四川省達(dá)州鐵路中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2024年4月高二數(shù)學(xué)期中考試一、單選題1．一個(gè)三層書架，分別放置語(yǔ)文類讀物6本，數(shù)學(xué)類讀物7本，英語(yǔ)類讀物8本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（

）A．3種 B．21種 C．336種 D．12種2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．3．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．4．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則（

）XPA．2 B．3 C．4 D．55．用0，1，2，3，4，5可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．120 B．60 C．48 D．1006．若函數(shù)不存在極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．三個(gè)數(shù)，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．過(guò)點(diǎn)與函數(shù)相切的直線為（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在二個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．若時(shí)，，則t的最小值為2D．若方程有兩個(gè)實(shí)根，則11．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的取值對(duì)應(yīng)的概率正確的是（

）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝三、填空題12．函數(shù)的極大值為.13．在的展開式中，第項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．14．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次仍取得紅球的概率為.四、解答題15．已知函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的最小值.16．為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動(dòng)，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的成績(jī)（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.(1)求的值并估計(jì)該村村民成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)從成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再?gòu)倪@6人中任選3人，記這3人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若l的斜率為2，求的值；(2)求證：為定值．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：1．B【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】一個(gè)三層書架，分別放置語(yǔ)文類讀物6本，數(shù)學(xué)類讀物7本，英語(yǔ)類讀物8本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有種.故選：B2．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，，，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B3．D【分析】由基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則，導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則運(yùn)算即可逐一判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】，，，.故選：D.4．A【分析】由離散型隨機(jī)變量取值的概率和為，解出值，再由方差公式可得.【詳解】由解得，則，.故選：A.5．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，用0，1，2，3，4，5可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).故選:D.6．A【分析】由題意函數(shù)不存在極值，則在上恒成立，從而可解.【詳解】函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)不存在極值，則在上恒成立，則，得.故選：A7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可比較.【詳解】，，，記，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，?故選：D8．C【分析】先判斷的符號(hào)，由此求得不等式的解集.【詳解】由圖象可知，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以不等式的解集為.故選：C9．CD【分析】當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，根據(jù)的值和直接求解出切線方程；當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)出切點(diǎn)，然后根據(jù)斜率的表示求解出的坐標(biāo)，則切線方程可求.【詳解】因?yàn)椋?；若A點(diǎn)是切點(diǎn)，則，則切線方程為，即，故C正確；若A點(diǎn)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)，則B處切線斜率為，又因?yàn)橹本€AB的斜率為，則，，化簡(jiǎn)可得，所以或（舍去，此時(shí)重合），所以點(diǎn)B為，故切線斜率為，則切線方程為，即，故D正確．故選：CD．10．ABD【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義解方程可得其零點(diǎn)，知A正確；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求其極值點(diǎn)，可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，令，可得，所以，解得或所以函數(shù)存在二個(gè)不同的零點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，定義域?yàn)椋?，令，可得或，?dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，B正確；對(duì)于C，，作出圖象如下圖所示，可知方程存在另一個(gè)解，，若當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：，D正確.故選：ABD.11．ABC【分析】根據(jù)題設(shè)，結(jié)合正方體的性質(zhì)求兩條棱相交、平行、異面的可能情況數(shù)，再寫出對(duì)應(yīng)ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求它們的概率值即可.【詳解】由題設(shè)，ξ的可能取值為0，1，．若兩條棱相交，交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過(guò)任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，則P(ξ＝0)＝＝，若兩條棱平行，它們的距離為1或，而距離為的共有6對(duì)，∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，ξ分布列如下：ξ01P故選：ABC12．0【分析】先求導(dǎo)求解函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合極值定義求解即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，則或，所以在單調(diào)增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為.故答案為：013．【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)即可求得第項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開式中的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，所以第項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14．/【分析】由古典概型概率、條件概率即可得解.【詳解】甲從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球后，此時(shí)袋中有5個(gè)球，紅球2個(gè)，白球2個(gè)，黃球1個(gè)，所以第二次仍取得紅球的概率為.故答案為：.15．(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合，直接寫出切線方程即可；（2）根據(jù)的正負(fù)，判斷的單調(diào)性，即可求得的最小值.【詳解】（1），故可得，，，故在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2），，令，解得，故當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；又，故的最小值為.16．(1)；(2)分布列見詳解；【分析】（1）由頻率和為1，可求的值，再由平均數(shù)計(jì)算公式求解；（2）根據(jù)分層抽樣可確定的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.【詳解】（1）由圖可知，，解得，該村村民成績(jī)的平均數(shù)約為；（2）從成績(jī)?cè)趦?nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績(jī)?cè)诘拇迕裼腥耍煽?jī)?cè)诘拇迕裼?人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出即可得證；（2）求出平面、平面的法向量，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）如圖，以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所，即，所以；（2）因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令則，所以，由（1）可知，又，，且，平面，平面，則是平面的一個(gè)法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)5(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，即可求解；（2）首先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，并利用韋達(dá)定理表示，即可求解.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)，且直線的斜率為2的直線為，設(shè)，，聯(lián)立，得，，；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，

聯(lián)立，得，，則，.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和