高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專練02不等式恒成立問題【原卷版+解析】

專練02不等式恒成立問題熱點題型速覽熱點題型速覽熱點一熱點一二次不等式在R上的恒成立問題1.（2023春·天津紅橋·高一天津三中?？计谥校╆P(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（

）.A． B． C． D．2.（2022秋·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的范圍________.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．4．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知對任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，則的最小值為___________.5．（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）當a為何值時，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集為R?【點評】1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸下方；2.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．熱點二熱點二二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題6．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，恒成立，則的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谥校┰谥校瑑?nèi)角，，，.若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）對于任意實數(shù)及，均有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且為與中較大的數(shù)，恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．10.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.11．（2018·天津·高考真題（文））已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【點評】1.若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．2.處理方法有，充分結(jié)合函數(shù)圖象進行分類討論或采用分離參數(shù)的方法．分離參數(shù)法即，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，如：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.熱點三熱點三二次不等式能成立或有解問題13．設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在區(qū)間[1,2]上有解，則()A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≥ D．a(chǎn)≤14.（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)）若關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．15.（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．16．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實數(shù)的取值范圍是_________．熱點四熱點四給定參數(shù)范圍的恒成立問題17．(2021·海濱區(qū)模擬)若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為________．18.（2019·浙江·高考真題）已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是____.19.（2023春·浙江寧波·高二寧波市北侖中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，，函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若在上的最大值為，求的取值范圍；(3)當時，對任意的正實數(shù)，，不等式恒成立，求的最大值.【點評】1.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為易解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題．不等式恒成立通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．2.此類問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．3.換元思想能使問題簡化.熱點五熱點五均值不等式求解恒成立問題20．（2022秋·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┤裘}“對任意的，恒成立”為真命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．21（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．22．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則_____；若，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________．24．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．25．（2023春·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為______26．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)對于任意的正實數(shù)m，n，且，若恒成立，求實數(shù)a的范圍.熱點六熱點六換元法求解不等式恒成立問題27．【多選題】（2022秋·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知,若對任意的,不等式恒成立.則（

）A． B．C．的最小值為12 D．的最小值為28．（2023春·廣東廣州·高二廣東實驗中學(xué)?？计谥校┮阎?，，且，若不等式恒成立，則的最大值為______．29．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為______．30．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的表達式是，若對于任意都滿足，則實數(shù)a的取值范圍是_________．31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為正的常數(shù)，若不等式對一切非負實數(shù)恒成立，則的最大值為________.32．（2022秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值2和最大值10．(1)求，的值；(2)設(shè)，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【綜合點評】1.求有關(guān)不等式恒成立問題，一般有三種方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解．2.換元法常常用于求解復(fù)雜的不等式恒成立問題.專練02不等式恒成立問題熱點題型速覽熱點題型速覽熱點一熱點一二次不等式在R上的恒成立問題1.（2023春·天津紅橋·高一天津三中校考期中）關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】分以及，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】當時，原不等式可化為在R上恒成立；當時，由不等式的解集為，可知應(yīng)有，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：B.2.（2022秋·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的范圍________.【答案】【分析】利用函數(shù)定域為，將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于不等式的恒成立問題，從而求出實數(shù)的取值范圍，得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所恒成立，當時，恒成立，當時，則，解得，綜上所述，.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】先移項，根據(jù)不等式是否為二次不等式分類討論，當是一次不等式，若對恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需開口向上且判別式小于零，建立不等式解出即可.【詳解】解：原不等式可化為對恒成立．（1）當時，若不等式對恒成立，只需，解得；（2）當時，若該二次不等式恒成立，只需，解得，所以；綜上：.故答案為：4．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知對任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，則的最小值為___________.【答案】/0.25【分析】由一元二次不等式恒成立得、，將問題化為求的最小值，令則，應(yīng)用基本不等式求最值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，有，又，則，又，則，故存在使成立，則，所以，令，故，所以，且，而，僅當，即等號成立，所以，僅當且時等號成立，故的最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)一元二次不等式求參數(shù)的符號和大小關(guān)系，將題設(shè)條件化為求的最小值，結(jié)合換元法、基本不等式求最值.5．（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）當a為何值時，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集為R?【答案】【分析】根據(jù)二次項系數(shù)分類討論．【詳解】時，不等式為，不合題意；時，不等式為，解集為，則，解得．所以當且僅當時，題設(shè)不等式的解集為R．【點評】1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸下方；2.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．熱點二熱點二二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題6．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，恒成立，則的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通過選項求出是什么條件，選出符合題目要求的充分不必要條件即可.【詳解】，，得，A是的必要不充分條件，B是的必要不充分條件，C：是的充要條件，D：是的充分不必要條件．故選：D．7．（2023春·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谥校┰谥?，內(nèi)角，，，.若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，并確定的取值范圍，再由關(guān)于的一元二次不等式恒成立，求出間的不等量關(guān)系，利用的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】在中，，記，則，因為，所以，，從而，所以可化為，即恒成立，所以依題有，化簡得，即得恒成立，又由，得或.故選：D．8．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）對于任意實數(shù)及，均有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先將除了以外的量看成常量，運用基本不等式先求出左邊表達式的最小值，然后利用分離參數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】由基本不等式，，故只需要即可，即對于任意的，恒成立，等價于對任意的，，或.當時，由于，原式可變形為，記，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，于是在上遞增，此時；當時，由于，原式可變形為，記，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，于是在上遞減，在上遞增，當，當，注意到，故當時，，故.綜上，.故選：D9．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且為與中較大的數(shù)，恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得對恒成立，對整理分析可得：對恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運算.【詳解】∵當時，則，可得；當時，則，可得；∴當時，，故原題意等價于對恒成立，整理得，∵，則，可得，故原題意等價于對恒成立，構(gòu)建，可知開口向上，對稱軸，可得，或，或，解得，所以a的取值范圍為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：1.對的符號分析可得：對恒成立；2.對因式分解，分析可得：對恒成立.10.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.【答案】．【分析】利用換元法把目標式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和最值情況可得答案.【詳解】令因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以因此要使在區(qū)間上恒成立，應(yīng)有，即所求實數(shù)m的取值范圍為．故答案為：.11．（2018·天津·高考真題（文））已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】分類討論：①當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，，則；②當時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當或時，，則；綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】首先不等式變形為恒成立，討論的取值，利用參變分離，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.【詳解】∵對任意的，恒成立，恒成立，即恒成立．當時，不等式為恒成立；當時，，，，，當且僅當時，即，時取“=”．．當時，．∵，．令，則，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當，即時，函數(shù)取到最大值，．綜上所述，的取值范圍是．【點評】1.若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．2.處理方法有，充分結(jié)合函數(shù)圖象進行分類討論或采用分離參數(shù)的方法．分離參數(shù)法即，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，如：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.熱點三熱點三二次不等式能成立或有解問題13．設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在區(qū)間[1,2]上有解，則()A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≥ D．a(chǎn)≤【答案】D【解析】∵關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在區(qū)間[1,2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1,2]上有解?a≤，x∈[1,2]，∵函數(shù)y＝x＋在[1,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)max＝，∴a≤.14.（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)）若關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分討論解不等式，根據(jù)只有一個整數(shù)解建立不等關(guān)系求解即可.【詳解】不等式化為，即，當時，不等式化為，得，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當時，由關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，可知，不等式的解為，由題意，，解得；當時，不等式的解為或，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選：C15.（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的圖象，由圖象分析得出的取值范圍.【詳解】因為當時，；，所以，即若在上的點的橫坐標增加2，則對應(yīng)值變?yōu)樵瓉淼?；若減少2，則對應(yīng)值變?yōu)樵瓉淼?倍.當時，，，故當時，對任意，不成立，當時，，同理當時，，以此類推，當時，必有.函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示：因為當時，，令，解得，（舍去），因為當時，成立，所以.故選：A.【點睛】思路點睛：此類問題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來尋找臨界點.16．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷出，，且的解集為，根據(jù)一元二次不等式和相應(yīng)方程的關(guān)系可得，結(jié)合b的范圍，即可求得答案.【詳解】由題意知若，即，∴，∴當時，；當時，，∵的解集為，∴，，且的解集為，∴與是的兩根，故，∴，又，∴，又，∴，故答案為：熱點四熱點四給定參數(shù)范圍的恒成立問題17．(2021·海濱區(qū)模擬)若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為________．【答案】【解析】設(shè)g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其圖象是直線，當m∈[1,2]時，圖象為一條線段，則，即，解得，故x的取值范圍為.18.（2019·浙江·高考真題）已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是____.【答案】【解析】【分析】本題主要考查含參絕對值不等式、函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于能力型考題.從研究入手，令，從而使問題加以轉(zhuǎn)化，通過繪制函數(shù)圖象，觀察得解.【詳解】使得，使得令，則原不等式轉(zhuǎn)化為存在，由折線函數(shù)，如圖只需，即，即的最大值是19.（2023春·浙江寧波·高二寧波市北侖中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，，函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若在上的最大值為，求的取值范圍；(3)當時，對任意的正實數(shù)，，不等式恒成立，求的最大值.【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)1【分析】（1）變換得到，考慮，，三種情況，解不等式得到答案.（2）確定函數(shù)對稱軸為，考慮和兩種情況，計算最值得到范圍.（3）注意分類討論的思想，分當時和當時兩種情況進行討論，當時注意用換元法把換成t，得到又由題意對任意的不等式恒成立，而，只要時不等式成立即可從而解出m的取值范圍，同理可求另一種情況【詳解】（1）即，即，的兩根為和當，即時，解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為.綜上所述：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.（2）因為，，所以，的對稱軸為，當時，即時，，不合題意；當時，即時，，而，符合題意.故取值范圍為.（3）當時，不等式即為：，整理得：即：，令則，所以不等式即，即：，由題意：對任意的不等式恒成立，而，只要時不等式成立即可，，而，；當時，同理不等式可整理為：，令則，所以不等式即，即：，由題意：對任意的不等式恒成立，而，只要時不等式成立即可，，而，；綜上，的最大值為1【點評】1.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為易解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題．不等式恒成立通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．2.此類問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．3.換元思想能使問題簡化.熱點五熱點五均值不等式求解恒成立問題20．（2022秋·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┤裘}“對任意的，恒成立”為真命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先參變分離，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求最值，即可求解.【詳解】由題意可知，對任意的，恒成立，即，當時，，當，即時，等號成立，所以.故選：D21（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合條件，由可得，然后由可得答案.【詳解】因為，所以，所以由可得，因為，所以，所以，所以，當且僅當，時取等號，故選：B．22．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的結(jié)論進行計算即可以得到結(jié)果.【詳解】當，時，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為．所以，即．故選：A.23．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則_____；若，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】3【分析】先整理得，再求得，從而即可求得的值；進而將轉(zhuǎn)化為，再得到在R上為增函數(shù)，從而得到對恒成立，再分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式即可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】由，則，所以則，所以可轉(zhuǎn)化為，因為在R上為增函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，即實數(shù)的取值范圍．24．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．【答案】【分析】分析可得原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當且僅當，即時取得等號，∴，解得．故正實數(shù)的取值集合為.故答案為：．25．（2023春·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為______【答案】【分析】原不等式可轉(zhuǎn)化為?，t恒成立，利用基本不等式可求得的最大值，從而可得答案．【詳解】因為?，∴sinx＞0，cosx＞0，∴不等式sin2x﹣tsin2xt恒成立?t恒成立，∵＝（當且僅當，即tanx＝時取等號），∴t．故答案為：．26．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)對于任意的正實數(shù)m，n，且，若恒成立，求實數(shù)a的范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）分，，幾種情況去掉絕對值，即可解不等式；（2）恒成立，等價于，利用基本不等式可得，又，即可得答案.【詳解】（1）原不等式為，當時，，得，所以；當時，恒成立，所以；當時，，得，所以.綜上，不等式的解集為；（2）因為m，n為正實數(shù)，恒成立，即為，又，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為.又因為（當時取等號），要使恒成立，只需.所以或.熱點六熱點六換元法求解不等式恒成立問題27．【多選題】（2022秋·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知,若對任意的,不等式恒成立.則（

）A． B．C．的最小值為12 D．的最小值為【答案】ACD【分析】先對進行因式分解,分情況討論小于等于零的情況,可得,即,可得選項A,B正誤;將中的用代替,再用基本不等式即可得出正誤;先將代入中,再進行換元,求出新元的范圍,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值,判斷D的正誤.【詳解】因為,恒成立,即恒成立,因為,所以當時,,則需,當時,,則需,故當時,,即,所以且,故選項A正確,選項B錯誤;所以,當且僅當時,即時取等,故選項C正確;因為,令,當且僅當，即時等號成立，故，所以,故,所以在上,單調(diào)遞減,即,所以，故選項D正確.故選:ACD28．（2023春·廣東廣州·高二廣東實驗中學(xué)校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，則的最大值為______．【答案】/【分析】根據(jù)對進行消元后，轉(zhuǎn)化為求單變量函數(shù)的最小值問題進行求解.【詳解】當時，不成立，所以.由得.因為，，所以，解得，即.所以，令，則，于是.令，，則.由對勾函數(shù)的圖象知，在上單調(diào)遞減，故.所以，即的最大值為.故答案為：.29．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函