達州·八年級?？计谀┮惠v客車與一輛出租車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，相向而行．設(shè)客車離甲地的距離為千米，出租車離甲地的距離為千米，兩車行駛的時間為小時，、關(guān)于的函數(shù)圖像如圖所示：(1)根據(jù)圖像，直接寫出、關(guān)于的函數(shù)圖像關(guān)系式；(2)試計算：何時兩車相距300千米？2．（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）共享電動車是一種新理念下的交通工具，主要面向的出行市場，現(xiàn)有兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元）與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費方式對應(yīng)，品牌的收費方式對應(yīng)，且超過十分鐘時，對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)求出圖中函數(shù)，的圖象交點的坐標；(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為，那么小明選擇___________品牌共享電動車更省錢．（填“”或“”）②當為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差元？【考點八一次函數(shù)的應(yīng)用--幾何問題】例題：（2022上·河北邯鄲·八年級?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，且，，，動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿路線向點運動；動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿路線向點運動.若，兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點時，運動停止.(1)直接寫出，，三個點的坐標；(2)當，兩點出發(fā)時，求的面積；(3)設(shè)兩點運動的時間為，用含的式子表示運動過程中的面積；(4)在點，運動過程中，點被包含在區(qū)域包含邊界的時長是______【變式訓練】1．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·八年級包頭市第二十九中學?？计谥校┑冗吶切蔚奈恢萌鐖D所示，等邊三角形的邊長為2．(1)求點的坐標；(2)直線過點，求該直線的表達式；(3)在軸上找一點，使得三角形為等腰三角形，直接寫出點的坐標；(4)在（2）的條件下，直線與軸交于點，在該直線上找一點，使得三角形的面積為．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，已知一次函數(shù)的圖象為直線l，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·山東棗莊·期末）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．隨的增大而減小B．C．當時，D．關(guān)于，的方程組的解為3．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習）快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛，圖中折線表示快、慢兩車之間的距離與它們的行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系，李明同學結(jié)合圖像得出如下結(jié)論：①快車途中停留了；②快車速度比慢車速度多；③圖中；④慢車先到達目的地．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（23-24八年級上·江蘇淮安·階段練習）如圖1，四邊形中，，直線，當直線沿射線的方向從點開始向右平移時，直線與四邊形的邊分別相交于點．設(shè)直線向右平移的距離為，線段的長為，且與的函數(shù)關(guān)系如圖2．則下列結(jié)論：①的長為5；②的長為；③當時，的面積不變；其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題5．（2024九年級下·廣東·專題練習）若直線和相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集是．6．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，直線與直線交于點，則關(guān)于x的不等式的解集是．

7．（2024·河南·一模）某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，該時段內(nèi)甲、乙兩倉庫的快件數(shù)量（件）與時間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么從開始，經(jīng)過分鐘時，當兩倉庫快遞件數(shù)相同．8．（23-24八年級上·四川成都·階段練習）定義：我們把直線與直線的交點稱為直線的“不動點”．例如的“不動點”：聯(lián)立方程，解得，則的“不動點”為．若直線的“不動點”為，則，．三、解答題9．（2023·山東菏澤·二模）當前我國約有十分之一的教師因為種種原因患上嗓音疾?。槍τ诖?，某校工會計劃為超課時任務(wù)的教師配備音頻放大器．已知購買2個型音頻放大器和3個型音頻放大器共需352元；購買3個型音頻放大器和4個型音頻放大器共需496元．(1)求兩種類型音頻放大器的單價；(2)該校準備采購兩種類型的音頻放大器共30個，且型音頻放大器的數(shù)量不少于型音頻放大器數(shù)量的2倍，請給出最省錢的購買方案，并說明理由．10．（23-24九年級上·貴州遵義·期中）如圖，直線：與直線l2：交于點，且直線經(jīng)過點．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)寫出方程組的解為；(3)當時，寫出自變量的取值范圍．11．（2023·山東泰安·二模）“菊潤初經(jīng)雨，橙香獨占秋”，如圖，橙子是一種甘甜爽口的水果，富含維生素．某水果商城為了了解兩種橙子市場銷售情況，購進了一批數(shù)量相等的“血橙”和“臍橙”供客戶對比品嘗，其中購買“臍橙”用了420元，購買“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”進價比每千克“臍橙”貴8元．(1)求每千克“血橙”和“臍橙”進價各是多少元？(2)若該水果商城決定再次購買同種“血橙”和“臍橙”共40千克，且再次購買的費用不超過600元，且每種橙子進價保持不變．若“血橙”的銷售單價為24元，“臍橙”的銷售單價為14元，則該水果商城應(yīng)如何進貨，使得第二批的“血橙”和“臍橙”售完后獲得利潤最大？最大利潤是多少？12．（23-24九年級下·黑龍江雞西·開學考試）為鍛煉身體，增強體質(zhì)，某戶外俱樂部組織隊員去效游，需要購買雨傘和保溫杯．已知購買10把雨傘和15個保溫杯需要450元；購買12把雨傘和10個保溫杯需要380元．(1)求購買1把雨傘和1個保溫杯各需多少元；(2)若購買雨傘和保溫杯的總數(shù)為30，總費用不少于479元且不多于502元，則有幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？13．（23